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第五章复数 单元试卷(含答案解析)2023年新教材北师大版必修第二册

1、第五章复数本试卷共150分,考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2复数的虚部为()A0 B C4 D43复数z(a22a3)(a1)i为纯虚数,实数a的值是()A1 B3 C1 D1或34已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3) C(1,) D(,3)5已知复数z112i,z21i,z334i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C,若(,R),则的值是()A1 B2 C3 D46定义运算adb

2、c,则符合条件42i的复数z为()A3i B13i C3i D13i7已知i为虚数单位,a为实数,复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M,则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8复数zxyi(x,yR)满足条件|z4i|z2|,则|2x4y|的最小值为()A2 B4 C4 D16二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9下列命题正确的是()A若zC,则z20 Bz2i1的虚部是2C若a,bR,且ab,则aibi D实

3、数集在复数集中的补集是虚数集10下列命题中为真命题的是()A若复数z满足(1i)z1i,则z为纯虚数B若复数z满足z210,则ziC若复数z1,z2满足z1z2R,则z1z2D若复数z1abi,z2abi(a,bR),则z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称11设z1,z2是复数,则下列命题中为真命题的是()A若|z1z2|0,则z1z2 B若z1z2,则z1z2C若|z1|z2|,则z1z1z2z2 D若|z1|z2|,则zz12已知复数z满足i2k1z2i,(kZ)则z在复平面内对应的点可能位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20

4、分请把正确答案填在题中横线上)13若复数z(m1)(m2)i对应的点在直线y2x上,则实数m的值是_14设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位),则z的实部是_15在复平面内,复数1i与13i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则|_16设i是虚数单位,若复数a(aR)是纯虚数,则a的值为_四、解答题(本题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知复数z满足|34i|z13i.(1)求;(2)求的值18(12分)已知复数z12i,z1z255i(i为虚数单位).(1)求复数z2;(2)若复数z3(3z2)(m22m3)(m1)i在复平面内所对应的点在

5、第四象限,求实数m的取值范围19.(12分)已知复数z的实部为正数,|z|,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)若z2在复平面内对应的向量为,求向量的模20(12分)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,1),B(a,3),aR(1)若|z1z2|,求a的值;(2)若复数zz1z2对应的点在第二、四象限的角平分线上,求a的值21(12分)已知复数z1a23(a5)i,z2a1(a22a1)i,aR分别对应向量OZ1, OZ2,O为原点(1)若向量OZ1表示的点在第四象限,求a的取值范围;(2)若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数,求a的值22(12分)已知复数z和w满足zw2iz2i

6、w10,其中i为虚数单位(1)若z和w又满足z2i,求z和w的值(2)求证:如果|z|,那么|w4i|的值是一个常数,并求这个常数第五章复数1解析:由题意得复数z的实部为1,虚部为2,因此在复平面内对应的点为(1,2),位于第三象限答案:C2解析:34i,复数的虚部为4,选D.答案:D3解析:由题意知解得a3.故选B.答案:B4解析:由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3,m1),且该点在第四象限,所以解得3m1.答案:A5解析:依题意34i(12i)(1i)(2)i,1.答案:A6解析:zizz(1i)42i,z3i.答案:A7解析:z(a2i)(1i)(a2)(a2)i,所以点M

7、在第四象限的充要条件是即2a2,所以“a1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件答案:A8解析:由|z4i|z2|得x2y3.则2x4y224.答案:C9解析:A中,令ziC,则i210,不正确;B中,z2i112i的虚部是2,正确;C中,ai与bi都是虚数,不能比较大小,不正确;D中,由实数集与虚数集可组成复数集,正确故选BD.答案:BD10解析:A中,zi是纯虚数,A为真;B中,当zi时,满足z210,B为假;C中,当z1,z2互为共轭复数时,z1z2R,C为假;D正确故选AD.答案:AD11解析:对于A,若|z1z2|0,则z1z2,即z1z2;对于B、C,容易判断是真命题;对于D,若z

8、1,z21i,则|z1|z2|,但z2,z2i,所以是假命题故选ABC.答案:ABC12解析:i2k1z2izi1i5i,i3i7i当k为奇数时z12i在复平面内对应的点为(1,2),位于第二象限;当k为偶数时z12i在复平面内对应的点为(1,2),位于第四象限故选BD.答案:BD13解析:由已知得2(m1)(m2)0,m4.答案:414解析:设zabi(a,bR),则i(z1)i(a1bi)b(a1)i32i,所以a1,b3,复数z的实部是1.答案:115解析:(13i)(1i)22i,|2.答案:216解析:先利用复数的运算法则将复数化为xyi(x,yR)的形式,再由纯虚数的定义求a.因为

9、aaa(a3)i,由纯虚数的定义,知a30,所以a3.答案:317解析:(1)因为|34i|5,所以z13i543i,所以43i.(2)i.18解析:(1)z1z255i,z23i.(2)z3(3z2)(m22m3)(m1)ii(m22m3)(m1)i(m1)(m22m3)i,z3在复平面内所对应的点在第四象限,解得1m0,所以ab1,于是z1i.(2)由(1)可知z1i,则z2(1i)213i,则(1,3),所以向量的模为.20解析:由复数的几何意义可知z12i,z2a3i.(1)因为|z1z2|,所以|2a2i|,即(a1)(a3)0,解得a1或a3.(2)复数zz1z2(2i)(a3i)

10、(2a3)(a6)i.由题意可知,点(2a3,a6)在直线yx上,所以a6(2a3),解得a9.21解析:(1)复数z1a23(a5)i对应向量OZ1,向量OZ1表示的点在第四象限,解得a5.a的取值范围是(,5). (2)Z1Z2OZ2OZ1,向量Z1Z2对应的复数为z2z1a1(a22a1)ia23(a5)i(a2a2)(a2a6)i.根据向量Z1Z2对应的复数为纯虚数,可得(a2a2)0且(a2a6)0,解得a1.22解析:(1)设wxyi(x,yR),则由z2i,得z2ix(y2)i.zw2iz2iw1x(y2)i(xyi)2ix(y2)i2i(xyi)1x2y26y52xi,x2y2

11、6y52xi0.根据复数相等的充要条件,得或zi,wi或z3i,w5i.(2)证明:zw2iz2iw10,z(w2i)2iw1,|z(w2i)|2iw1|,即|z|w2i|2iw1|.又|z|,|w2i|2iw1|.设wxyi(x,yR).代入上式并整理,得.两边平方,得3x23y212y124x24y24y1.化简,得x2y28y11.|w4i|xyi4i|3是一个常数故|w4i|的值是一个常数,且这个常数为3.章末质量检测(五)第六章立体几何初步1解析:A错误如图1所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥B错误如图2,若ABC不是直角三角形或是直角三

12、角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥C错误若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长D正确答案:D2解析:当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图(1);当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图(2);当点Q不与点D、D1重合时,令Q、R分别为DD1、C1D1的中点,则截面图形为等腰梯形AQRB1,如图(3).D是不可能的答案:D3解析:由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R,则2R2R4S,得R2S.所以底面面积为R2S.答案:C4解析:设正四面体的棱长为a cm,则底面积为a2

13、 cm2,易求得高为a cm,则体积为a2aa39,解得a3,所以其表面积为4a218(cm2).答案:A5解析:选项A,B,C的条件都不能得到直线m平面.而补充选项D后,可以得到直线m平面.理由如下:若两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面故选D.答案:D6解析:将四面体可补形为长方体,此长方体的对角线即为球的直径,而长方体的对角线长为4,即球的半径为2,故这个球的表面积为4r216.答案:A7解析: V多面体P BCC1 B1S正方形BCC1 B1P B1421. 答案:B8解析:在A中,点A与点C一定不重合,故A正确;在B中,存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角

14、为60,故B正确;在C中,当平面ABF平面BEDF,平面DCE平面BEDF时,直线AF与直线CE垂直,故C正确;在D中,直线AB与直线CD不可能垂直,故D错误故选D.答案:D9解析:若m,则a,b且abP使得ma,mb,又mn,则na,nb,由线面垂直的判定定理得n,故A对;若m,n,如图,设mAB,平面A1B1C1D1为平面,m,设平面ADD1A1为平面,A1D1n,则mn,故B错;垂直于同一条直线的两个平面平行,故C对;若m,mn,则n,又n,则,故D对;故选ACD.答案:ACD10解析:若m,n且,则可以mn,m,n异面,或m,n相交,故A错误;若mn,m,则n,又n,故,B正确;若mn

15、,n,则m或m,又,m,故m,C正确;若mn,n,则m,则m或m,D错误故选BC.答案:BC11解析:对于A,取AD的中点M,连PM,BM,则侧面PAD为正三角形,PMAD,又底面ABCD是菱形,DAB60,ABD是等边三角形,ADBM,又PMBMM,PM,BM平面PMB,AD平面PBM,故A正确对于B,AD平面PBM,ADPB,即异面直线AD与PB所成的角为90,故B正确对于C,平面PBC平面ABCDBC,BCAD,BC平面PBM,BCPB,BCBM,PBM是二面角P BC A的平面角,设AB1,则BM,PM,在RtPBM中,tan PBM1,即PBM45,故二面角P BC A的大小为45,

16、故C正确对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误故选ABC.答案:ABC12解析:C、N、A共线,即CN、PM交于点A,共面,因此CM、PN共面,A错误;记PAC,则PN2AP2AN22APAN cos AP2AC2APAC cos ,CM2AC2AM22ACAM cos AC2AP2APAC cos ,又APAC,CM2PN2(AC2AP2)0,CM2PN2,即CMPN,B正确;由于正方体中,ANBD,BB1平面ABCD,则BB1AN,BB1BDB,可得AN平面BB1D1D,AN平面PAN,从而可得平面PAN平面BDD1B1,C正确;取C1D1中点K,连接KP,KC

17、,A1C1,易知PKA1C1,又正方体中,A1C1AC,PKAC,PK、AC共面,PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面,它是等腰梯形,D正确故选BCD.答案:BCD13解析:设圆锥的底面半径为r,根据题意,得2r2,解得r1,根据勾股定理,得圆锥的高为,所以圆锥的表面积S22123,体积V12.答案:3.14.解析:如图,过点S作SO平面ABCD,连接OC,则SCO60,SOsin 60SC23.答案:315解析:(1)a,b,不可以,举出反例如下:使,b,a,则此时能有a,b,但不一定有ab;(2)a,b,可以,由a得a与没有公共点,由b,a,b知,a,b在面内,且没有公共点,故平行;

18、(3)b,a可以,由b,a知,a,b无公共点,再由a,b,可得两直线平行综上可知满足的条件有(2)和(3).答案:(2)(3)16解析:对于,因为PA平面ABC,所以PAAE,又EAAB,PAABA,所以EA平面PAB,从而可得EAPB,故正确对于,由于PA平面ABC,所以平面ABC与平面PBC不可能垂直,故不正确对于,由于在正六边形中BCAD,所以BC与EA必有公共点,从而BC与平面PAE有公共点,所以直线BC与平面PAE不平行,故不正确对于,由条件得PAD为直角三角形,且PAAD,又PA2ABAD,所以PDA45,故正确综上正确答案:17解析:(1)证明:在正方体ABCD A1B1C1D1

19、中,ABD1C1,ABD1C1,四边形ABC1D1是平行四边形,AD1BC1,AD1平面C1BD,BC1平面C1BD,D1A平面C1BD.(2)由(1)知,AD1BC1,异面直线D1A与BD所成的角即为C1BD.易知C1BD为等边三角形,C1BD60,即异面直线D1A与BD所成的角为60.18解析:(1)ABCD ABCD是正方体,ABACADBCBDCDa,三棱锥A BCD的表面积为4aa2a2.而正方体的表面积为6a2,故三棱锥A BCD的表面积与正方体表面积的比值为.(2)三棱锥A ABD,C BCD,D ADC,B ABC是完全一样的故V三棱锥A BCDV正方体4V三棱锥A ABDa3

20、4a2a.19证明:(1)点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点,EGPM,GFBC.又PM平面PMA,EG平面PMA,EG平面PMA.四边形ABCD是正方形,BCAD,GFAD.AD平面PMA,GF平面PMA,GF平面PMA.又EGGFG,平面EFG平面PMA.(2)由已知MA平面ABCD,PDMA,PD平面ABCD.又BC平面ABCD,PDBC.四边形ABCD为正方形,BCDC.又PDDCD,BC平面PDC.在PBC中,G,F分别为PB,PC的中点,GFBC,GF平面PDC.又GF平面EFG,平面PDC平面EFG.20解析:(1)证明:AB2,BD2,AD4,AB2BD2AD2.ABB

21、D.平面EBD平面ABD,且平面EBD平面ABDBD,AB平面EBD.DE平面EBD,ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB,CDBD,从而折叠后DEBD.在RtDBE中,DB2,DEDCAB2,SDBEDBDE2,又AB平面EBD,BE平面EBD,ABBE.BEBCAD4,SABEABBE4.DEBD,平面EBD平面ABD,ED平面ABD.又AD平面ABD,EDAD.SADEADDE4.综上,三棱锥E ABD的侧面积S82.21解析:(1)如图(1),取AA1的中点M,连接EM,BM.E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,EMAD.在正方体ABCD A1B1C1D1中,AD平面

22、ABB1A1,EM平面ABB1A1,从而EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则EMAD2,BE 3.在RtBEM中,sin EBM.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE.证明如下:如图(2),分别取C1D1和CD的中点F和G,连接EG,BG,CD1,FG,B1F.A1D1B1C1BC,且A1D1BC,四边形A1BCD1为平行四边形,D1CA1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,EGD1C,EGA1B.A1,B,G,E四点共面,BG平面A1BE.在正方体AC1中,F和G分别为C1D

23、1和CD的中点,GF綊C1C綊B1B,四边形B1BGF为平行四边形,B1FBG.又B1F平面A1BE,BG平面A1BE,B1F平面A1BE.22解析:(1)证明:由已知,得AA1 BC,ACBC,则BC平面AA1C1C.又C1D平面AA1C1C,则BCC1D.因为D为AA1的中点,所以ADAC1.又ADAC,则CAD为等腰直角三角形,所以ADC45.同理A1DC145.所以CDC190,即CDC1D.结合得,C1D平面BCD.(2)作CEC1D,垂足为E,连接BE,如图因为BC平面AA1C1C,所以BCC1D,所以C1D平面BCE.则C1DBE,所以BEC为二面角BC1DC的平面角因为A1D,A1C11,所以C1D.在CC1D中,CC12,CC1边上的高为1,则其面积为1.所以由CE1得CE .在RtBCE中,tan BEC,则BEC60.所以二面角BC1DC的大小为60.