1、2.1直线的倾斜角与斜率知识梳理1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；（3）范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).2、直线的斜率（1）定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k（2）斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为3、（1）直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：000不存在k0（2）直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系：4、两条直线平行与垂直
2、的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直知识典例题型一 斜率与倾斜角例1已知点，则直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】A【分析】由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线AB的倾斜角为，因为，所以直线AB的斜率，即，因为，所以. 故选：A巩固练习若直线的倾斜角为，则=（ ）A0BCD【答案】C【分析】
3、根据倾斜角的定义判断即可；【详解】解：直线，垂直于轴，故倾斜角为故选：C题型二 斜率的范围求解例 2设点，直线过点且与线段相交，则的斜率k的取值范围是（ ）A或BCD以上都不对【答案】A【分析】画出图形分析，即可得出或，求出即可.【详解】如图，要使直线与线段相交，则应满足或，或.选：A.巩固练习已知点、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）ABCD以上都不对【答案】C【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率kkBC或，进而求解即可【详解】如图所示：过点C的直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率kkBC或， 直线l的斜率 或，直线l斜
4、率k的取值范围：，故选：C题型三 位置关系 例 3若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（ ）ABC2D【答案】B【分析】求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值.【详解】由题意得，与共线，所以，解得经检验知，符合题意，故选:B巩固练习已知直线的倾斜角为60，直线经过点，则直线，的位置关系是 【答案】垂直【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系【详解】因为，所以，即直线，的位置关系是垂直题型四 判断图形例 4已知四边形的顶点，则四边形的形状为（ ）A平行四边形B菱形C梯形D矩形【答案】D【分析】求出四条边所在直线的斜率，可
5、判断它们是矩形【详解】因为，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形.又因为，所以.所以四边形为矩形.巩固练习以为顶点的三角形是( )A以A点为直角顶点的直角三角形B以B点为直角顶点的直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【答案】A【分析】利用斜率公式求出的斜率，可得，进而可得结果.【详解】因为，为直角，故选A.巩固提升1、下列说法正确的是（ ）A一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角B直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角C和x轴平行的直线，它的倾斜角为D每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【答案】D【分析】根据倾斜角的概念逐个判断即可得出结果.【详解】对于A，一条直线
6、向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误；对于B，直线的倾斜角的取值范围是，B错误；对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为，C错误；对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如时，斜率不存在，D正确.故选D.2、已知直线经过两点，则直线的斜率为_.【答案】3【分析】直接利用斜率公式求解.【详解】因为直线经过两点，所以,所以直线的斜率为3故答案为：33、过点和（）的直线的倾斜角的范围是_【答案】【分析】求出直线的斜率，由利用正切函数的性质得倾斜角的范围【详解】由题意直线的斜率为，设的倾斜角为，则，又，故答案为：4、若不同的两点与关于直线对称，则直线的倾斜角为(
7、 )A135B45C30D60【答案】B【分析】利用两点连线斜率公式求得；根据对称关系可知直线与垂直，可得，从而求得；根据直线斜率与倾斜角的关系可得到结果.【详解】由题意得：关于直线对称 直线与垂直，则 直线的倾斜角为本题正确选项：5、下列各对直线不互相垂直的是()Al1的倾斜角为120，l2过点Bl1的斜率为-，l2过点Cl1的倾斜角为30，l2过点)Dl1过点，l2过点【答案】C【详解】选项A，l1的倾斜角为120，l2过点，故两直线垂直；选项B，l2过点，kPQ=故两条直线垂直选项C.，所以l1不与l2垂直.选项D，l1过点，l2过点，kPQ=，故两条直线垂直故选：C6、已知点，直线过点
8、且与直线有交点，则直线的斜率的取值范围是_【答案】【分析】根据两直线不平行可得到结果.【详解】若与直线有交点，则直线与直线不平行，又，即的取值范围为.故答案为：.7、已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若OAB为直角三角形，则必有（ ）Ab=a3Bb=a3+C(b-a3)=0D|b-a3|+=0【答案】C【分析】根据题意，分O为直角顶点、A为直角顶点、B为直角顶点三种情况，结合斜率关系分别求出满足的关系式即可求解.【详解】若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A为直角顶点，则b=a30；若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2=-1(a0)，所以a(
9、a3-b)=-1，即b-a3-=0；以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)=0成立.故选：C8、过点的直线与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】画出图形，设直线的斜率为，求出和，由直线与线段有交点，可知或，即可得出答案.【详解】直线过定点，设直线的斜率为，要使直线与线段有交点，则的取值范围是或，即.故选：D.9、若过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）A-2或-1B1C-1D-2【答案】D【分析】由题意可得，故有，由此求得实数的值.【详解】过两点，的直线的倾斜角为，则有，即，即且，解得，故选：D.10、已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的大小是（ ）A30B45C60D90【答案】C【分析】首先根据直线上的两点计算斜率，再根据，求倾斜角.【详解】根据斜率公式可知，即，.故选：C