1、天津市南开区2022-2023学年高一下期末数学试题参考公式:球的表面积公式,其中R表示球的半径锥体的体积公式,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互独立,那么一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分 1. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是( )A. 所取的3个球中至少有一个白球B. 所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C. 所取的3个球都是黑球D. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球2. 设复数,则复数模为( )A. B. C. D. 3. 已知,且与的夹角,则等于
2、( )A. B. 6C. D. 4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图(如图所示),则a的值为( ) A. B. C. D. 5. 如图,在正三棱柱中,则四棱锥的体积是( ) A. B. C. D. 6. 某校高一年级随机抽取15名男生,测得他们的身高数据,如下表所示:编号123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么这组数据的第80百分位数是( )A. 170B. 175C. 176D. 7
3、. 从数字中任取三个不同的数字,则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为( )A. B. C. D. 8. 已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 9. 已知三条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知为的一个内角,向量.若,则角A. B. C. D. 二、填空题:本大题共5个小题,每小题3分,共15分11. 某个年级有男生180人,女生160人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本,则此样本中女生人数为_12. 已知为虚数单位,复数共轭复数为_13. 已知向量,则
4、在方向上的投影向量为_14. 已知正三棱柱,O为的外心,则异面直线与OB所成角的大小为_15. 在矩形中,点在对角线上,点在边上,且,则_三、解答题:本大题共5个小题,共55分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16. 复数().(1)若为纯虚数求实数的值,及在复平面内对应的点的坐标;(2)若在复平面内对应的点位于第三象限,求实数的取值范围.17. 甲、乙、丙三人进行投球练习,每人投球一次已知甲命中的概率是,甲、丙都未命中的概率是,乙、丙都命中的概率是若每人是否命中互不影响,(1)求乙、丙两人各自命中概率;(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中概率18. 已知,是平面内两个不共线的非零向量,
5、且三点共线(1)求实数的值;(2)若,求的坐标;(3)已知,在(2)的条件下,若四边形是平行四边形,求点A的坐标19. 已知内角的对边分别是,且,(1)求角A;(2)求周长的取值范围20. 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形,PBPD,E,F分别为AB和PD的中点.(1)求证:EF平面PBC;(2)求证:平面PBD平面PAC.天津市南开区2022-2023学年高一下期末数学试题一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分 1. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是( )A. 所取的3个球中至少有一个白球B.
6、 所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C. 所取的3个球都是黑球D. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可判断【详解】将事件的结果分为三类:白,白,黑;白,黑,黑;黑,黑,黑.事件包含:白,黑,黑;黑,黑,黑.根据互斥事件的定义可知,只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥故选:B2. 设复数,则复数的模为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数模的定义求解即可.【详解】,.故选:B3. 已知,且与的夹角,则等于( )A. B. 6C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义进行求解.【详解】
7、因为,且与的夹角,所以.故选:A4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图(如图所示),则a的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知:每组频率依次为,则,解得.故选:C.5. 如图,在正三棱柱中,则四棱锥的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用割补法,结合柱体、锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意可知:正三棱柱的体积,三棱锥的体积,所以四棱锥的体积.故选:A.6. 某校高一年
8、级随机抽取15名男生,测得他们的身高数据,如下表所示:编号123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么这组数据的第80百分位数是( )A. 170B. 175C. 176D. 【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义运算求解.【详解】将身高按升序排列得:,因为,所以这组数据的第80百分位数是.故选:D.7. 从数字中任取三个不同的数字,则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从数字
9、中任取三个不同的数字,方法有:共种,其中所抽取的三个数字之和能被整除的有:共种,故所求概率为.故选:C8. 已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正四面体的棱长,求出正四面体的高,设外接球半径为,利用勾股定理求出的值,可求外接球的表面积.【详解】因为正四面体的棱长为2,所以底面三角形的高,棱锥的高为,设外接球半径为,则,解得.所以外接球的表面积为.故选:B.9. 已知三条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平
10、行垂直性质判断逐一判断.【详解】若,可以有或相交,故A错;若,可以有或异面,故B错;若,可以有、与斜交、,故C错;过作平面,则,又,得,所以,故D正确.故选:D【点睛】本题考查空间线、面的位置关系,属于基础题.10. 已知为的一个内角,向量.若,则角A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】 带入计算即可【详解】即 ,选C.【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算,属于基础题二、填空题:本大题共5个小题,每小题3分,共15分11. 某个年级有男生180人,女生160人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本,则此样本中女生人数为_【答案】32【解析】【分析】根据分层抽
11、样的性质运算求解.【详解】由题意可得:样本中女生人数为.故答案为:32.12. 已知为虚数单位,复数的共轭复数为_【答案】【解析】【分析】根据复数的运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由题意可得:,所以复数的共轭复数为.故答案为:.13. 已知向量,则在方向上的投影向量为_【答案】【解析】【分析】先根据向量的坐标运算求,进而求投影向量.【详解】由题意可得:,所以在方向上的投影向量为.故答案:.14. 已知正三棱柱,O为的外心,则异面直线与OB所成角的大小为_【答案】【解析】【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.【详解】延长交于点,因为为正三角形,则点为的中点,可得,又因为平面,平
12、面,可得,且,平面,可得平面,由于平面,所以,即,所以异面直线与OB所成角的大小为.故答案为:. 15. 矩形中,点在对角线上,点在边上,且,则_【答案】【解析】【分析】以为基底向量表示,再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解.【详解】以为基底向量,则,因为,且,则,所以.故答案为:. 三、解答题:本大题共5个小题,共55分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16. 复数().(1)若为纯虚数求实数的值,及在复平面内对应的点的坐标;(2)若在复平面内对应的点位于第三象限,求实数的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)先化简出的代数形式,再根据题意求实数的值和在复平面内对
13、应的点的坐标;(2)先化简出的代数形式,再根据题意建立不等式求实数的取值范围即可.【详解】解:因为,所以(1)若为纯虚数,则,解得:,此时,在复平面内对应的点的坐标为:,所以为纯虚数时实数,在复平面内对应的点的坐标为:(2)若在复平面内对应的点位于三象限,则,解得所以在复平面内对应的点位于第三象限,则实数的取值范围:.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围,是基础题.17. 甲、乙、丙三人进行投球练习,每人投球一次已知甲命中的概率是,甲、丙都未命中的概率是,乙、丙都命中的概率是若每人是否命中互不影响,(1)求乙、丙两人各自命中的概
14、率;(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率【答案】(1)乙、丙两人各自命中的概率分别为、 (2)【解析】【分析】(1)根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解;(2)分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况,结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】记“甲投球命中”为事件A,“乙投球命中”为事件B,“丙投球命中”为事件C,则,解得,解得,所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、.【小问2详解】甲、乙、丙三人中2人命中的概率,甲、乙、丙三人中都命中的概率,所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18. 已知,是平面内两个不共线的非零向量,且三点共线(1)求实数的值;
15、(2)若,求的坐标;(3)已知,在(2)的条件下,若四边形是平行四边形,求点A的坐标【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)根据题意求,结合向量共线的判定定理运算求解;(2)根据题意结合向量的线性运算以及坐标运算求解;(3)根据题意结合向量相等运算求解.【小问1详解】由题意可得:,若三点共线,则存在唯一实数,使得,即,可得,解得,即实数的值为.【小问2详解】由(1)可知:,则,因为,则,所以的坐标为.【小问3详解】设点A的坐标为,则,若四边形是平行四边形,则,可得,解得,所以点A的坐标.19. 已知的内角的对边分别是,且,(1)求角A;(2)求周长的取值范围【答案】(1) (2)【
16、解析】【分析】(1)根据题意结合正、余弦定理运算求解;(2)利用正弦定理边化角,结合三角恒等变换可得,再根据三角函数性质运算求解.【小问1详解】因为,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理可得,且,所以.【小问2详解】由正弦定理,可得,则周长,因为,则,可得,所以周长即周长的取值范围为.20. 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形,PBPD,E,F分别为AB和PD的中点.(1)求证:EF平面PBC;(2)求证:平面PBD平面PAC.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)取PC的中点G,连接FG,BG,则FG为中位线,根据题意,可证明四边形BEFG是平行四边形,利用
17、线面平行的判定定理,即可得证;(2)设ACBDO,连接PO,根据题意可证BDPO,BDAC,利用面面垂直的判定定理,即可得证.【详解】证明:(1)取PC的中点G,连接FG,BG,如图所示:F是PD的中点,FGCD,且,又底面ABCD是菱形,E是AB中点,BECD,且,BEFG,且BEFG,四边形BEFG是平行四边形,EFBG,又EF平面PBC,BG平面PBC,EF平面PBC;(2)设ACBDO,则O是BD中点,连接PO,底面ABCD是菱形,BDAC,又PBPD,O是BD中点,BDPO,又ACPOO,AC平面PAC,PO平面PAC,BD平面PAC,BD平面PBD,平面PBD平面PAC.【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理,需熟悉各个定理所需的条件,才能进行分析和证明,考查逻辑分析、推理证明的能力,属中档题.