1、2017 年四川省阿坝州茂县中考数学一模试卷一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分）1 的倒数是（ ）A5 B C D52下列事件，是必然事件的是（ ）A掷一枚六个面分别标有 16 的数字的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上B从一幅扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃C在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天D任意选择在播放中电视的某一频道，正在播放新闻3已知O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，则直线 L 与O 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定4不等式组 的最小整数解是（ ）A0 B1 C2 D35下列运算中，正确的是（ ）A3 2
2、 =6 B =6C （x） 2（x）=x D （2x 2） 3=8x 66如图中的几何体的左视图是（ ）A B C D72010 年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到 4640 万人次，其中 4640 万用科学记数法可表示为（ ）A0.46410 9 B4.6410 8C4.6410 7D46.410 68已知：如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，则一次函数 y=ax+b 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限9如图，ABC 内接于O，连接 OA、OC，O 的半径为 3，且 sinB= ，则弦 AC 的长为（ ）A B5 C D10如
3、图，在平行四边形 ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是 BD 上的任一点，过点 P 作 EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点 E、F，设 BP=x，EF=y，则能反映 y 与 x 之间关系的图象是（ ）A B C D二、填空题：（每小题 3 分，共 15 分）11分解因式：x 24= 12如图所示，在梯形 ABCD 中，ABDC，BDAD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形 ABCD 的面积是 13在一个不透明的布袋中装有红球 6 个，白球 3 个，黑球 1 个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任意取出一球为红球的概率是 14已知一个菱形的周长为 24cm，有一个内角为 60，则这个菱
4、形较短的一条对角线长为 15已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ，若 14+ =142 （a、b 均为正整数） ，则 a+b= 三、解答题：16 （1）计算： （ 1） 02cos30（2）解方程： + =217如图所示，在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC，ACB 的平分线 CF 交 AD于点 F点 E 是 AB 的中点，连接 EF（1）求证：EFBC；（2）若ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积18某中学团委会为了解该校学生的课余活动情况，采取抽样的办法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制了如下
5、的两幅不完整的统计图（如图） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）这次抽样中，一共调查了多少名学生？（2） “其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？（3）若该校有 2500 名学生，你估计全校可能有多少名学生爱好阅读？19如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东60方向上，航行半小时后到达点 B 测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁（1）说明点 B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由20如图，已知一次函数 y1=x+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、C 两点和反比例函数交于 A、B
6、两点，且点 A 的坐标是（1，3）点 B 的坐标是（3，m）（1）求 a，k，m 的值；（2）求 C、D 两点的坐标，并求AOB 的面积一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 ）B 卷（50）分21若 3a2a2=0，则 5+2a6a 2= 22如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 上，若 PA 长为 2，则PEF 的周长是 23在函数 （k0 的常数）的图象上有三个点（2，y 1） ， （1，y 2） ， （ ，y 3） ，函数值 y1，y 2，y 3的大小为 24如图，在ABC 中，BC=4，以
7、点 A 为圆心、2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于E，交 AC 于 F，点 P 是A 上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 25如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm，母线OE（OF）长为 10cm在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm二解答题（本大题共 3 小题，共 30 分）26某个体经营户销售同一型号的 A、B 两种品牌的服装，平均每月共销售 60 件，已知两种品牌的成本和利润如表所示，设平均每月的利润
8、为 y 元，每月销售 A 品牌 x 件（1）写出 y 关于 x 的函数关系式（2）如果每月投入的成本不超过 6500 元，所获利润不少于 2920 元，不考虑其他因素，那么销售方案有哪几种？（3）在（2）的条件下要使平均每月利润率最大，请直接写出 A、B 两种品牌的服装各销售多少件？A B成本（元/件） 120 85利润（元/件） 60 3027如图，AB 为O 的直径，AD 平分BAC 交O 于点 D，DEAC 交 AC 的延长线于点E，BFAB 交 AD 的延长线于点 F，（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE=3，O 的半径为 5，求 BF 的长28如图，已知二次函数 y=ax2
9、+bx+c 的象经过 A（1，0） 、B（3，0） 、N（2，3）三点，且与 y 轴交于点 C（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点 M 及点 C 的坐标；（2）若直线 y=kx+d 经过 C、M 两点，且与 x 轴交于点 D，试证明四边形 CDAN 是平行四边形；（3）点 P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点 P，使以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由2017 年四川省阿坝州茂县八一中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分）1 的倒数是（ ）A5
10、 B C D5【考点】倒数【分析】乘积是 1 的两数互为倒数，由此可得出答案【解答】解： 的倒数为5故选 A2下列事件，是必然事件的是（ ）A掷一枚六个面分别标有 16 的数字的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上B从一幅扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃C在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天D任意选择在播放中电视的某一频道，正在播放新闻【考点】随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断【解答】解：A、不一定发生，是随机事件，故选项错误，B、不一定发生，是随机事件，故选项错误，C、是必然事件，故正确，D、不一定发生，是随机事件，故选项错误，故选 C
11、3已知O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，则直线 L 与O 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆 O 的半径和，圆心 O 到直线 L 的距离的大小，相交：dr；相切：d=r；相离：dr；即可选出答案【解答】解：O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，32，即：dr，直线 L 与O 的位置关系是相交故选 A4不等式组 的最小整数解是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集，即可确定不等式组的最小整数解【解答】解：解不等式（1）得：x ，则不等式组的解
12、集是： x3，故最小的整数解是：1故选 B5下列运算中，正确的是（ ）A3 2 =6 B =6C （x） 2（x）=x D （2x 2） 3=8x 6【考点】整式的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂【分析】直接利用整式除法运算法则以及结合算术平方根和负指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：A、3 2 = = ，故此选项错误，不合题意；B、 =6，故此选项错误，不合题意；C、 （x） 2（x）=x，故此选项错误，不合题意；D、 （2x 2） 3=8x 6，正确，符合题意故选：D6如图中的几何体的左视图是（ ）A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】根据从左边看得到的图形
13、是左视图，可得答案【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，故选：A72010 年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到 4640 万人次，其中 4640 万用科学记数法可表示为（ ）A0.46410 9 B4.6410 8C4.6410 7D46.410 6【考点】科学记数法表示较大的数【分析】先把 4 640 万表示为用个表示的数，进而用科学记数法表示成 a10n即可【解答】解：4 640 万=46 400 000=4.6410 7故选 C8已知：如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，则一次函数 y=ax+b 的图象不经过（ ）A第一象
14、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线的开口向上可得：a0，根据抛物线的对称轴在 y 轴左边可得：a，b同号，所以 b0所以直线 y=ax+b 不经过第四象限【解答】解：抛物线的开口向上，a0，对称轴在 y 轴左边，a，b 同号，即 b0，直线 y=ax+b 不经过第四象限，故选 D9如图，ABC 内接于O，连接 OA、OC，O 的半径为 3，且 sinB= ，则弦 AC 的长为（ ）A B5 C D【考点】圆周角定理；解直角三角形【分析】延长 AO，交O 于点 E，根据圆周角定理，AEC=B，在直角三角形 ACE 中
15、，由sinB= ，求得弦 AC 的长【解答】解：延长 AO，交O 于点 E，AEC=B，AE 是O 的直径，ACE=90，在直角三角形 ACE 中，sinB= ， =AO=3，AE=6，AC=5故选 B10如图，在平行四边形 ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是 BD 上的任一点，过点 P 作 EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点 E、F，设 BP=x，EF=y，则能反映 y 与 x 之间关系的图象是（ ）A B C D【考点】动点问题的函数图象；一次函数的图象；正比例函数的图象；平行四边形的性质；平行线分线段成比例【分析】根据平行四边形的性质得到 OD=OB= BD=3，根据平行线分
16、线段成比例定理得到= 和 = ，代入求出 y 与 x 的关系式，根据函数的图象特点即可选出答案【解答】解：设 AC 交 BD 于 O，四边形 ABCD 是平行四边形，OD=OB= BD=3，当 P 在 OB 上时，EFAC， = = ， = ，y= x，当 P 在 OD 上时，同法可得： = = ， = ，y= x+8，两种情况都是一次函数，图象是直线故选：C二、填空题：（每小题 3 分，共 15 分）11分解因式：x 24= （x+2） （x2） 【考点】因式分解运用公式法【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可【解答】解：x 24=（x+2） （x2） 故答案为：（x+2） （x2） 1
17、2如图所示，在梯形 ABCD 中，ABDC，BDAD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形 ABCD 的面积是 cm2 【考点】等腰梯形的性质【分析】根据已知可判定梯形为等腰梯形，并可求出其底角为特殊角，进而求出 AB【解答】解：作 DEAB，垂足为 E，ABDC，AD=DC=BC=2cm，梯形 ABCD 为等腰梯形，BCD 为等腰三角形，DAB=CBA，CDB=CBD，又ABDC，CDB=DBA，CBD=DBA，DBA= CBA= DAB，设DBA=x，DBAD，x+2x=90，解得 x=30，即DBA=30，DAB=60，AB=4cm，在 RtADE 中，AE= AD= 2=1cm，DE=
18、cm，S 梯形 ABCD= =3 cm2故答案为：3 cm213在一个不透明的布袋中装有红球 6 个，白球 3 个，黑球 1 个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任意取出一球为红球的概率是 【考点】概率公式【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：根据题意可得：一袋中装有红球 6 个，白球 3 个，黑球 1 个，共 10 个，任意摸出 1 个，摸到红球的概率是 = 故答案为： 14已知一个菱形的周长为 24cm，有一个内角为 60，则这个菱形较短的一条对角线长为 6cm 【考点】菱形的性质【分析】先连接 AC、BD，AC、BD
19、交于点 O，由于四边形 ABCD 是菱形，那么 AB=BC=CD=AD，从而易求菱形的边长，再根据ABC=60，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可证ABC 是等边三角形，那么就有 AC=6【解答】解：如右图所示，ABC=60，连接 AC、BD，AC、BD 交于点 O，四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=AD，又菱形的周长为 24，AB=BC=CD=AD=6，又ABC=60，BAC 是等边三角形，AC=AB=6故答案是 6cm15已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ，若 14+ =142 （a、b 均为正整数） ，则 a+b= 209 【考点】有理数的乘方【分析】
20、根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出 a，b，进而求出 a+b 的值【解答】解：由已知得出：14+ =142 ，b=14 21，a=14，a+b=14+14 21=209故答案为：209三、解答题：16 （1）计算： （ 1） 02cos30（2）解方程： + =2【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；解分式方程【分析】 （1）首先计算乘方，然后进行加减运算即可；（2）首先去分母化成整式方程，然后求得 x 的值，最后进行检验即可【解答】解：（1）原式=2 12 = 1；（2）方程两边同时乘以（x+1） （x1）得：x+1+2x（x1）=2（x+1） （x1）即：x3=0解得：x=3经检验
21、：x=3 是原方程的解17如图所示，在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC，ACB 的平分线 CF 交 AD于点 F点 E 是 AB 的中点，连接 EF（1）求证：EFBC；（2）若ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积【考点】等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质【分析】 （1）在等腰ACD 中，CF 是顶角ACD 的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知 F 是底边 AD 的中点，由此可证得 EF 是ABD 的中位线，即可得到 EFBC 的结论；（2）易证得AEFABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方） ，可求出ABD 的面积
22、，而四边形 BDFE 的面积为ABD 和AEF 的面积差，由此得解【解答】 （1）证明：在ACD 中，DC=AC，CF 平分ACD；AF=FD，即 F 是 AD 的中点；又E 是 AB 的中点，EF 是ABD 的中位线；EFBC；（2）解：由（1）易证得：AEFABD；S AEF ：S ABD =（AE：AB） 2=1：4，S ABD =4SAEF =6，S AEF =1.5S 四边形 BDFE=SABD S AEF =61.5=4.518某中学团委会为了解该校学生的课余活动情况，采取抽样的办法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制了如下的两幅不完整的
23、统计图（如图） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）这次抽样中，一共调查了多少名学生？（2） “其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？（3）若该校有 2500 名学生，你估计全校可能有多少名学生爱好阅读？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】 （1）根据两种统计图中得到的运动的人数及其所占的比例求得调查的学生总数即可；（2）求出其他占调查总数的百分比，用 360乘以该百分比即可求得其他所对的圆心角的度数（3）用学生总数乘以喜欢阅读的所占的百分比即可得到全校喜欢阅读的同学数【解答】解：（1）由条形统计图及扇形统计图可知：喜欢运动的有 20 人，占被调查学生的 20%，20
24、20%=100 人；（2）喜欢阅读的同学有 30 人，喜欢雨阅读的所占的百分比为：30100100%=30%，其他所占百分比为：120%30%40%=10%，其它”在扇形图中所占的圆心角为：36010%=36；（3）250030%=750 人，全校可能有多少名学生爱好阅读 750 人19如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东60方向上，航行半小时后到达点 B 测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁（1）说明点 B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由【考点】解直角三角形的应用方向角问题【分析】 （
25、1）求点 B 是否在暗礁区域内，其实就是求 CB 的距离是否大于 16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在可通过构造直角三角形来求 CB 的长，作 CDAB 于点 D，CD是直角三角形 ACD 和 CBD 的公共直角边，可先求出 CD 的长，再求出 CB 的长；（2）本题实际上是问，C 到 AB 的距离即 CD 是否大于 16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值， （1）已经求出，只要进行比较即可【解答】解：（1）作 CDAB 于点 D，设 BC 为 x，在 RtBCD 中CBD=60， 在 RtACD 中CAD=30 ， x=18B 点不在暗礁区域内；（2） ， ，若继续向东航行船有
26、触礁的危险20如图，已知一次函数 y1=x+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、C 两点和反比例函数交于 A、B 两点，且点 A 的坐标是（1，3）点 B 的坐标是（3，m）（1）求 a，k，m 的值；（2）求 C、D 两点的坐标，并求AOB 的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 （1）由于已知一次函数 y1=x+a 和反比例函数 交于 A、B 两点，且点 A 的坐标是（1，3） ，把 A 的坐标代入反比例函数解析式中即可确定 k 的值，然后利用解析式即可确定点 B 的坐标，最后利用 A 或 B 坐标即可确定 a 的值；（2）利用（1）中求出的直线的解析式可以确定 C，D 的
27、坐标，然后利用面积的割补法可以求出AOB 的面积【解答】解：（1）反比例函数 经过 A、B 两点，且点 A 的坐标是（1，3） ，3= ，k=3，而点 B 的坐标是（3，m） ，m= =1，一次函数 y1=x+a 经过 A 点，且点 A 的坐标是（1，3） ，3=1+a，a=4；（2）y 1=x+4，当 x=0 时，y=4，当 y=0 时，x=4，C 的坐标为（0，4） ，D 的坐标为（4，0） ，S AOB =SCOB S COA = 43 41=4一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 ）B 卷（50）分21若 3a2a2=0，则 5+2a6a 2= 1 【考点】代数
28、式求值【分析】先观察 3a2a2=0，找出与代数式 5+2a6a 2之间的内在联系后，代入求值【解答】解；3a 2a2=0，3a 2a=2，5+2a6a 2=52（3a 2a）=522=1故答案为：122如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 上，若 PA 长为 2，则PEF 的周长是 4 【考点】切线的性质【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，然后根据PEF 的周长公式即可求出其结果【解答】解：PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C
29、在 上，AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，PEF 的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4故填空答案：423在函数 （k0 的常数）的图象上有三个点（2，y 1） ， （1，y 2） ， （ ，y 3） ，函数值 y1，y 2，y 3的大小为 y 3y 1y 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】先根据函数 y= （k0 的常数）判断出函数图象所在的象限，再根据三点坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象的特点进行解答即可【解答】解：函数 y= （k0 的常数） ，此函数的图象在一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，20，10， 0，（2，y 1） ， （1，y 2
30、）在第三象限， （ ，y 3）在第一象限，21，0y 1y 2，y 30，故答案为：y 3y 1y 224如图，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心、2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于E，交 AC 于 F，点 P 是A 上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是 4 （结果保留 ） 【考点】扇形面积的计算；圆周角定理；切线的性质【分析】由于 BC 切A 于 D，那么连接 AD，可得出 ADBC，即ABC 的高 AD=2；已知了底边 BC 的长，可求出ABC 的面积根据圆周角定理，易求得EAF=2P=80，已知了圆的半径，可求出扇形 AEF 的面积图中阴影部分的面积=
31、ABC 的面积扇形 AEF 的面积由此可求阴影部分的面积【解答】解：连接 AD，则 ADBC；ABC 中，BC=4，AD=2；S ABC = BCAD=4EAF=2EPF=80，AE=AF=2；S 扇形 EAF= = ；S 阴影 =SABC S 扇形 EAF=4 25如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm，母线OE（OF）长为 10cm在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离 2 cm【考点】平面展开最短路径问题；圆锥的计算【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆
32、锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】解：因为 OE=OF=EF=10（cm） ，所以底面周长=10（cm） ，将圆锥侧面沿 OF 剪开展平得一扇形，此扇形的半径 OE=10（cm） ，弧长等于圆锥底面圆的周长 10（cm）设扇形圆心角度数为 n，则根据弧长公式得：10= ，所以 n=180，即展开图是一个半圆，因为 E 点是展开图弧的中点，所以EOF=90，连接 EA，则 EA 就是蚂蚁爬行的最短距离，在 RtAOE 中由勾股定理得，EA2=OE2+OA2=100+64=164，所以 EA=2 （cm） ，即蚂蚁爬行的最短距离是 2 （cm） 二解答题（本大题共 3 小题
33、，共 30 分）26某个体经营户销售同一型号的 A、B 两种品牌的服装，平均每月共销售 60 件，已知两种品牌的成本和利润如表所示，设平均每月的利润为 y 元，每月销售 A 品牌 x 件（1）写出 y 关于 x 的函数关系式（2）如果每月投入的成本不超过 6500 元，所获利润不少于 2920 元，不考虑其他因素，那么销售方案有哪几种？（3）在（2）的条件下要使平均每月利润率最大，请直接写出 A、B 两种品牌的服装各销售多少件？A B成本（元/件） 120 85利润（元/件） 60 30【考点】一次函数的应用【分析】 （1）依题意，B 品牌每月销售（60x）件，根据 A、B 品牌每件的利润，列
34、函数关系式；（2）按照 A、B 两种产品的成本范围，利润范围，列不等式组求 x 的取值范围，再根据 x为整数，确定销售方案；（3）根据函数关系式，直接求出月利润最大时，A、B 两种产品的销售量【解答】解：（1）依题意，利润 y=60x+30（60x）=30x+1800；（2）依题意，得，解得 x40，x=38，39，40，共有三种方案：A：38，B：22A：39，B：21A：40，B：20（3）利润 y=30x+1800；当 x 取最大值 40 时，月利润最大，当 A 销售 40 件，B 销售 20 件时，月利润最大27如图，AB 为O 的直径，AD 平分BAC 交O 于点 D，DEAC 交
35、AC 的延长线于点E，BFAB 交 AD 的延长线于点 F，（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE=3，O 的半径为 5，求 BF 的长【考点】切线的判定【分析】 （1）由 AD 平分BAC，得到1=2，而 OD=OA，2=3，所以1=3，则有ODAE，而 DEAC，所以 ODDE；（2）过 D 作 DPAB，P 为垂足，则 DP=DE=3，由O 的半径为 5，在 RtOPD 中，OD=5，DP=3，得 OP=4，则 AP=9，再由 BFAB，得 DPFB，有 = ，即可求出 BF【解答】 （1）证明：连 OD，如图，AD 平分BAC，1=2（等弦对等角） ，又OD=OA，得2=3（等
36、角对等边） ，1=3（等量代换） ，而 DEAC，ODDE，DE 是O 的切线；（2）过 D 作 DPAB，P 为垂足，AD 为BAC 的平分线，DE=3，DP=DE=3，又O 的半径为 5，在 RtOPD 中，OD=5，DP=3，得 OP=4，则 AP=9，BFAB，DPFB， = ，即 = ，BF= 28如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的象经过 A（1，0） 、B（3，0） 、N（2，3）三点，且与 y 轴交于点 C（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点 M 及点 C 的坐标；（2）若直线 y=kx+d 经过 C、M 两点，且与 x 轴交于点 D，试证明四边形 CDAN 是平行
37、四边形；（3）点 P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点 P，使以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）根据题意将点 A，B，N 的坐标代入函数解析式，组成方程组即可求得；（2）求得点 C，M 的坐标，可得直线 CM 的解析式，可求得点 D 的坐标，即可得到CD= ，AN= ，AD=2，CN=2，根据平行四边形的判定定理可得四边形 CDAN 是平行四边形；（3）假设存在这样的点 P，使以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，因为这个二
38、次函数的对称轴是直线 x=1，故可设 P（1，y 0） ，则 PA 是圆的半径且 PA2=y02+22，过 P 做直线 CD 的垂线，垂足为 Q，则 PQ=PA 时以 P 为圆心的圆与直线 CD 相切由第（2）小题易得：MDE 为等腰直角三角形，故PQM 也是等腰直角三角形，继而求得满足题意的点 P 存在，其坐标为（1， ）或（1， ） 【解答】解：（1）因为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、N（2，3）所以，可建立方程组： ，解得：所以，所求二次函数的解析式为 y=x 2+2x+3，所以，顶点 M（1，4） ，点 C（0，3） （2）直线 y=kx
39、+d 经过 C、M 两点，所以 ，即 k=1，d=3，直线解析式为 y=x+3令 y=0，得 x=3，故 D（3，0）CD= ，AN= ，AD=2，CN=2CD=AN，AD=CN四边形 CDAN 是平行四边形（3）假设存在这样的点 P，使以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线 x=1，故可设 P（1，y 0） ，则 PA 是圆的半径且 PA2=y02+22，过 P 做直线 CD 的垂线，垂足为 Q，则 PQ=PA 时以 P 为圆心的圆与直线 CD 相切由第（2）小题易得：MDE 为等腰直角三角形，故PQM 也是等腰直角三角形，由 P（1，y 0）得 PE=y0，PM=|4y 0|， ，由 PQ2=PA2得方程： ，解得 ，符合题意，所以，满足题意的点 P 存在，其坐标为（1， ）或（1， ）