1、3.4函数的应用(一)课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.教材知识探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201520162017销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.问题1在实际生产生活中，对已收集
2、到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？问题2如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)ax2bxc(a0)，一次函数模型g(x)axb(a0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.1.常见的函数模型常见函数模型一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)幂函数模型ya
3、xb(a，b为常数，a0，1)2.解决函数应用问题的步骤(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.(2)这些步骤用框图表示如图：教材拓展补遗微判断1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.()2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：(1)前5分钟温度增加越来越快.()(2)前5分钟温度增加越来越慢.()(3)5分钟后温度保持匀速增加.()(4)5分钟后温度保持不变.()微训练1.一个矩形的周长是40，矩形的
4、长y关于宽x的函数解析式为_.解析由题意可知2y2x40，即y20x，易知0x10.答案y20x(00)增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型yax2bxc(a0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数yaxnb(x0，n0，a0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.题型一 一次函数模型函数的图象确定了函数的类型【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函
5、数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解由图象可设y1k1x30(k10)，y2k2x(k20)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1k1x30，y2k2x，得k1，k2.y1x30(x0)，y2x(x0).(2)令y1y2，即x30x，则x90.当x90时，y1y2，两种卡收费一致；当xy2，使用便民卡便宜；当x90时，y1y2，使用如意卡便宜.规律方法在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.【训练1】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是
6、定价的一次函数，则这个函数解析式为_.解析设解析式为ykxb(k0)，由解得k，b50，yx50(0x200).答案yx50(0x200)题型二幂函数与二次函数模型【例2】(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为yx(为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_万元.(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，
7、商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？(1)解析由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入yx中，即327，解得3，故函数关系式为yx3.所以当x5时，y125.答案125(2)解设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x(100，300，nkxb(k0)，0300kb，即b300k，nk(x300).利润y(x100)k(x300)k(x200)210 000k(x(100，300)，k0，x200时，ym
8、ax10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.由题意得k(x100)(x300)10 000k75%，x2400x37 5000，解得x250或x150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.规律方法1.幂函数应用的常见题型(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值
9、时的自变量与实际意义是否相符.【训练2】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解(1)设ya(x15)217.5(a0)，将x10，y20代入上式，得2025a17.5，解得a.所以y(x15)217.5(10x25).(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)1.6xy1.6x(x23
10、)212.9(10x25).所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.题型三分段函数模型【例3】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)802t(件)，价格近似满足于f(t)(元).(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y(2)由(1)知当0t10时，yt210t1 200(t5)21 225，函数图象开口向下，对称轴为t5，该函数在t0，5单调递增，在t(5，10单调递减，ymax1 225
11、(当t5时取得)，ymin1 200(当t0或10时取得)；当10t20时，yt290t2 000(t45)225，函数图象开口向上，对称轴为t45，该函数在t(10，20单调递减，ymax1 200(当t10时取得)，ymin600(当t20时取得).由知ymax1 225(当t5时取得)，ymin600(当t20时取得).规律方法应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练3】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(tN)(
12、天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(tN)(天)之间的关系如下表：t/天5102030Q/件35302010(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额每件的销售价格日销售量).解(1)由已知可得：P(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Qt40(0t30，tN)，(3)由题意y当0t25，t10时，ymax900，当25t30，t25时，ymax(2570)290
13、01 125.当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元.一、素养落地1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.二、素养训练1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A.y2t B.y120tC.y2t(t0) D.y120t(t0)解析因为90 min1.5 h，所以汽车的速度为1801.5120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数
14、关系式是y120t(t0).答案D2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米()A.150 B.200 C.180 D.210解析设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码.则y5x50，当x30时，y53050200.故选B.答案B3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超
15、过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A.2 800元 B.3 000元C.3 800元 D.3 818元解析由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y令(x800)0.14420，解得x3 800，令11.2%x420，得x3 750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C.答案C4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_m2.解析设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，所以矩形面积Sxx26x(0x6)，当x3 m时，S最大9 m2.答案9
16、5.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0t24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.解设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y40060t100(0t24).设u，则u0，2，y60u2100u40060150，当u即t时，蓄水池中的存水量最少.基础达标一、选择题1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A.200副 B.400副C.600副 D.800副解析由5x4 00010x，解得x800
17、，即日产手套至少800副时才不亏本.答案D2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1解析设年平均增长率为x，则有(1p)(1q)(1x)2，解得x1.答案D3.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计()A.280元 B.320元C.340元 D.360元解析由题意可知，1 4601 4002040，1 400元现金可送280元购物券，把280
18、元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券2806020360(元).答案D4.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的是()这几年人民生活水平逐年得到提高；生活费收入指数增长最快的一年是2010年；生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.A.1项 B.2项 C.3项 D.4项解析由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故正确.“生活费收入指数”在20102011年最陡.故正确 ，“生
19、活价格指数”在20112012年最平缓，故不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故正确.故选C.答案C5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟解析根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得解得p0.2t21.5t2.0.当t3.
20、75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案B二、填空题6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为_台.解析设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)25xyx2100x(x50)22 500，故当x50时，获得利润最大.答案507.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为
21、_元.解析根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为48040(x1)52040x(0x13)(桶)，则y(52040x)x20040x2520x200，0x13.当x6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.答案11.58.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则
22、此次出租车行驶了_km.解析设出租车行驶x km时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.答案9三、解答题9.某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.解(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得y关于
23、x的函数解析式为y(2)当x3.5时，y33.537.5.该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x1524，解得x6.5.该用户最多可以用6.5 t水.10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)当0x30时，y900；当30x75，y90010(x30)1 20010x；即y(2)设旅行社所获利润为S
24、元，则当0x30时，S900x15 000；当30x75，Sx(1 20010x)15 00010x21 200x15 000；即S因为当0x30时，S900x15 000为增函数，所以x30时，Smax12 000；当3012 000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.能力提升11.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)4(tN*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1t30，tN*)的函数解析式；(2)求该商场日收
25、益的最小值(千元).解(1)由题意w(t)f(t)g(t)(2)当1t7时，w(t)单调递增，最小值在t1处取到，w(1)500；当7t30时，w(t)单调递减，最小值在t30时取到，w(30)519120.由500，可得w(t)的最小值为.所以，该商场日收益的最小值为千元.12.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数pf(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解(1)当0x100时，p60；当100x600时，p60(x100)0.02620.02x.p(2)设利润为y元，则当0x100时，y60x40x20x；当100x600时，y(620.02x)x40x22x0.02x2.y当0x100时，y20x是增函数，当x100时，y最大，此时y201002 000；当1002 000.当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.