1、第4讲 相似三角形（二）知识导航模块一 “A”字和“8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型“8”字型模块二 与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG是的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：，特别地，当时，有 模块三 “A”字和“8”字模型的构造“A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法： 模块一 “A”字和“8”字模型例1（1）如图1-1，在中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则_（2）如图1-2，中，延长、的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于BC的直线于N、M，BD与CE相交于点G，则与的面积之比是_ 图1-1 图1-2
2、（3）已知菱形的边长是6，点在直线上，连接与对角线AC相交于点，则的值是 （1）；（2）；（3）2或当点E在线段AD上时，；当点E在AD的延长线上时，【教师备课提示】这道题主要考查基本的“A”字和“8”字，要会倒比例例1（1）如图2-1，已知ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若，则FG的长为_（2）如图2-2，已知在ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=_ 图2-1 图2-2（1）四边形ABCD为平行四边形，即得（2）由DCAB，得，同理，故【教师备课提示】这道题主要考查多个“A”和“8”字模型的综合模
3、块二 与内接矩形有关的相似问题例1（1）如图3-1，中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC边上的高，求（2）如图3-2，已知中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果，求的面积 图3-1 图3-2（1）设正方形EFGH的边长为x，AD、HG的交点为M，则有，即解得，故（2）设正方形边长为x，则，由，得，解得，【教师备课提示】这道题主要总结内接矩形的相似问题的解法：（1）作垂线，（2）找“A”字相似，利用对应的底边之比等于高之比列方程例1（1）如图4-1，在内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系是
4、（ ）AB C D（2）是一张等腰直角三角形纸板，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图4-2），记甲种剪法所得正方形面积为，乙种剪法所得正方形面积为，则_ 图4-1 图4-2（1）A；（2）【教师备课提示】这道题主要考查内接矩形特殊情况，所有的直角三角形都相似模块三 “A字和“8”字模型的构造例1如图，中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P若，求证：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H，还可用如下辅助线来证此题：【教师备课提示】这道题主要讲解构造平行线的方式，可以从条件出发，也可以通过结论出发，构造平行线是转移比例最常用的方法例1（1）如图
5、6-1所示，中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，射线CF交AB于E点，且，则等于_（2）如图6-2，点D、E分别在边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若，则_（3）如图6-3，在中，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，的平分线交CE于Q，当时，_ 图6-1 图6-2 图6-3（1）（如图）；（2）（如图）；（3）12（如图） 【教师备课提示】这道题主要让学生们练习下构造平行线转移比例非常挑战例1如图，中，D、E是BC边上的点，M在AC边上，BM交AD、AE于H、G，求 过M作MQ/BC交AE于N，交AD于F，交AB于Q，设，MQ/BC，同理，MQ
6、/BC，同理，模块一 “A”字和“8”字模型复 习 巩 固演练1（1）如图1-1，在中，M、E把AC边三等分，MN/EF/BC，MN、EF把分成三部分，则自上而下部分的面积比为 （2）如图1-2，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且，则的值为_（3）如图1-3，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则_ 图1-1 图1-2 图1-3（1）；（2）；（3），又，模块二 与内接矩形有关的相似问题演练1如图，已知中，四边形DEGF为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形的边长 法一：由勾股定理可求得，由可得由可得，设正方
7、形的边长为，则，解得法二：设，则，即，解得，演练1如图，已知中，回答下列问题：（1）四边形是的内接正方形，则_；（2）四边形是的内接正方形，则_；（3）按（1）和（2）中的规律作图，四边形是的内接正方形，四边形是的内接正方形，四边形是的内接正方形，则_（1）；（2）；（3）探索规律：，模块三 “A”字和“8”字模型的构造演练1（1）如图4-1，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，EF与对角线AC交于点P若，F是AD的中点，则的值是_（2）如图4-2，在中，D为边BC上一点，已知，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则的值是_ 图4-1 图4-2（1）延长CB、FE相交于
8、点GF是AD的中点，由AD/CG得到，（2）作EH/AC交BC于H，E为AD的中点，EH/AC，演练1如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若，求的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明（1），又CDAB，（2）当BE平分，时，；证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF/AB/CD，G为BC的中点，又，而，即：；当()时，【教师备课提示】这道题延长BE交DC的延长线于一点要更简单些