1、 第三讲 工程问题课程目标1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率的意义的理解；2.工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解与运用；3.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用；课程重点运用工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系解决问题。课程难点1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解和运用；2.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用；3.工程问题中的合作问题；工程问题中先单独做再合作的问题。教学方法建议1.工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，所以要求我们认真审题，抓住关键，选择适合的方法。2.研究这三种数量关系，在解题中要注意三
2、种数量关系的对应关系。即求谁的工作时间，就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。（讲解、分析、比较、练习。）一 知识梳理1.计算有关工程问题的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。2.工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示，用表示各单位的工作效率。工作效率与完成工作总量所需时间互为倒数。解工程问题应用题，一般都是围绕寻找工作效率的问题进行。3.工程问题的基本数量关系式： 工程问题主要是研究这三种数量关系，在解题中要注意三种数量关系的对应关系。即求谁的工作时间
3、，就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。4.工程问题有关注水和放水的问题，两开关齐开，研究的是工作效率的差。工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，所以要求我们认真审题，抓住关键，选择适合的方法。二 方法归纳工程问题是分数应用题的一种，这类问题的特点是一般不给出具体的工作总量，解题时常把工作总量看作单位1，工作问题作为一种典型应用题，具有特定的解题思路，实际生活中有许多题目可以用这种思考。可以利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位
4、”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间基本思路：以每人每天的工作量计算工作效率。关键问题：以工作效率为突破口，梳理工作的过程。注意事项：要找准单位“1”三课堂精讲例1 一项工程，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需4小时，甲乙合作几小时完成这项工程的？【解题规律】能把工作总量看成单位“1”，找出工作效率，考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 1.生产一批零件，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要10天完成，如果甲、乙、丙三人合
5、作，多少天完成？2.一项工程，甲单独做需要20小时，乙单独做要30小时，两队合作10小时完成了工程的几分之几？3.一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？ 4.一件工作，甲单独做需要12天，乙的工作效率是甲的，两个合做，几天能完成这件工作的？例2有一份稿件，单独一个人打，甲要10小时完成，乙要8小时完成，两人合作2小时，打印了全稿的几分之几？剩下的由甲单独打，还要多少小时？【解题规律】理解工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做单位“1”，再利用它们的数量关系解答。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 1一项工程，甲
6、单独做8天完成，乙8天才可以完成这项工程的，两队合作，几天可以完成？2一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要几天可以完成全部工作例3一项工程，甲、乙两队合做，10天可以完成如果甲队做4天，乙队做6天，共完成这项工程的求甲队独做这项工程要多少天？【解题规律】已知两人的共同效率及其中一个人的效率，求出另外一个人的效率，由此得出所要求的问题。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 1一件工作，甲乙两人合作30天可以完成，他们共同做了6天后，甲离开了剩下的由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成需要多少天？2.某工程甲、乙、丙三个队合作
7、4天完成，甲队单独做8天完成，乙队单独做需要12天完成，丙队单独做需要多少天？3某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要多少天？4.（2012年小联盟）甲做一项工程用18天就能单独完成，如果甲乙双方一起做，用 6天就能完成工程的一半，求，乙方单独完成工程的话用多少天才行？5.某项工作先有甲单独做45天，再由乙单独做18天可以完成，如果甲乙两人合作可30天内完成。现由甲先单做20天，然后再由乙来单独完成，还需要多少天。例4 广州市某大厦发生火灾后，需要再次装修。由甲乙两个工程队一起装修，需要2
8、4天完成。现由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，共盖了这间屋子的，如果这座大厦全部由甲队装修，需要多少天完成？【解题规律】由两人所做的工程及所花时间、共同效率之间的关系，求出各自的效率，要正确理解这些关系，才能找出解题的突破口【搭配课堂训练题】【难度分级】 B1.某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天就可以完成。现在甲乙合作35天就完成了。如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？2.甲、乙两队合作15天可以完成一项工程，如果两队合作5天后，乙队在单独做12天，还剩下这项工程的没有完成，乙单独做完这项工程需要多少天？例5 （难度系数四颗星）甲乙两人做一项工程，如果全是晴天，
9、甲需要12天，乙需要15天可以完成，雨天甲的工作效率比晴天减少40%，乙减少10%，两人同时开工，恰好同时完工，问工程中有多少个雨天？解：晴天时甲的工作效率是，雨天时甲的工作效率就是（140%）=；晴天时乙的工作效率是，雨天时乙的工作效率就是（110%）=日工作效率相比：晴天甲比乙快 雨天甲比乙慢晴天甲比乙快出的，多少个雨天里就追过来了：（天） 即3个晴天的量5个雨天就追平了6个晴天的量10个雨天就追平了验证6个晴天和10个雨天甲：6+10=1 乙：6+10=1 因为 甲=乙 所以工作中有10个雨天答：工作中有10个雨天【解题规律】这种类型的题要注意分析单位1、效率、时间、总量的关系，把这项工
10、作看成单位“1”，工作效率都用分数表示出来，求出晴天和雨天的工效比，看晴天甲比乙多做的工作量在雨天乙需要几天追平最后代入数据验证找到符合条件的数据难度较大。【搭配课堂训练题】【难度分级】 C 1有甲乙两项工程，现分别由A、B两个施工队完成。在晴天A施工队完成任务要12天，B施工队完成任务需要15天；在雨天，A施工队的工作效率要下降50%，B施工队的工作效率要下降25%。最后两施工队同时开工并同时完工，在施工的日子里，雨天有多少天？例6 （2013北京模拟）一件工作，甲、乙合作要4小时完成，乙、丙合作要5小时完成现在先由甲、丙合作2小时后，余下的乙还需6小时完成，乙单独做这件工作要几小时？解：可
11、以理解成甲乙先合作2小时，乙丙再合作2小时，丙还做了622=2小时并2小时完成了1=，所以乙单独做这件工作要2=20小时答：乙单独做这件工作要20小时【解题规律】三人完成工作总量的类型, 主要考查工作量、工作时间及工作效率之间的关系【搭配课堂训练题】【难度分级】B1一项工程甲单独做6天可以完成，乙单独做要用8天可以完成，丙先做三天，结果完成这项工程的，余下的由甲、乙、丙三人合作，还需要几天完成？例7有一项工程，甲队单独作业需要10小时，乙队单独作业需要8小时，如果按照甲、乙，甲、乙，的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工作需要多长时间？解：1（） 4个循环后剩下的工作量，甲需要的时
12、间：1（）4 = =1 =4（次） 剩下的工作量甲需要的时间是:=1（小时）完成这项工作需要的时间是：42+1=9（小时）答：完成这项工作需要9小时【解题规律】属于两人轮流做的工程问题, 关键是求出循环的次数，然后再求循环完以后还需要的时间.【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 1一件工程甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按照甲乙、甲乙的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少小时完成？四.讲练结合题1一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天请问：乙休息了多少天？2如果甲、乙两队合做一
13、项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半，请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？3一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成如果按甲、乙、甲、乙的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？4游泳池有甲、乙、丙三个注水管。如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池。那么，单开丙管需要多少小时注满水池？五课后自测练习1.一项工程，计划5小时完成，实际4小时就完成了任务，工作效率提高了（ ）。A、 B、 C、 D、无法确定2.打一份稿件，甲单独打4小
14、时完成，乙独单打5小时完成。今甲乙合打2小时，正好打了90页。（1）这份稿件共有多少页？（2）两人共同打完这份稿件要用多少时间？3.一项工程甲独做24小时完成，乙独做36小时完成。现在要求20小时完成，并且两人合做的时间尽可能少。那么，甲、乙合做了几个小时？4.一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？5.一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去
15、做，还要几天？6.一个水池,单独开甲进水管需10小时将它注满,单独开乙进水管需12小时将它注满,单独开丙放水管需30小时放完一池水,问同时开放三管,多少小时将空池注满?7一项工程，甲队单独做15天完成，乙队独做好10天完成。甲乙合作若干天后，乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天。乙队比甲队少工作几天？8一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独需要12天完成。这件工作先由甲做了若干天后，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。这件工作先由甲独做了几天？9抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙两人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的；如果三人合抄只需要8天就
16、完成了，那么乙一人单独抄需要多少天？第三讲 工程问题答案例1： 解：（+） = =答：甲乙合作小时能够完成这项工程的。【搭配课堂训练题】1：解：1（+） =1 =4（天） 答：甲乙丙三人合作，4天完成。2：解：（+）10 =10+10 =+ = 答：两队合作10小时完成了工程的。3：解：1（+2）= 答：天能完成这件工作。4：解： （+）=5天 答：5天能完成这件工作的。例2：(+）2= (1-)=(小时) 答：剩下的由甲单独打，还要小时。【搭配课堂训练题】1： 1（+8）=4(天)答：4 天可以完成。2: (1-3)=4(天) 答：乙需要4天可以完成全部工作。例3： 乙：（-4）（6-4）=
17、 1（-）=15（天）答：甲队独做这项工程要15天。【搭配课堂训练题】1：乙：（1-6）40= 1=50（天） 甲：1（-）=75（天） 答：如果这件工作由甲或乙单独完成需要75天。2: 1（-）=24（天） 答：丙队单独做需要24天。3： 2848= 1-= 甲：（63-28）= 乙：-= (1-42)=56(天) 答：甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要56天。4： -= 1=9（天） 答：乙方单独完成工程的话用9天才行。5：解：设甲需要x天，则乙需要(-x)天； 45x+18（-x）=1 x= （1-20）（-）=38（天）答：甲先单做20天，然后再由乙来单独完成，还需要3
18、8天。例4：解：设甲需要x天，则乙需要(-x)天； 6x+2（-x）= x= -= 1=60（天）答：乙需要60天。【搭配课堂训练题】1： 解：设甲工作x天，则乙工作(-x)天；40x+（-x）28=1 x=-=30=（1-）=42（天）答：乙还要工作42天才能完成。2： 12（1-5-）=45（天）答：乙单独做完这项工程需要45天。例5：【搭配课堂训练题】1：解：设晴天x天，雨天y天； （1-50%）= （1-25%）= x+y=1 x+y=1 解得：x=6 ， y=12答：在施工的日子里，雨天有12天。例6：【搭配课堂训练题】1：（1-）（3+）=2（天）答：余下的由甲、乙、丙三人合作，还
19、需要2天完成。例7：【搭配课堂训练题】1（+）=3（小时）1-（+）=1（小时）(-)=（小时）3+3+31+=7（小时）答：每次一小时，那么需要7小时完成。四、讲练结合题1：解：设乙休息了x天； （16-2）+（16-x）=1 x=7答：乙休息了7天。2：（-10）5= 1（-）=40（天）答：甲单独完成这项工程需要40天。3:1（+）=3 小时 1-（+）3= =1 小时 （-）= 小时 3+3+1+=7 小时答：每人工作1小时后交换，那么需要7小时才能完成任务。4：乙：-= 丙：-= 1=（小时）答：单开丙管需要小时注满水池。五课后自测练习1：C2：（1）+= 2= 90=100（页）答
20、：这份稿件共有100页；（2）1=（小时）答：两人共同打完这份稿件要用小时。3：20= 1-= =6（小时）答，甲、乙合做了6个小时。4：甲：+= 乙：+= 1（+-）=10（小时）答：需要10小时。5：3= = 1-= =8（天）答：还要8天。6: 1（+-）=（小时）答：同时开放三管, 小时将空池注满。7：9= （1-）=4（天）9-4=5（天）答：乙队比甲队少工作5天。8：解：设甲单独做了x天，则乙做了（14-x）天； x+（14-x）=1 x=5 答：这件工作先由甲独做了5天。9：方法一：解：设甲要x天，乙要y天，则甲的功效为，乙的功效为，丙的功效为-；-=（+）（+-）8=1解得x=16 y=24答：乙一人单独抄需要24天。方法二：三人合作的效率为：甲的效率为：2=丙：（甲乙）=1:5丙：=乙的效率：-= 1=24（天）答：乙一人单独抄需要24天。19