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2023年人教A版(2019版)高中数学必修第一册全册知识点复习提纲

1、必修第一册知识点复习提纲第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.2集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3 幂函数3.4 函数的应用(一)第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.2指数函数4.3 对数4.4 对数函数4.5 函数的应用(二)第五章 三角函数5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3 诱导公式5.4 三角函数的图像与性质5.5 三角恒等变

2、换5.6 函数y=Asinx+ 5.7 三角函数的应用第 32 页 共 32 页第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念一、集合的概念1.定义:一般地,研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。2.集合元素的特征:确定性、互异性、无序性3.集合1=集合2:构成集合的元素完全一样4.元素与集合的关系:和(1)a属于集合A:aA(2)a不属于集合A:aA5.常用数集及其记法(1)N=全体非负整数=全体自然数=0,1,2,(2)N+/N* =全体正整数=1,2,3,(3)Z=全体整数=,-2,-1,0,1,2,(4)Q=全体有理数(5)R=全体实数6.集合的分类:有限集,无限集,空集(

3、)7.集合的表示方法:列举法、描述法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,如1,2,3,4(2)描述法:把集合中对的元素的公共属性描述出来,如xx-32,xN8. 奇数集A=xx=2k+1,kZ偶数集B=xx=2k,kZ1.2集合间的基本关系一、集合间的基本关系1.子集:集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,若任意xA,都有xB,称A为B的子集。记作:A含于B(AB),B包含于A(BA)2.不包含:当集合A不包含于集合B时,记作AB3.注意:(1)A不包含于B,记作AB(2)任意一个集合都是它本身的子集AA(3)规定空集是任意集合的子集(4)若AB,且BC,则AC4.Venn图(韦恩图)

4、 5.集合相等:两个集合中全部元素相同A=B 满足AB,BA,即A=B6.真子集:若集合AB,存在元素xB且xA,则称集合A是集合B的真子集。记作:AB,读作:A真包含于B7.注意:(1)AB且BC,则AC(2)是任意非空集合的真子集,任何一个集合是它本身的子集 (3)a,b的子集有:a,b,a,b,8.空集:不含有任何元素的集合成为空集,记作:9.(1)若AB,则AB且AB(2)若AB,则A=B或AB10.区分:(1)()是指集合与元素之间的关系(2)()是表示集合与集合之间的关系 (3)0与区别:0是含有一个元素的集合,而是不包含任何元素的集合,因此,0,但不能写成011.若一个集合含有n

5、个元素,则(1)子集个数为2n个(2)非空真子集个数为(2n-2)个(3)非空子集个数为(2n-1)个1.3集合的基本运算一、集合的基本运算1.并集:由所有属于集合A,或属于集合B的元素组成的集合,成为A与B的并集,记作AB。读作:“A并B”。即AB=xxA,或xB(1)并集的性质:AA=A、A=A、AB=A则BA(2)并集的性质:A(AB)、B(AB)、(AB)(AB)2.交集:由属于集合A,且属于集合B的元素组成的集合,成为A与B的交集,记作AB。读作:“A交B”。即AB=xxA,且xB(1)交集的性质:AB=A、A=、AB=A则AB(2)交集的性质:ABA、ABB3.全集:如果一个集合含

6、有我们所研究问题中 所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。4.补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。记作:CUA。即:CUA=xxU且xA(1)补集的概念必须要有全集的限制(2)补集的性质:CU=U、CUU=、CU(CUA)=A(3)补集的性质:A(CUA)=、A(CUA)=U1.4充分条件与必要条件一、充分条件和必要条件1.定义:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q。这时,我们就说,由p可推出q ,记作: p q 。p是q的充分条件;q是p的必要条件。2从集合角度理解

7、:p q 相当于pq p qp, q 或二、充要条件1.充要条件:一般地,如果既有 p q ,又有 q p ,就记作: p q 。此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件。必要pq充分显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件。概括的说,如果 p q ,那么p与q互为充要条件。2.从逻辑关系上看:条件p与结论q的关系结论p q 但 q p P是q成立的充分不必要条件p q 但 p qP是q成立的必要不充分条件p q 但 q pP是q成立的充要条件p q 但 q pP是q成立的既不充分也不必要条件1.5 全称量词与存在量词一、全称量词1.全称量词:短语 “所有的” “任意一个”

8、在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ” 表示。2.全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题。3.全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” 可用符号简记为 xM,p(x) ,读作 “对于任意x属于M,有p(x)成立” 。注意:全称量词可以省略;全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质。二、存在量词1.存在量词:短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “ ” 表示。2.特称命题:含有存在量词的命题,叫做特称命题3.特称命题 “存在M中的元素x0,使p(x0)成立 ” 可用符号简记为 x0M,p(x0) ,读作 “存在M中的元素x0,使p

9、(x0)成立” 。三、含有一个量词的命题的否定1.全称命题: xM,p(x) 特称命题: x0M,p(x0)否定否定2.全称命题的否定是特称命题 ;特称命题的否定是全称命题 xM,p(x) x0M,p(x0) 四、真假判断1.全称命题: “ xM,p(x)”真命题:对集合M中每个元素x,证明p(x)成立。假命题:集合M中找到一个元素x0 ,使p(x0) 不成立。2.特称命题: “ x0M,p(x)”真命题:集合M中找到一个元素x ,使p(x)成立。假命题:集合M中使p(x)成立的元素不存在。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质一、不等关系与不等式1.比较实数(代数式)

10、大小的方法(1)作差比较法关于实数a,b大小的比较,有以下的事实:如果a-b是正数,那么ab;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a0 aba-b=0 a=ba-b0 a0,b0且ab1 aba0,b0且ab1 ab bb,bc ac 传递性(3)性质3:a+bc a+b+(-b)c+(-b) ac-b 可加性(4)性质4:如果ab,c0,那么acbc . 如果ab,c0,那么acb,cd,那么a+cb+d. 同向加法法则(6)性质6:如果ab0,cd0,那么acbd. 同向乘法法则(7)性质7:如果ab0,那么anbn(nN,n2) 乘方法则(8)性质8:如果ab0,那么na

11、 nb (nN,n2) 开方法则2.2基本不等式一、基本不等式1.两个重要不等式(1)a2+b22ab(a,b为任意实数):当且仅当a=b时,等号成立。(2) aba+b 2(a,b为正数):当且仅当a=b时,等号成立。2.基本不等式与最值(积定和最小,和定积最大)(1)已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为2P(2)已知x,y是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为 S24 3.基本不等式链(1) 设a0,b0,则有 21a+1baba+b2a2+b22 (当且仅当a=b时取等号)4.利用基本不等式求最值必须满足的条件(“一正,二定

12、,三相等”)(1)“一正”:各项必须都是正值(2)“二定”:各项之和或各项之积为定值(3)“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、“三个二次”的关系1. 一元二次不等式:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。2. 二次函数:函数不等式方程数=b2-4ac0=00Y=ax2+bx+c(a0)的图像y x1 o x2 xy o x1= x2 xy o xax2+bx+c=0(a0)的根两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集xxx2xx-b2a Rax2+bx+c0)的解集(x1,x

13、2)3.解法:(1)判断该一元二次函数是否存在实数根(2)解实数根(3)判断函数图像(开口向上/开口向下)(4)解出答案例:求不等式4x2-4x+10的解集解:在函数y=4x2-4x+1中, =b2-4ac=0 4x2-4x+1=0有两个相等的实数根为 12 又y=4x2-4x+1 图像开口向上4x2-4x+10的解集为xx12二、分式不等式f(x)g(x) 0 f(x) g(x) 0f(x)g(x) 0 f(x) g(x) 3例2:解不等式 5x+1x+1 3 解: 5x+1x+1 3 可化为 2x-2x+1 0 ,即(x-1)(x+1)x0 所以 5x+1x+1 3 的解集为x-1x12.

14、穿根法:不等式右边为0,不等式左边为若干个因式的积未知数系数一定为正从右到左,从上到下,奇穿偶不穿(奇偶为因式的次数)例3. 解不等式 x2-4x+13x2-7x+2 1 解: x2-4x+13x2-7x+2 1 可化为 -2x2+3x-13x2-7x+2 0则(-2x2+3x-1)(3x2-7x+2)0 , (-2x+1)(x-1)(3x-1)(x-2)0利用穿根法画图: 13 12 1 2 所以解集为xx 13,或12x2第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示一、函数的概念1.函数:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有

15、唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数。记作:y= f(x),xA.2.自变量:其中,x叫做自变量3.定义域:x的取值范围A叫做函数的定义域4.函数值:与x的值相对应的y值叫做函数值5.值域:函数值的集合 f(x)xA叫做函数的值域6.注意:(1)“y= f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y= g(x)” (2)函数符号”y= f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数。7.构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域8.区间的概念:(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示9.求值域:即y的取值范围例:

16、y=2x+1,x-2x1 值域y-3y3例:y=2x+1,x-2x1,且xZ 值域-3,-1,1,3(画图结合定义域求值域)(1)数形结合法(2)观察法例 :y=x2+2 解:x20,x2+22,x2+2 2 y=x2+2 的值域为2,+)例 :y=1x2+1解:x20,x2+11(分母比分子大) 1x2+11,y=1x2+1的值域为(0,1(3)配方法例 :y=x2+2x+3在-4,-3区间对的值域解:y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2 对称轴为x=-1 当x=-3时,ymin=6X=-4时,ymax=11,y=x2+2x+3在-4,-3的值域为6,11(4)换元法 (

17、y=ax+bcx+d)例 :y=x-x-1解:设t=x-1(x1),则x=t2+1(t0) y= t2+1-t(t0),即y=(t-12)2+34(t0) 对称轴t=12,ymin=34 y=x-x-1的值域为34,+)(5)分离常数法(y=cx+dax+b)例 :y=3x+22x+1解:y=3x+22x+1=322x+1-32+22x+1=32+122x+1122x+10,y32y=3x+22x+1的值域为yy32(6)反解x(反函数法)例 :y=3x+22x+1解:由已知得2xy+y-3x-2=0,(2y-3)x=2-yx=2-y2y-3 ,2y-30 ,y32y=3x+22x+1的值域为

18、yy32(7)辨别式法求值域例 :y=x2-xx2-x+1解:由已知得yx2-yx+y=x2-x, (y-1)x2-(y-1)x+y=0 (y1) 又0 ,得-13y1 y=x2-xx2-x+1 的值域为-13,1) 解:由已知得y=1-1x2-x+1 , x2-x+1=(x-12)2+3434 0 1x2-x+1 43 -131-1x2-x+1110.求定义域:即当y= f(x)有意义时x的取值范围(定义域是一个集合)(1)f(x)是整式(单项式和多项式)定义域为R(2)f(x)的分母中含有字母,定义域为使得分母不为0的x值的集合(3)f(x)含偶次数方根,定义域是根号里的式子大于或等于0的

19、x值的集合(4)对数函数,使其真数大于0的x的取值范围(5)由实际问题确定的函数,使其有意义的x的取值范围为其定义域11.区间的表示:(1)R=(-,+)(2)xxa = a,+)(3)xxa = (-,a(4)xx a = (a,+)(5)xx 0:4ac-b24a,+),a0,r,sQ(2) (ar)s=ars a0,r,sQ(3) (ab)r=arbr a0,b0,r,Q9.无理指数幂:一般地,无理数指数幂a( a0,是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适应于无理数指数幂4.2指数函数二、指数函数及其性质1.指数函数:一般地,函数 y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,

20、其中x是自变量,函数的定义域是R2.满足指数函数的要求:a0,且a1 系数为1 指数x为自变量3.一般地,指数函数 y=ax(a0,且a1)的图像和性质如下表所示:a10a1图像 y y=ax(a1) (0,1) 0 x y y=ax(0a1) (0,1) 0 x定义域R值域(0,+)性质过定点(0,1),即x=0,y=1非奇非偶函数在R上为增函数在R上为减函数5.在第一象限内:底数越大,图像越靠近y轴 y=3x y=2x y=ax y=bx y=(12)x y=(13)x y=dx y=cx 底大图高 ab1cd04.3对数一 对数与对数的运算1.对数:一般地,如果ax=N(a0,且a1),

21、那么数x叫做以a为底N的对数,记作: x=logaN(1)底数:a叫做对数的底数(2)真数:N叫做真数 2.常用对数:以10为底的对数,log10N=lgN 3.自然对数:在科学技术中常用以无理数e=2.71828为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,logeN=lnN4.对数与指数间的关系:当a0,且a1时, ax =N x=logaN5.对数的性质:负数和零没有对数logaa=1loga1=0alogaN=N6.对数的运算性质logaMN= logaM+ logaNlogaMN= logaM- logaNlogaMn=n logaMlogamMn=nmlogaMlogab=logcblogcaloga-bX=-1b logaXlogab logba = 11log2m= logm2lg2 lg5 = 17.运算性质的推导:设am=M,an=N ,则logaM=m , logaN=n am an =am+n =M N ,logaMN=m+n=logaM+logaN设am=M,an=N ,则logaM=m , logaN=n aman = am-n = MN ,