1、第五章复数本试卷共150分，考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2复数的虚部为()A0 B C4 D43复数z(a22a3)(a1)i为纯虚数，实数a的值是()A1 B3 C1 D1或34已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1) B(1，3) C(1，) D(，3)5已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是()A1 B2 C3 D46定义运算adb
2、c，则符合条件42i的复数z为()A3i B13i C3i D13i7已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8复数zxyi(x，yR)满足条件|z4i|z2|，则|2x4y|的最小值为()A2 B4 C4 D16二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9下列命题正确的是()A若zC，则z20 Bz2i1的虚部是2C若a，bR，且ab，则aibi D实
3、数集在复数集中的补集是虚数集10下列命题中为真命题的是()A若复数z满足(1i)z1i，则z为纯虚数B若复数z满足z210，则ziC若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2D若复数z1abi，z2abi(a，bR)，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称11设z1，z2是复数，则下列命题中为真命题的是()A若|z1z2|0，则z1z2 B若z1z2，则z1z2C若|z1|z2|，则z1z1z2z2 D若|z1|z2|，则zz12已知复数z满足i2k1z2i，(kZ)则z在复平面内对应的点可能位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20
4、分请把正确答案填在题中横线上)13若复数z(m1)(m2)i对应的点在直线y2x上，则实数m的值是_14设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位)，则z的实部是_15在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_16设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为_四、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知复数z满足|34i|z13i.(1)求；(2)求的值18(12分)已知复数z12i，z1z255i(i为虚数单位).(1)求复数z2；(2)若复数z3(3z2)(m22m3)(m1)i在复平面内所对应的点在
5、第四象限，求实数m的取值范围19.(12分)已知复数z的实部为正数，|z|，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)若z2在复平面内对应的向量为，求向量的模20(12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2，1)，B(a，3)，aR(1)若|z1z2|，求a的值；(2)若复数zz1z2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值21(12分)已知复数z1a23(a5)i，z2a1(a22a1)i，aR分别对应向量OZ1， OZ2，O为原点(1)若向量OZ1表示的点在第四象限，求a的取值范围；(2)若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值22(12分)已知复数z和w满足zw2iz2i
6、w10，其中i为虚数单位(1)若z和w又满足z2i，求z和w的值(2)求证：如果|z|，那么|w4i|的值是一个常数，并求这个常数第五章复数1解析：由题意得复数z的实部为1，虚部为2，因此在复平面内对应的点为(1，2)，位于第三象限答案：C2解析：34i，复数的虚部为4，选D.答案：D3解析：由题意知解得a3.故选B.答案：B4解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，且该点在第四象限，所以解得3m1.答案：A5解析：依题意34i(12i)(1i)(2)i，1.答案：A6解析：zizz(1i)42i，z3i.答案：A7解析：z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，所以点M
7、在第四象限的充要条件是即2a2，所以“a1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件答案：A8解析：由|z4i|z2|得x2y3.则2x4y224.答案：C9解析：A中，令ziC，则i210，不正确；B中，z2i112i的虚部是2，正确；C中，ai与bi都是虚数，不能比较大小，不正确；D中，由实数集与虚数集可组成复数集，正确故选BD.答案：BD10解析：A中，zi是纯虚数，A为真；B中，当zi时，满足z210，B为假；C中，当z1，z2互为共轭复数时，z1z2R，C为假；D正确故选AD.答案：AD11解析：对于A，若|z1z2|0，则z1z2，即z1z2；对于B、C，容易判断是真命题；对于D，若z
8、1，z21i，则|z1|z2|，但z2，z2i，所以是假命题故选ABC.答案：ABC12解析：i2k1z2izi1i5i，i3i7i当k为奇数时z12i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第二象限；当k为偶数时z12i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第四象限故选BD.答案：BD13解析：由已知得2(m1)(m2)0，m4.答案：414解析：设zabi(a，bR)，则i(z1)i(a1bi)b(a1)i32i，所以a1，b3，复数z的实部是1.答案：115解析：(13i)(1i)22i，|2.答案：216解析：先利用复数的运算法则将复数化为xyi(x，yR)的形式，再由纯虚数的定义求a.因为
9、aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.答案：317解析：(1)因为|34i|5，所以z13i543i，所以43i.(2)i.18解析：(1)z1z255i，z23i.(2)z3(3z2)(m22m3)(m1)ii(m22m3)(m1)i(m1)(m22m3)i，z3在复平面内所对应的点在第四象限，解得1m0，所以ab1，于是z1i.(2)由(1)可知z1i，则z2(1i)213i，则(1，3)，所以向量的模为.20解析：由复数的几何意义可知z12i，z2a3i.(1)因为|z1z2|，所以|2a2i|，即(a1)(a3)0，解得a1或a3.(2)复数zz1z2(2i)(a3i)
10、(2a3)(a6)i.由题意可知，点(2a3，a6)在直线yx上，所以a6(2a3)，解得a9.21解析：(1)复数z1a23(a5)i对应向量OZ1，向量OZ1表示的点在第四象限，解得a5.a的取值范围是(，5). (2)Z1Z2OZ2OZ1，向量Z1Z2对应的复数为z2z1a1(a22a1)ia23(a5)i(a2a2)(a2a6)i.根据向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，可得(a2a2)0且(a2a6)0，解得a1.22解析：(1)设wxyi(x，yR)，则由z2i，得z2ix(y2)i.zw2iz2iw1x(y2)i(xyi)2ix(y2)i2i(xyi)1x2y26y52xi，x2y2
11、6y52xi0.根据复数相等的充要条件，得或zi，wi或z3i，w5i.(2)证明：zw2iz2iw10，z(w2i)2iw1，|z(w2i)|2iw1|，即|z|w2i|2iw1|.又|z|，|w2i|2iw1|.设wxyi(x，yR).代入上式并整理，得.两边平方，得3x23y212y124x24y24y1.化简，得x2y28y11.|w4i|xyi4i|3是一个常数故|w4i|的值是一个常数，且这个常数为3.章末质量检测(五)第六章立体几何初步1解析：A错误如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥B错误如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三
12、角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥C错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确答案：D2解析：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D、D1重合时，令Q、R分别为DD1、C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3).D是不可能的答案：D3解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R2R4S，得R2S.所以底面面积为R2S.答案：C4解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为a2
13、 cm2，易求得高为a cm，则体积为a2aa39，解得a3，所以其表面积为4a218(cm2).答案：A5解析：选项A，B，C的条件都不能得到直线m平面.而补充选项D后，可以得到直线m平面.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面故选D.答案：D6解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4r216.答案：A7解析： V多面体P BCC1 B1S正方形BCC1 B1P B1421. 答案：B8解析：在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角
14、为60，故B正确；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误故选D.答案：D9解析：若m，则a，b且abP使得ma，mb，又mn，则na，nb，由线面垂直的判定定理得n，故A对；若m，n，如图，设mAB，平面A1B1C1D1为平面，m，设平面ADD1A1为平面，A1D1n，则mn，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若m，mn，则n，又n，则，故D对；故选ACD.答案：ACD10解析：若m，n且，则可以mn，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若mn，m，则n，又n，故，B正确；若mn
15、，n，则m或m，又，m，故m，C正确；若mn，n，则m，则m或m，D错误故选BC.答案：BC11解析：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则侧面PAD为正三角形，PMAD，又底面ABCD是菱形，DAB60，ABD是等边三角形，ADBM，又PMBMM，PM，BM平面PMB，AD平面PBM，故A正确对于B，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90，故B正确对于C，平面PBC平面ABCDBC，BCAD，BC平面PBM，BCPB，BCBM，PBM是二面角P BC A的平面角，设AB1，则BM，PM，在RtPBM中，tan PBM1，即PBM45，故二面角P BC A的大小为45，
16、故C正确对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误故选ABC.答案：ABC12解析：C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；记PAC，则PN2AP2AN22APAN cos AP2AC2APAC cos ，CM2AC2AM22ACAM cos AC2AP2APAC cos ，又APAC，CM2PN2(AC2AP2)0，CM2PN2，即CMPN，B正确；由于正方体中，ANBD，BB1平面ABCD，则BB1AN，BB1BDB，可得AN平面BB1D1D，AN平面PAN，从而可得平面PAN平面BDD1B1，C正确；取C1D1中点K，连接KP，KC
17、，A1C1，易知PKA1C1，又正方体中，A1C1AC，PKAC，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确故选BCD.答案：BCD13解析：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2r2，解得r1，根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积S22123，体积V12.答案：3.14.解析：如图，过点S作SO平面ABCD，连接OC，则SCO60，SOsin 60SC23.答案：315解析：(1)a，b，不可以，举出反例如下：使，b，a，则此时能有a，b，但不一定有ab；(2)a，b，可以，由a得a与没有公共点，由b，a，b知，a，b在面内，且没有公共点，故平行；
18、(3)b，a可以，由b，a知，a，b无公共点，再由a，b，可得两直线平行综上可知满足的条件有(2)和(3).答案：(2)(3)16解析：对于，因为PA平面ABC，所以PAAE，又EAAB，PAABA，所以EA平面PAB，从而可得EAPB，故正确对于，由于PA平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故不正确对于，由于在正六边形中BCAD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故不正确对于，由条件得PAD为直角三角形，且PAAD，又PA2ABAD，所以PDA45，故正确综上正确答案：17解析：(1)证明：在正方体ABCD A1B1C1D1
19、中，ABD1C1，ABD1C1，四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，AD1平面C1BD，BC1平面C1BD，D1A平面C1BD.(2)由(1)知，AD1BC1，异面直线D1A与BD所成的角即为C1BD.易知C1BD为等边三角形，C1BD60，即异面直线D1A与BD所成的角为60.18解析：(1)ABCD ABCD是正方体，ABACADBCBDCDa，三棱锥A BCD的表面积为4aa2a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A BCD的表面积与正方体表面积的比值为.(2)三棱锥A ABD，C BCD，D ADC，B ABC是完全一样的故V三棱锥A BCDV正方体4V三棱锥A ABDa3
20、4a2a.19证明：(1)点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又PM平面PMA，EG平面PMA，EG平面PMA.四边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.AD平面PMA，GF平面PMA，GF平面PMA.又EGGFG，平面EFG平面PMA.(2)由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.在PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面PDC平面EFG.20解析：(1)证明：AB2，BD2，AD4，AB2BD2AD2.ABB
21、D.平面EBD平面ABD，且平面EBD平面ABDBD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB，CDBD，从而折叠后DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2，又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD.又AD平面ABD，EDAD.SADEADDE4.综上，三棱锥E ABD的侧面积S82.21解析：(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，EMAD.在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD平面
22、ABB1A1，EM平面ABB1A1，从而EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则EMAD2，BE 3.在RtBEM中，sin EBM.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：如图(2)，分别取C1D1和CD的中点F和G，连接EG，BG，CD1，FG，B1F.A1D1B1C1BC，且A1D1BC，四边形A1BCD1为平行四边形，D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，EGD1C，EGA1B.A1，B，G，E四点共面，BG平面A1BE.在正方体AC1中，F和G分别为C1D
23、1和CD的中点，GF綊C1C綊B1B，四边形B1BGF为平行四边形，B1FBG.又B1F平面A1BE，BG平面A1BE，B1F平面A1BE.22解析：(1)证明：由已知，得AA1 BC，ACBC，则BC平面AA1C1C.又C1D平面AA1C1C，则BCC1D.因为D为AA1的中点，所以ADAC1.又ADAC，则CAD为等腰直角三角形，所以ADC45.同理A1DC145.所以CDC190，即CDC1D.结合得，C1D平面BCD.(2)作CEC1D，垂足为E，连接BE，如图因为BC平面AA1C1C，所以BCC1D，所以C1D平面BCE.则C1DBE，所以BEC为二面角BC1DC的平面角因为A1D，A1C11，所以C1D.在CC1D中，CC12，CC1边上的高为1，则其面积为1.所以由CE1得CE .在RtBCE中，tan BEC，则BEC60.所以二面角BC1DC的大小为60.