1、1.1空间向量及其运算课时2空间向量的数量积运算一、基础巩固知识点1 空间向量的数量积及其运算律1. 已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的空间单位向量,则ab=()A.1 B.2 C.3 D.42. 2022湖南长沙市周南中学高二上月考已知|a|=4,向量e为单位向量,=23,则向量a在向量e上的投影向量为()A.2eB.-2eC.-12eD.12e3. 2022广东深圳市华侨城中学高二上开学考试已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则向量a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.904. (多选)2022湖北武汉十四中高二上月考已知空
2、间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列选项中运算结果为-a2的是()A.2BAAC B.2ADBDC.2GFAC D.2EFCB5. 已知空间向量a,b,c,则下列结论中正确的是(填序号).ab=ac(a0)b=c;ab=0a=0或b=0;(ab)c=(bc)a;a(b)=(ab);若ab0,则a,b的夹角为钝角.知识点2 空间向量数量积的应用6. 已知两异面直线的一个方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,ab=-12,则两异面直线的夹角为()A.30B.60C.120D.1507. 2022广东深圳市华侨城中学高二上开学考试如图
3、所示,在四面体A-BCD中,ABC为等边三角形,AB=1,CD=12,ACD=60,ABCD,则BD=()A.32 B.72 C.52 D.328. 2022北京一零一中学高二上期中已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足ACAD=0,ABAD=0,点M为BC的中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能9. 2022山东烟台莱州一中高二上月考如图,边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直,则异面直线AC与BF所成的角为.10. 2022湖南长沙市周南中学高二上月考如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正
4、三角形,且侧棱AA1底面ABC.试利用空间向量的方法解决下列问题:(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设异面直线AB1与BC1的夹角为3,求侧棱长.二、能力提升1. 2022广东珠海二中高二上期中如图,四个棱长为1的正方体拼成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,8)是上底面上其余的八个点,则集合y|y=ABAPi,i=1,2,3,8中的元素个数为()A.1 B.2 C.4 D.82. 2022湖北武汉十四中高二上月考已知非零空间向量a,b,c,若p=a|a|+b|b|+c|c|,则|p|的取值范围为()A.0,1 B.1,2C.0,3 D.1,33. 2022福建省福州高
5、级中学高二月考已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的一条直径,则AMAN=()A.-1B.1 C.-2D.24. 2022广东深圳红岭中学高二上期中已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为3,点O,A,B满足OA=2a+b,OB=3a-b,则OAB的面积为()A.523 B.543 C.743 D.1145. (多选)2022河北省级联测高二上联考如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,BAA1=DAA1=45,BAD=60,则()A.AD1(B1B+BC)B.(A1A+A1D1-A1B)2=3A1B12C.AC1(
6、A1B1-AD)=0D.|AC1|=36. 已知点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部的一动点,且|PA|=2,则PC1PD1的值最小时,PC1与PD1的夹角的大小为.7. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,沿着它的对角线AC将ACD折起,使AB与CD成60角,求此时B,D两点间的距离.8. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求的余弦值;(2)求证:BD1EF.参考答案一、基础巩固1. A因为pq且|p|=|q|=1,所以ab=(3p-2q)(p+q)=3p2+pq-2q2=3+0
7、-2=1.2. B由题意得向量a在向量e上的投影向量为|a|cose|e|=4cos 23e=-2e.3. C设向量a与b的夹角为.由a+b+c=0,得a+b=-c,等式两边同时平方,得a2+2ab+b2=c2,即1+212cos +4=7,解得cos =12.因为0180,所以=60.4. AC如图所示,2BAAC=2|BA|AC|cos 120=2aacos 120=-a2,故A正确;2ADBD=2|AD|BD|cos 60=2aacos 60=a2,故B错误;2GFAC=2|GF|AC|cos 180=2a2acos 180=-a2,故C正确;2EFCB=2|EF|CB|cos 120=
8、2a2acos 120=-a22,故D错误.故选AC.5. 解析 在空间中,任取与a(a0)垂直的两个向量作为b,c,都有ab=ac=0,所以不正确;只要ab,a=0,b=0中有一个成立,就有ab=0,所以不正确;ab为实数,设为p,bc为实数,设为q,而pc=qa不一定成立,所以不正确;根据空间向量数量积的运算律可知正确;当a,b反向共线时,a,b的夹角为,此时ab0也成立,故不正确.6. B设向量a,b的夹角为,则cos =ab|a|b|=-12,所以=120,则两异面直线的夹角为180-120=60.7. D方法一由题意,得BD=BA+AC+CD.因为ABC为等边三角形,所以AC=AB=
9、1.因为ABCD,所以ABCD=0,所以BD2=(BA+AC+CD)2=BA2+AC2+CD2+2BAAC+2ACCD+2BACD=1+1+14+211cos 120+2112cos 120+20=34,所以|BD|=32.方法二由题意得AC=AB=1,则AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD=34,所以AD2+CD2=AC2,即ADCD.因为CDAB,ABAD=A,所以CD平面ABD,所以CDBD,又BC=1,所以BD=BC2-CD2=32.8. C因为点M为BC的中点,所以AM=12(AB+AC),所以AMAD=12(AB+AC)AD=12ABAD+12ACAD=0,所以AMAD,
10、所以AMD为直角三角形.9. 60解析 方法一因为ACBF=(AB+AD)(BA+BE)=-AB2=-1,|AC|=2,|BF|=2,所以|cos|=|ACBF|AC|BF|=12,所以异面直线AC与BF所成的角为60.方法二因为|CF|=2+1=3,所以ACBF=12(|AF|2+|CB|2-|AB|2-|CF|2)=12(1+1-1-3)=-1,又|AC|=2,|BF|=2,所以|cos|=|ACBF|AC|BF|=12,即异面直线AC与BF所成的角为60.10. 解析 (1)AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正
11、三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+BB12+BB1BC=|AB|BC|cos+BB12=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)结合(1),知AB1BC1=|AB|BC|cos+BB12=BB12-1.又|AB1|=(AB+BB1)2=2+BB12=|BC1|,所以|cos|=|AB1BC1|AB1|BC1|=|BB12-12+BB12|=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.二、能力提升1. A方法一由题图可知,APi=AB+BPi,则ABAPi=AB(AB+BPi)=AB2+ABBPi.因为ABBPi,所以ABBPi=0
12、,所以ABAPi=AB2+ABBPi=1+0=1,故集合y|y=ABAPi,i=1,2,3,8中的元素个数为1.方法二因为APi在AB上的投影向量为AB,AB=1,所以ABAPi=AB2=1,所以集合y|y=ABAPi,i=1,2,3,8中的元素个数为1.2. C因为|p|2=(a|a|+b|b|+c|c|)2=3+2(ab|a|b|+ac|a|c|+cb|c|b|)3+23=9,所以0|p|3.3. D不妨设该正方体内切球的球心为O,由题意得球O的半径为1,|AO|=22+22+222=3.方法一AMAN=(AO+OM)(AO+ON)=|AO|2+AO(OM+ON)+OMON=3+0-1=2
13、.方法二AMAN=(AM+AN2)2-(AM-AN2)2=AO2-(NM2)2=2.4. B由题意得|OA|=(2a+b)2=4a2+b2+4ab=4+1+41112=7,|OB|=(3a-b)2=9a2-6ab+b2=9-61112+1=7,则cos=OAOB|OA|OB|=6a2-b2+ab7=1114,所以sinAOB=1-(1114)2=5314,所以OAB的面积S=12|OA|OB|sinAOB=12775314=534,故选B.5. CD在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,B1B+BC=B1C,又B1CA1D,所以(B1B+BC)A1D,故A错误;A1A+A1D1-A1B=A
14、1D-A1B=BD,因为AB=AD=1,BAD=60,所以BD=1,即BD2=1,又|A1B1|=1,所以(A1A+A1D1-A1B)2=A1B12,故B错误;由题知AA1AB=AA1AD=21cos 45=1,所以AC1(A1B1-AD)=(AB+AD+AA1)(AB-AD)=(AB+AD)(AB-AD)+AA1(AB-AD)=AB2-AD2+AA1AB-AA1AD=0,故C正确;AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=1+1+2+211cos 60+2+2=9,所以|AC1|=3,故D正确.故选CD.6. 90解析 取C1D1的
15、中点M,则PC1PD1=(PC1+PD12)2-(PC1-PD12)2=PM2-(D1C12)2=PM2-1.因为|PA|=2,所以点P在以点A为球心,2为半径的球面上(在正方体内部的部分),所以|PM|min=AM-2=3-2=1,则PC1PD1的值最小时,PC1PD1=0,所以PC1PD1,所以PC1与PD1的夹角为90.7. 解析 在平行四边形ABCD中,因为ACD=90,所以ACCD=0,ACBA=0.在空间四边形ABCD中,因为AB与CD成60角,所以=60或=120.又BD=BA+AC+CD,所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BAAC+2BACD+2ACCD=3
16、+211cos,所以当=60时,|BD|2=4,此时B,D两点间的距离为2;当=120时,|BD|2=2,此时B,D两点间的距离为2.8. 解析 (1)AF=AD+DF=AD+12AA1,CE=CC1+C1E=AA1+12CD=AA1-12AB.因为ABAD=0,ABAA1=0,ADAA1=0,所以CEAF=(AA1-12AB)(AD+12AA1)=12.又|AF|=|CE|=52,所以cos=CEAF|CE|AF=25.(2)BD1=BD+DD1=AD-AB+AA1,EF=ED1+D1F=-12(AB+AA1),所以BD1EF=(AD-AB+AA1)-12(AB+AA1)=-12(-AB2+AA12)=0,所以BD1EF,所以BD1EF.