1、选择性必修第三册知识点复习提纲汇编第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.2 排列与组合6.3 二项式定理第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布7.5 正态分布第八章 成对数据的统计分析8.1 成对数据的相关关系8.2 一元线性回归模型及其应用8.3 分类变量与列联表第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方案，那么完成这件事共有N=m+n种不同
2、的方法。二、分布乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法。（1）无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取。三、区别于联系分类加法计数原理分类乘法计数原理本质每类方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事。任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事。关系分类互斥分步互依6.2 排列与组合一、排列1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取
3、出m个元素的一个排列。2.排列数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Anm 表示。3.排列数公式： Anm=nn-1n-2n-m+1 其中，n，mN*且mn4.全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。这时公式中m=n，即有 Anm=nn-1n-23215.阶乘：n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n! 表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 Anm=n! 规定 0!=16.排列数公式的阶乘表示： Anm=AnnAn-mn-m=n!(n
4、-m)!（1）公式推理：Anm=nn-1n-2n-m+1 =nn-1n-2n-m+1n-mn-m-1321n-mn-m-1321 =n!n-m!=AnnAn-mn-m7.性质： Anm=n An-1m-1 Anm=m An-1m-1+ An-1m第 12 页 共 15 页例1：求3A8x=4A9x-1中的x.解：3 8！(8-x)！=4 9！(10-x)！ 化简 3 8！(8-x)！=4 98！(10-x)(9-x)(8-x)！ 得90-19x+x2=12 ，解得x=13或x=6 又x8且x-19，即x8，所以x=6. 例2：求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边=n！n-m！+m
5、 n！n-m+1！ =n！n-m+1+mn！n-m+1！ =n！n+1n-m+1！ = n+1！n-m+1！=右边8.拓展有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）方法：（1）整体法：即若m+n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这m+n个元素排成一列，有 Am+nm+n 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有 Amm 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 Am+nm+nAmm 种满足条件的不同排法。（2）插空法：即m个元素之间的先后顺序不变，因此先排列这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分
6、步插入由以上m个元素形成的空当中。例1：7人排成一列，甲必须在乙的后面（可不相邻），有 2520 种不同的排法解：A77A22=2520例2：用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 210 个七位数符合条件。 解： A77A44=210二、组合1.组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2.组合数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cnm 表示。3.组合数公式： Cnm= Anm Amm =nn-1n-2n-m
7、+1m! =n!m!(n-m)! m，nN*，mn 规定Cn0=14.组合数的性质： Cnm=Cnn-m C85=C83 Cn+1m=Cnm+Cnm-1 C74=C64+C635.解方程注意验根：（1）当Cnx=Cny 时，y=x 或x+y=n 。（nx，ny，x,yN*）6.3 二项式定理一、二项式定理1.二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cnkan-kbk+Cnnbn（nN*）2.特点（1）各项的次数都等于二项式的幂指数n。（2）字母a按降幂排列，字母b按升幂排列。（3）展开式共有n+1项，比二项式的次数多1。3.二项式系数：Cnk ，k 0，1
8、，2，n4.二项展开式的通项： Cnkan-kbk ，它是展开式的第k+1项，可用Tk+1表示，即 Tk+1=Cnkan-kbk .例1：求 （2x-1x）6的展开式. 解： (2x-1x)6=(2x-1x)6=1x3(2x-1)6 =1x32x6-C612x5+C622x4-C632x3+C642x2-C652x1+C66 =1x3(64x6-632x5+1516x4-208x3+154x2-62x+1 =64x3-192x2+240x-160+60x-12x2+1x3例2：求(1+2x)7的展开式的第4项的系数解： T3+1=C7314(2x)3=280x3 系数为280例3：求(x-1x
9、)9的展开式中x3的系数. 解：Tn+k=C9kx9-k(-1x)k=(-1)kC9kx9-2k 当9-2k=3时，即k=3时 ，x3的系数为 (-1)3C93=-84例4.：求(x-y)(x+y)8 的展开式中x2y7的系数.解： (x+y)8的通项公式：Tr+1=C8rx8-ryr T8=T7+1=C87xy7=8xy7 ，T7=T6+1=C86x2y6=28x2y6 所以含x2y7的项为：x8xy7-y28x2y6=-20x2y7 x2y7的系数为-205.二项式的特定项：（1）常数项：令通项中变元的指数为零。（2）有理项：令未知量的指数为整数。（3）中间项： n为偶数，中间项为第 n2
10、+1 项。 n为奇数，中间项为第 n+12 项 和 n+12+1 项（4）求最大项：设第k+1项系数 Tk+1 最大，则满足 Tk+1Tk 且 Tk+1Tk+2 。二、二项式系数的性质1. (a+b)n展开式的二项系数 a+b1 1 1 a+b2 1 2 1 a+b3 1 3 3 1 a+b4 1 4 6 4 1 a+b5 1 5 10 10 5 1a+b6 1 6 15 20 15 6 1 2.规律（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的两个二项式系数相等。（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和Cn+1r=Cnr+Cnr-1 。3.作用：可直观地看出二
11、项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数。rf(r)4.对于(a+b)n展开式的二项系数 Cn0，Cn1，Cn2，Cnn ，将此看作Cnr是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是0，1，2，n。（1）对称性（2）增减性与最大值（3）各二项式系数的和5.二项式系数的性质性质内容对称性Cnm=Cnn-m，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中一项的二项式系数最大。如果n为奇数，那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值。Cnn-12=Cnn+12二项式系数的和二项展开式各二项式系
12、数的和等于2n，即(1+x)2=2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn 。奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n-1即 Cn1+Cn3+Cn5+=Cn2+Cn4+Cn6+=2n-1 。第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式一、条件概率1.条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称 PBA=PABPA 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。PBA读作A发生的条件下B发生的概率。（1）性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即 0PBA1 如果B和C是两个互斥事件，则 PBC A=PBA+PCA 2.条件概率求法公式： PBA=P(AB)P(A)=
13、n(AB)n(A) PAB=PABPB=PBAP(A)二、全概率公式1.全概率公式：一般地，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且P(Ai)0，i=1,2，n，则对任意的事件B，有P(B)=i=1nPAiPBAi我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一。2.贝叶斯公式：设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且P(Ai)0，i=1,2，n，则对任意的事件B，P(B)0有PAiB=PAiPBAiPB=PAiPBAik=1nPAkPBAk，i=1,2,，n7.2 离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量1.随机变量：在随机实验中，确定
14、了一个对应关系，使得每一个实验结果都能用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着实验结果（自变量）的变化而变化。随机变量常用X，Y，表示。2.离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z。二、离散型随机变量的分布列1.概率分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，Xi ，我们称X取每一个值Xi的概率 P(X=Xi)= Pi，i=1,2,n 为X的概率分布列，简称分布列。（1）离散型随机变量X的概率分布列：（简称X的分布列）Xx1x2xix
15、nPP1P2PiPn（2）性质：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 Pi 0 （i=1,2,n） i=1nPi =1 （3）表示方法：表格法（分布列） 解析式法（ P(X=xi )=pi ） 图像法(条形统计图)2.两点分布X01P1-PP（1）两点分布：若随机变量X的分布列具有右表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P（X=1）为成功概率。（2）性质：一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0和1两个，故又称为0-1分布。两点分布应用广泛，如抽取的彩票是否中奖。试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1。
16、7.3 离散型随机变量的数字特征一、离散型随机变量的均值1. 离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 EX= x1p1+ x2p2+ xipi+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 2.性质： 性质若Y=aX+b，其中a，b是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b特例a=0时，E(b)=b，即常数的均值就是这个常数本身。a=1时，E(X+b)=E(X)+b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和。b=1时，E(aX)=aE(X)，即常数与随机
17、变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积。结论：E(aX+bY)=aE(X)+b E(Y)若随机变量X服从两点分布，则有 E(X)=p . 若XB(n，p)，则E(X)=np二、离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的方差：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则 (xi-EX)2 描述了xi (i=1，2，n)相对于均值EX的偏离程度。方差：DX=i=1n(xi-E(X)2pi 标准差： DX （记作X） （西葛马）2.意义：反映随机变量的取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；反之，越分散。3.离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生
18、一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)=D(X) 4.离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即 D(aX)=a2D(X)5.性质：D(aX+b)=a2D(X)若X服从两点分布，则 DX=p(1-p) 若XB(n，p)，则 DX=np(1-p) 7.4 二项分布与超几何分布一、二项分布1.伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利试验。2.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机实验成为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次实验的结果相互独立。3.二项分布：一般地，在
19、n重伯努利试验中，设每次实验中事件A发生的概率为p（0p1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为PX=k=Cnkpk1-pn-k，k=0,1,2,，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)由二项式定理，容易得到k=0nP(X=k)=k=0nCnkpk(1-p)n-k=p+(1-p)n=1二、超几何分布1.超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn （k=m，m+1，m+2，r）其中n，N，MN*，MN，
20、nN，m=max 0，n-N+M ，r=min n，M 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布X01mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNnCMmCN-Mn-mCNn2.设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=MN ，则p是N件产品的次品率，而 Xn 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想EXn=p ，即E(X)=nP.3.特点：超几何分布描述了由有限个物体中抽取n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数。抽取过程是不放回的。7.5 正态分布一、正态曲线1.正态曲线： fx=12e-(
21、x-)222 ，xR 其中实数R,0为参数。显然，对任意的xR，f(x)0，它的图像在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称fx为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2.正态分布：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 XN (，2)特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布。 （1）正态分布完全由参数和确定标准正态分布：=0， =1参数的意义：就是随机变量X的均值。E(X)=参数的意义：就是随机变量X的标准差。D(X)= 2（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率：P(-X+)=0.6826P(-2X+2)=
22、0.9544P(-3X+3)=0.9974（3）性质性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交曲线是单峰的，它关于x=对称曲线在x=处达到峰值12，并且由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状。曲线与x轴之间的面积为1。=0=1=-1yxO当一定时，曲线的位置由确定。曲线随着的变化而沿x轴平移，如图。当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图。yxO2=11=0.53=2第八章 成对数据的统计分析8.1 成对数据的相关关系一、变量的相关关系1.相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去
23、精确地决定另一个的程度的关系。2.函数关系与相关关系的异同点：（1）相同点：均为两个变量之间的关系。（2）不同点：相关关系：非确定，函数关系：确定。3.正相关（负相关）：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加（减少）的趋势，称这两个变量正相关（负相关）。4、两个变量的线性相关（1）散点图这些点大致分布在通过散点图中心（x，y）的一条直线附近。5.线性相关：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。（1）一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称 这两个变量非线性相关或曲线相关。二、样本
24、相关系数1.对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）,其中x1，x2，xn和y1，y2，yn的均值分别为x和y .将数据以（x，y）为零点进行平移，得到平移后的成对数据为（x1-x，y1-y），（x2-x，y2-y），（xn-x，yn-y），并绘制散点图。2.利用散点（xi-x，yi-y）（i=1,2，n）的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量Lxy=1nx1-xy1-y+x2-xy2-y+(xn-x)(yn-y)（1）一般情形下，Lxy0表明成对样本数据正相关；Lxy0表明成对样本数据负相关。3.样本相关系数：为了消除度量单位的影响，
25、需要对数据做进一步的“标准化”的处理，仿照Lxy的构造方法得到 r=1nx1y1+x2y2+xnyn=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2 i=1nyi-y2我们称r为变量x和变量y的样本相关系数。（1）样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关。（2）样本相关系数r的取值范围：-1r1（3）当|r|=1时，表明成对样本数据(xi，yi)都落在直线上，即两个变量之间满足一种线性关系。（4）样本相关系数的意义：r的绝对值反映成对数据之间线性相关的程度。（5）当|r|越
26、接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越若。8.2 一元线性回归模型及其应用一、一元线性回归模型1.Y关于x的一元线性回归模型：&Y=bx+a+e&E(e)=0，D(e)=2 （1）Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；（2）a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差。二、一元线性回归模型参数的最小二乘估计1.经验回归方程：y=bx+a &b = i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 =i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2&a =y-bx记x=1ni=1nxi ，y=1n
27、i=1nyi 我们将y=bx+a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估计。2.残差分析（1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差。残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。（2）残差的散点图：比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设。（3）R2=1-i=1n(yi-yi)2
28、i=1n(yi-y)2 ，在R2表达式中，i=1n(yi-y)2与经验回归方程无关，残差平方和i=1n(yi-yi)2与经验回归方程有关。3.一元线性回归方程一定过样本中心点（x，y）4.在使用经验回归方程进行预测时，需注意：（1）经验回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。（2）我们所建立的经验回归方程一般都有时间性。（3）在样本数据中的响应变量的取值范围内，经验回归方程的预报效果好。（4）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值。8.3 分类变量与列联表一、分类变量与列联表1.分类变量：在讨论问题时，为了表述方便，常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量
29、称为分类变量。2.22列联表：表是关于分类变量X和Y的抽样数据的22列联表：最后一行的前两个数分别是事件Y=0和Y=1的频数；最后一列的前两个数分别是事件X=0和X=1的频数；中间的四个数abcd是事件X=x，Y=y (x,y=0,1)的频数；n是样本容量。XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法（1）频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系。（2）图形分析法：常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征。二、独立性检验1.提出零假设(原假设)H0:分类变量X和Y独立，假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，在列联表中，如果零假设H0成立，则应满足aa+bcc+d，即ad-bc0,。因此|ad-bc|越小，说明两个分类变量之间关系越弱；反之，越强。为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量x2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2.临界值：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数xa，使得P(x2xa)=成立，我们称xa为的临界值，这个临界值可作为判断x2大小的标准，概率值越小，临界值xa越大。第 15 页 共 15 页学科网（北京）股份有限公司