1、3.2双曲线知识梳理1、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac，则集合P为空集.2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双
2、曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b23、注意：（1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.（2）离心率e（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.知识典例题型一 轨迹问题例1到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）A椭圆B两条射线C双曲线D线段【答案】B【解析】【分析】由题意直接得轨迹为两条射线【详解】到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|6，满足条件的点的轨迹为两条射线故选B巩固练习已知点，动圆与直线切于点
3、，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】先由题意画出图形，可见C是PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）【详解】由题意画图如下可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|PN|=（|PA|+|MA|）（|PD|+|ND|）=|MA|ND|=42=2|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），当如下图时，则|PN|PM|=（|PB|-|N
4、B|）（|PA|-|AM|）=|MA|NB|=42=2|MN|，又2a=2，c=3，则a=1，b2=91=8，所以点P的轨迹方程为故选A题型二 双曲线标准方程例 2顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为_.【答案】或.【解析】【分析】先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程【详解】由题意2a=6，a=3当焦点在x轴上时，双曲线的渐近线方程为,方程为；当焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程为，方程为故双曲线的标准方程为：或.巩固练习已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线
5、上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是.题型三双曲线的概念及应用例 3已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）A随点变化而变化B2C4D5【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图形，由几何知识可知，即可求出【详解】如图所示：延长F2M交PF1于D由几何知识可知，垂直平分，而，所以故选：C巩固练习已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由是圆上任意一点,可得，为的中点可求，结合垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义即可
6、得结果.【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，则，所以结合为线段的垂直平分线，可得，所以同理，当点在轴右侧时，故点的轨迹是双曲线，其方程为故选：B题型四渐近线问题例 4设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_；渐近线方程为_【答案】 【解析】【分析】设双曲线的方程为，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程；【详解】解：设双曲线的方程为，将点代入上式，得，的方程为，其渐近线方程为故答案为：；巩固练习已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为 【答案】2或【解析】试题分析：将焦点在x轴时当焦点在y轴时题型五离心率例 5已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆
7、心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）.ABCD2【答案】A【解析】【分析】求出直线的方程，利用点到线的距离公式，得到、的方程，即可求出离心率【详解】由题意，设，则直线的方程为：，因为以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，故原点到直线的距离为，即两边同时平方得故答案为巩固练习设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴
8、，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A题型六焦点三角形例 6设和为双曲线的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A2BCD3【答案】A【解析】试题分析：如图，巩固练习设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为ABCD【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得详解：由题可知在中，在中,题型七直线与双曲线例 7 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1k2)x24kx100，由结合韦达定理可得解.【详解
9、】解析：把ykx2代入x2y26，得x2(kx2)26，化简得(1k2)x24kx100，由题意知即解得k1.巩固练习设A，B分别为双曲线 (a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标【答案】（1）；（2）t4，点D的坐标为(4，3).【解析】【分析】（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得，解方程可得双曲线的方程；（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐标化可得：x1x2tx0，y1y2ty0，
10、再由直线与双曲线联立得x216x840，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知a2.一条渐近线为yx，即bx2y0.又c2a2b212b2，解得b23.双曲线的方程为.(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840.则x1x216，y1y212.由，得(16，12)(4t,3t)t4，点D的坐标为(4，3)题型八数形结合法例 8 若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比的斜率大，找到的关系，再求离心率
11、的范围.【详解】双曲线的焦点在轴，一条渐近线方程为，这条渐近线比直线的斜率大，即，故选：C.巩固练习若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线与双曲线的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以的取值范围为，故选：D.题型九极限法例 9 已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角
12、三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】确定，在直角中得到，即，计算得到答案.【详解】若是锐角三角形，则在直角中，即，所以得，又，所以故选：巩固提升1、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据方程表示双曲线，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，方程表示双曲线，则满足，即，解得，即的取值范围是.故选：A.2、已知，则动点的轨迹是（）A一条射线B双曲线右支C双曲线D双曲线左支【答案】A【解析】【分析】根据可得动点的轨迹.【详解】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A.3、若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A离心率
13、相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等【答案】D【解析】【分析】【详解】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.4、若直线y2x与双曲线 (a0，b0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A(1，)B(，)C(1， D，)【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率 ,再由离心率可得结论.【详解】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为，由双曲线与直线有交点知，应有，故，故选B.5、已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的
14、周长最小为_，此时其面积为_【答案】 【解析】【分析】作出图形，由双曲线的定义可得，再由、三点共线可求得周长的最小值；求得直线的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，由此可求得的面积.【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线方程可知，故、.当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为因为为定值，所以当最小时，的周长最小由图可知，此时点为线段与双曲线的交点，则的周长为由题意可知直线的方程为由消去，得，解得或（舍去），所以故答案为：；.6、已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】【分析
15、】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为7、若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1t4或t4或t1，所以正确对于，当时，该曲线方程为，表示圆，所以不正确对于，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以不正确综上只有正确答案：8、已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的渐近线方程为B以为直径的圆的方程为C到双曲线的一条渐近线的距离为1D的面积
16、为1【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线C渐近线方程，焦点，的面积即可判断.【详解】A.代入双曲线渐近线方程得,正确.B.由题意得，则以为直径的圆的方程不是，错误.C.，渐近线方程为，距离为1，正确.D. 由题意得,设，根据，解得，则的面积为1.正确.故选：ACD.9、在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此10、已知双曲线C：的焦距为4，且过点(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】(1) 双曲线方程为，其渐近线方程为;（2）或【解析】【分析】(1) 由题意得 ,解方程组即得双曲线的方程，再写出其渐近线方程.(2) 由 ,得(3k2)x24kx70得 ,解之即得实数的值，再利用数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】(1)由题意得 ,解得双曲线方程为，其渐近线方程为.(2)由 ,得(3k2)x24kx70.由题意得 ,k27，k .当3k2=0时，直线l与双曲线C的渐近线平行，即时，直线l与双曲线C只有一个公共点，或.