1、第7讲相似三角形（五）知识导航模块一：角平分线定理内角平分线定理：如图，在中，AD是的角平分线，则有证明：过作交延长线于，又平分，由可得：， 外角平分线定理如图，在中，的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有 证明：过作交于，又平分，由可得：，模块二：线束模型若，则有若，则有模块一 角平分线定理例1（1）如图1-1，在中，且CD是的平分线则AD的长为_（2）如图1-2，I是内角平分线的交点，AI交对应边于D点，求证： 图1-1 图1-2（1）由角平分线定理得到，由于，（2）由角平分线定理得到，由等比性质得到：【教师备课提示】这道题主要考查角平分线定理例2（1）如图2-1，中，于D，作，AE与B
2、C延长线交于E，若，则CD长为_，AC长为_，BE的长为_（2）如图2-2，中，于E，AD平分交CE于点F则的值为_，AD长为_ 图2-1 图2-2（1）， ，于，由射影定理，（2），【教师备课提示】这道题主要考查特殊的3，4，5的直角三角形和角平分线的结论例3若，AC与PB相交于点D，且，求的值 过P点做的角平分线PE，交AD于E点，且，又由于是角平分线，【教师备课提示】这道题是角平分线定理和斜“8”综合考查，相对较综合模块二 线束模型例1（1）如图4-1，ABCD，AD与BC交于点P，过P点的直线与AB、CD分别交于E，F求证：（2）如图4-2，ABCD，AD与BC交于点P，连接CA、DB
3、并延长相交于O，连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点（3）如图4-3，在图4-2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式 图4-1 图4-2 图4-3（1）证明：如图1，AB/CD，AD与BC交于点P，,，；（2）证明：如图2，设OM交AB于点NAB/CD，CM=DM，即点M为CD的中点；（3）解：MC2=MGMD，理由如下：如图3，设OM交AB于点NAB/CD，得，【教师备课提示】这道题主要考查线束模型的证明和直接应用例2如图，M、N为边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和A
4、N的延长线于点D、E和F求证：法一：如下左图，过D作交AC于G，交AM、AN于P、Q，由线束定理可知，过E点或F点作BC的平行线也可得到类似的证法法二：如下右图，过M作，交AB于P，交AF延长线于Q，则有，由线束定理可知，即过B点或N点作DF的平行线也可得到类似的证法【教师备课提示】这道题主要考查线束模型的应用，怎么利用比例模块三 相似综合 例1如图，点A的坐标为，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF若以B、E、F为顶点的三角形与相似，则点B的坐标是要使与相似，只要或，即或当时，（舍
5、去）或，当时，（i）当B在E的左侧时，（舍去）或，（ii）当在的右侧时，（舍去）或，【教师备课提示】这道题主要考查内接矩形的问题和相似三角形定义综合，相对较难例2如图，中，于D，过点D作，边DE上的中线BF延长线交AC于点G（1）求证：；（2）若，求；（3）在（2）的条件下，若，求BD的长度 （1）证明：，是直角三角形，是直角三角形，；（2）解：过G作交DF于P，连结DG，四边形CEPG是矩形，在中，G是边AC中点，又，是等腰三角形GP是FD的中线，即，；（3）解：，设，则，解得，【教师备课提示】这道题主要考查射影定理，线束模型，和构造平行线模块一 角平分线定理演练1（1）如图1-1，在中，C
6、D是的平分线，且，求AD的长（2）如图1-2，中，于E，AD平分交CE于点F则AE长为_，AD长为_ 图1-1 图1-2（1）由角平分线定理得到，设，则，解得，AD的长为（2），演练2在中，的平分线交AC于D，的平分线交AB于E，且求证：由角平分线定理得到，即，整理得到 明显，故模块二 线束模型演练1如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P求证：，；，模块三 相似综合演练1如图，已知，ADBCE是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与相似，则线段BE的长为_故答案为8或2 演练2中，AD/BC，连BD，交AC于E（1）如图5-1，若，求的值；（2）如图5-2，若，直接写出EC的长为 （1）解：，是等边三角形，ADBC， ，ADBC，；（2）解：作于M，如图所示：，=，设，则，根据勾股定理得：，解得：，ADBC，即，解得：故答案为：