1、3.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握yx的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题知识点一幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点二五个幂函数的图象与性质1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)y；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图2五个幂函数的性质yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在0，) 上增，在(，0 上减增增在(0，)上减，在(，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1所有的幂函数在(0，)上都有定义
2、，并且图象都过点(1,1)2当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸3当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列预习小测自我检验1下列函数中不是幂函数的是_yx0； yx3；y2x； yx1.答案2设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为_答案1,3解析当幂函数为奇函数时，1,1,3，又函数的定义域为R，所以1，所以1,3.3当x(0,1)时，x2_x3.(填“”“”或“4已知幂函数f(x)x图象过点，则f(4)_.答案一、幂函数的概念例1(1)下列函数：yx3；yx；y4
3、x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析幂函数有两个(2)已知是幂函数，求m，n的值考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得解得或所以m3或1，n.反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义知k1.又f ，所以，解得，从而k.(2)已知f(x)ax2a1b1是幂函数，则ab等于()A2 B1 C. D0答案A解析因为f(x)ax2a1b1是幂函数，所以a1，b1
4、0，即a1，b1，则ab2.二、幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)x的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间解因为f(x)x的图象过点P，所以f(2)，即2，得2，即f(x)x2，f(x)的图象如图所示，定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)(2)下列关于函数yx与yx的图象正确的是()答案C反思感悟(1)幂函数图象的画法确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数yx在第一象限内的图象确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首
5、先要考虑幂函数的概念，对于幂函数yx(R)，由于的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同同时，注意分类讨论思想的应用跟踪训练2(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数yx在第一象限内的图象，则解析式中的指数依次可以取()A.，2，B2，C2，D.，2答案C(2)在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()考点幂函数的图象题点幂函数有关的知图选式问题答案C解析选项A中，幂函数的指数a1，则直线yax应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a0，直线yax在y轴上的截距为正，D错误三、比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小(1)0.5与0.5；(2)1与1；(3)与.解(1
6、)因为幂函数yx0.5在(0，)上是单调递增的，又，所以0.50.5.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)因为在(0，)上是单调递增的，所以1，又在(0，)上是单调递增的，所以1，所以.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量跟踪训练3比较下列各组数的大小：(1)和；(2)，和.解(1)函数y在(0，)上为减函数，又33.1，所以.(2)所以 幂函数性质的应用典例已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足的a的取值范围
7、考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a，解得a或a2 D答案A3函数yx3在区间4，2上的最小值是_答案解析因为函数yx3在(，0)上单调递减，所以当x2时，ymin(2)3.4若幂函数在(0，)上是减函数，则实数m_.答案2解析令m2m11，得m2或m1.当m2时，m22m33符合要求当m1时，m22m30不符合要求故m2.5先分析函数的性质，再画出其图象解，定义域为R，在0，)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1知识清单：(1)幂函数的定义(2)几个常见幂函数的图象(3)幂函数的性质2方
8、法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想3常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如yx(为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数1下列函数中是幂函数的是()Ayx4x2 By10xCy Dyx1考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案C解析根据幂函数的定义知，y是幂函数，yx4x2，y10x，yx1都不是幂函数2下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dy答案A解析其中yx2和yx2是偶函数，yx1和y不是偶函数，故排除选项B，D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区
9、间(0，)上单调递减，符合题意，故选A.3已知f(x)，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)f f Bf f f(b)f(a)Cf(a)f(b)f f Df f(a)f f(b)考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案C解析因为函数f(x)在(0，)上是增函数，又0ab1，故f(a)f(b)f f ，故选C.4已知y(m2m5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为()A3 B2 C3或2 D3考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案A解析由y(m2m5)xm是幂函数，知m2m51，解得m2或m3.该函数在第一象限内是单调递减的，m2.5，则的取值范围是_答案
10、0解析因为02.42.5，所以yx在(0，)上为减函数故0.7已知m(a23)1(a0)，n31，则m与n的大小关系为_答案m30，f(x)在(0，)上是减函数，则f(a23)f(3)，即(a23)131，故mg(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)g(x)11已知幂函数f(x)xm3(mN*)为奇函数，且在区间(0，)上是减函数，则m等于()A1 B2 C1或2 D3答案B解析因为f(x)xm3在(0，)上是减函数，所以m30.所以m3.又因为mN*，所以m1,2.又因为f(x)xm3是奇函数，所以m3是奇数，所以m2.12函数y1
11、的图象关于x轴对称的图象大致是()答案B解析y1的定义域为0，)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.13若，则a的取值范围是_答案解析函数y在0，)上是增函数，所以解得1a.14已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f _，函数f 的定义域为_答案(0,1解析令f(x)x，f(9)3，即93，故f(x)，f .令10解得0x1，故f 的定义域为(0,115已知幂函数y (mZ)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于()A1 B0,2 C1,1,3 D0,1,2答案C解析幂函数y(mZ)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，m22
12、m30，且m22m3(mZ)为偶数，由m22m30，得1m3，又mZ，m1,0,1,2,3.当m1时，m22m31230，为偶数，符合题意；当m0时，m22m33，为奇数，不符合题意；当m1时，m22m31234，为偶数，符合题意；当m2时，m22m34433，为奇数，不符合题意；当m3时，m22m39630，为偶数，符合题意综上所述，m1,1,3.16已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)ax3在1,3上不是单调函数，求实数a的取值范围解(1)由m25m71可得m2或m3，又f(x)为偶函数，则m3，所以f(x)x2.(2)g(x)x2ax323在1,3上不单调，则对称轴x满足13.即2a6.所以，实数a的取值范围为(2,6)