1、湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.复数（ ）A.B.C.D.2.设为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ）A.，且B.，C.，且D.，且与相交与相交3.在正四面体中，点，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.4.某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示. 则以下结论中，正确的是（ ）A.甲校运动员得分的中位数为7.5B.乙
2、校运动员得分的75%分位数为10C.甲校运动员得分的平均数大于8D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差5.在中，分别是内角，所对的边，若，则边（ ）A.B.或C.或D.6.如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ）A.B.C.D.7.如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.8.在中，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体外接球半径为1，则直线与平面所成角正弦值是（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
3、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）A.中位数B.平均数C.第41百分位数D.方差10.已知向量，则下列说法正确的是（ ）.A.若，则B.若，的值为C.的取值范围为D.存在，使得11.在中，内角，所对的边分别，下列说法正确的是（ ）A.若，则B.外接圆的半径为C.取得最小值时， D.时，值为12.如图，正四面体的棱长为1，分别是棱，上的点，且，则（ ）A.不存在，使得平面B.直线与直线异面C.不存在，使得平面平面D.三棱锥
4、体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题第一空2分，第二空3分.13.已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东40，灯塔在观察站的南偏东20，则灯塔与灯塔的距离为_km.14.已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为_.15.如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为_.16.已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）（1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积；（2）已知复数，且，求的范围.
5、18.（本题12分）在中，角，所对的边分别为，.（1）求角；（2）若外接圆的半径为，求面积的最大值.19.（本题12分）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，侧面面.（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值.20.（本题12分）为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了二十大知识竞赛.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；（2）已知所抽取选
6、物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差. 选科方向样本平均数样本方差物理方向75历史方向6021.（本题12分）已知的面积为，且且.（1）求角的大小；（2）设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.22.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，.（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；（2）设平面与平面的交线为，证明面；（3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为45时，求与平面所成角的正弦值.参考答案及评分标准选择题：题号1234567891011
7、12答案CBABCDBAACABABDBC填空题：13.314.15.316.8.，又为中点，则，即为等边三角形，设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接，即外接圆半径为1，又四面体的外接球半径为1，为四面体外接球的球心，由球的性质可知：平面，又平面，；设点到平面的距离为，由得：，又与均为边长为1的等边三角形，直线与平面所成角的正弦值为.12.因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，所以直线与直线异面，故B正确.当时，分别是棱，的中点，此时，因为平面，平面，所以平面，故A错误.设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线，即当且仅当，三
8、点共线时，平面平面，因为，所以，设的中点为，连接，则，因为，三点共线，所以，整理得，因为，所以此方程无解，所以不存在，使得平面平面，故C正确.易知，在中，所以的面积，当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为.故D错误.16.在正方体中，如图，平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，则，同理，而，平面，因此平面，令交平面于点，由，得，即，解得，而，于是，因为点在内，满足，则，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，于是正的内切圆半径，则，即，所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点的轨迹长度为解答题：17.（10分）解：（1）由复数的几何意
9、义知：所表示的图形为圆环，面积为5分（2）由题知：，所以，得到，故当时，有最小值为.所以范围为.10分18.（12分）（1）由得，所以，又，所以，所以，因为，所以；4分（2）由外接圆的半径为，则得，由余弦定理得，即，所以，解得.所以，故面积的最大值为.12分19.（12分）解：（1）由菱形面面，面面又正方形中面面6分（2）过作于，则面.过作于，连则，故面，所以故为二面角的平面角，在中设， ，即为所求。12分20.（12分）解：（1）由矩形面积之和为1可求出平均数第71百分位数：6分（2）由题知抽取30名学生：物理方向18人，历史方向12人 12分21.（12分）（1），又，即，所以，又，所以.4分（2）如图所示，在中，为中线，所以， 所以，所以.由（1）知：，又，所以，由余弦定理可得：，又，所以，又，所以，所以.12分22.（12分）（1）如图连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，在梯形中，4分（2）设：面面面，又面，面面又面，面面.7分（3）取的中点，连接，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又，为等边三角形，又，为等边三角形，平面，平面，平面，平面，过点作，由，则，平面，平面，即平面平面，为平面与平面所成的锐二面角，.又由，平面，平面，平面，为与平面所成的角，因此，与平面所成角的正弦值为.12分