1、第17章勾股定理 期末压轴题训练1如图1，在中，D为边上一点，E为线段上一点，(1)求证：；(2)过点C作交的延长线于点F，试探索与的数量关系；(3)如图2，若，求的长2【阅读材料】如图，四边形ABCD中，点E，F分别在上，若，求证：【解决问题】如图，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形已知，道路上分别有景点M，N，且m，若在M，N之间修一条直路，则路线MN的长比路线MAN的长少几m？（结果取整数，参考数据：）3【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形(1)【概念理解】如图2，在四边形中，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与
2、之间的数量关系，并证明你的猜想(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长4如图1，在中，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动设点P的运动时间为t秒(1)_；当点P在上时，_（用含t的代数式表示）；(2)如图2，若点P在的角平分线上，求t的值；(3)在整个运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值5如图1，在平面直角坐标系中，点B为坐标原点，以为边在第一象限作等边三角形刚好落到x轴上，点P、Q分别是边上的动点，点P从点A、点Q从点B分别沿方向同时出发，且它们的速度都为(1)如图1，连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，会变化吗？_（填“会”或
3、“不会”）；(2)如图1，当是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，若点P、点Q分别运动到点B和点C后继续在射线上运动，当时，连接，连接并延长交于点M，求的度数和点P的坐标6如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边例如：若ABC中，A2B，则ABC为以边AB为底边的倍角三角形(1)已知ABC为倍角三角形，且如图1，若BD为ABC的角平分线，则图中相等的线段有_，图中相似三角形有_；如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有_问题解决(2)如图3，现有一块梯形板材ABCD，A90，AB48，BC132，A
4、D68工人师傅想用这块板材裁出一个BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且BCP为以BC为底边的倍角三角形工人师傅在这块板材上的作法如下：作BC的中垂线l交BC于点E；在BC上方的直线l上截取EF33，连接CF并延长，交AD于点P；连接BP，得BCP1）请问，若按上述作法，裁得的BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法2）是否存在其它满足要求的BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由7阅读下面材料：某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在中，D是的中点，(1)问题发现：如图1，若点E、F分别在线段、上，且，连接、，此时小明发现_，_（填“、”
5、，“”或“”）；(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，_，证明你所得到的结论：(3)研究特殊关系：如果，求出的值13综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角
6、形和如图2放置，其三边长分别为，显然(1)请用，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_(3)如图4，在中，是边上的高，设，求的值14如图，是等腰直角三角形， ，D在线段上，E是线段上一点现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接(1)如图1，求证：；(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长；(3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积15和中，点是延长线上一动点，点在线段上，连接与交于点(1)如图1，若，求的面积；
7、(2)如图2，若，求、之间的数量关系；(3)如图3，移动点，使得点是线段的中点时，点，分别是线段，上的动点，且，连接，求的最小值16已知：如图，在等腰中，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点(1)如图1，若求的度数；求证：；(2)如图2，若，当时，求的值17已知：如图，在中，点D是AB上一点，且，过点A作于点E，交CD于点F(1)如图1，若，求AE的长；(2)如图2，若，求的面积；(3)如图3，点G是BA延长线上一点，且，连接GF，求证：18如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双
8、腰三角形(1)如图1，三角形内角分别为，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各底角的度数；(2)如图2，中，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条双腰分割线；(3)如图3，已知中，是三角形的双腰分割线，且若，求的度数；若，求的长参考答案1(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可（2）如图1中，在上截取AJ，使得证明，推出，再证明即可解决问题（3）如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q首先证明， ，再证明，利用参数构建方程解决问题即可【解析】（1）证明：，又，（2）解：结论：理由：如图1中，在上截取，使得，（3）
9、如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q设，可以假设，在中，【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题2阅读材料：见解析；解决问题：少370m【分析】阅读材料：延长到点M，使，连接，如图，利用已知条件可得，进而可证明，可得，再证明，可得，进而可得结论；解决问题：如图，作辅助线，构建阅读材料的图形，先根据四边形的内角和定理证明 ，分别计算的长，由线段的和与差可得的长，最后由阅读材料的结论可得的长，计算可得答案【解析】阅读材料：证明：延长到点M，使，连接，如
10、图，又，；解决问题：解：如图，延长交于点G，连接，在中， 是等边三角形，是等腰直角三角形，由【阅读材料】的结论得：，（m）路线MN的长比路线MAN的长少370m【点评】此题主要考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算3(1)是，见解析(2)，见解析(3)【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算【解析】（1）如
11、图2，四边形是垂美四边形证明：连接交于点E，点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，直线是线段的垂直平分线，即四边形是垂美四边形；（2）猜想结论如图1，已知四边形中，由勾股定理得，；（3）如图3，连接，即，在B和中，又，即，四边形是垂美四边形，由（2）得，【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键4(1)(2)(3)或或或【分析】（1）利用勾股定理求出，利用，求出；（2）过点作，交于点，利用勾股定理列式求解即可；（3）分，三种情况进行讨论求解即可【解析】（1）解：，；点P从点A出发，以
12、每秒1个单位长度的速度沿路线运动，当点P在上时，；故答案为：；（2）解：点作，交于点，则：，点P在的角平分线上，又，由（1）知，在中，即：，解得：；（3）解：点运动的总时间为：秒，当是等腰三角形时：当，点在上时：如图，此时：，解得：；当，点在上时：如图，过点作，交于点，则：，即：，；当时，如图：由可知：，在中，即：，解得：；当时，如图：此时：，解得；综上：当是等腰三角形时，的值为：或或或【点评】本题考查三角形上的动点问题熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的定义是解题的关键注意，分类讨论5(1)不会(2)当是直角三角形时，点P的坐标为或(3)，【分析】(1)先利用证明，得，利用外角的性质并进行等量
13、代换可得(2)分两种情况， 利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半列式求解（3）作轴，先根据30度角的性质和勾股定理求出和，进而求出，再根据证明，最后根据外角的性质并进行等量代换作答即可【解析】（1）解：在等边三角形中且点A、点Q同时出发，且它们的速度都为故答案为：不会（2）解：设运动时间为t秒，则当时，即解得即当时，即解得即当是直角三角形时，点P的坐标为或（3）作轴由勾股定理得在等边三角形中点A、点Q同时出发，且它们的速度都为，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键6(1)见解析(2)(1）是，证明见解
14、析；(2）存在，.【分析】（1）根据阅读材料给出的定义结合已经学过的三角形的知识点，推到即可得出结论；（2）根据已知条件利用相似三角形即可得出中的作法是符合条件的；第小题根据已知条件画出图形，再根据图形得出结论【解析】（1）解：BD为ABC的角平分线，ABC2C图中相等的线段有，图中相似的三角形有：和AC的中垂线交边BC于点E是等腰三角形，是等腰三角形（2）解：符合要求，延长交于，则四边形为矩形，作于，平分在的垂直平分线上符合要求存在， .I.若在上时，连接，如图所示，取的中垂线交与，作于四边形为矩形，设，则由勾股定理在上取点，使，连接，在上所有点都满足不存在；II. 若在上时，如图所示，在上
15、不存在其它满足要求的BCP；III. 若在上时，如图所示，作的垂直平分线交于点、交于点，作的平分线交于点，连结并延长交于点，此时有，BCP是以BC为底边的倍角三角形，作于点，连结、，平分，设，则，由得，解得：在中，,，由得，解得，【点评】本题考查了角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定等相关知识，明确题意根据已知条件画出图形是解题的关键7(1)45，(2)(3)或【分析】（1）根据等腰直角三角形的三线合一即可得到，由此推出，证明，得到，求出是等腰直角三角形，勾股定理得到；（2）证明，得到，推出，再由勾股定理得到答案；（3）分两种情况，当H在线段上时，当H在线段的延长线上时，连接，过点M
16、作于F，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案【解析】（1）解：在中，D是的中点，（），是等腰直角三角形，故答案为：45，；（2）解：，点D是的中点，即，在和中，在中，；（3）解：当H在线段上时，如图，连接，过点M作于F，是线段的中垂线，又，D是的中点，；当H在线段的延长线上时，如图，连接，过点M作于F，同理可得，综上，的长为或【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，根据已知得出是解题的关键8(1)见解析(2)(3)，证明见解析【分析】（1）由直角三角形两个锐角互余即可得出，从而得出；（2
17、）连接，由题意易得出为线段的垂直平分线，即得出，从而由勾股定理可求出进而易证，得出，再根据勾股定理可求出又易证，即得出，从而由求解即可；（3）作于点E，易证，即得出再根据是等腰直角三角形，即得出，从而得出【解析】（1），；（2）如图，连接，为线段的垂直平分线，又，；（3）证明如下，如图，作于点E，由（2）可知，又，是等腰直角三角形，【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理正确作出辅助线是解题的关键9(1)见解析(2)见解析；证明见解析【分析】（1）根据“”证明，得出，证明为直角三角形，根据勾股定理得出，即可得出答案；（2）根据题意补全
18、图形即可；延长，截取，连接，证明，得出，证明即可得出结论【解析】（1）证明：，为直角三角形，（2）解：依题意补全图2如图所示：；理由如下：如图，延长，截取，连接，为的中点，【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形10(1)见解析(2)见解析(3)，【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由得，从而得出，根据和进一步得出结论；（3）作于F，作于G，设，根据，从而，设，则，根据，表示各边，并求出和，根据列出方程，从而求得k，进一步求得结果【解析】（1）证明：在和中，；（2）证明：由（1）知：，即：.
19、，.，.，A，O，D三点共线；（3）解：如图，作于F，作于G，设，.，.，设，则，设，解得，在和中，由勾股定理得，且，解得，.，【点评】本题主要考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系11(1)图形见解析；猜想：， 理由见解析；见解析；(2)线段，的数量关系：【分析】(1)依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，即可得出；在上截取，可证出是等腰直角三角形，得出，可证明，得出，可推出，证出是等腰直角三角形，即可得出结论；(2) 在上截取，连接，由，可得，由可得，可证，可得，可推出，可得是等腰直角三角形故，即可得线段，的数量关系
20、【解析】（1）解：依题意，补全图形，如图1所示猜想：，理由如下：，证明：如图2，在上截取，连接，是等腰直角三角形，在和中，是等腰直角三角形，（2）解：依题意补全图形，如图3所示，在上截取，连接，在和中，是等腰直角三角形，线段，的数量关系：【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键12(1)，(2)(3)【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以
21、求出，即问题得解；（2）将绕D点逆时针旋转120至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，再证明是直角三角形，结合含角的直角三角形的性质即可求解【解析】（1）如图，连接根据题意有，即，点D为中点，是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问），在中，当F点与B点重合时，如上图左图，即，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，故答案为：；当时，如图，是等边三角形，在中，故答案为：；（2），理由如下：将绕D点逆时针旋转至连接如图，根据旋转的性质有：，即：，在中，故答案为：；（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，根据（2）中的方法，
22、同理可证明：，是直角三角形，在（1）中已证明，【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键13(1)见解析(2)(3)【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；【解析】（1）证明：，（2），即AB边上的高是（3）解：在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，【点评】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的
23、关键构造出直角三角形DEF是解本题的难点14(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明，即可解决问题；（2）先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出，再由勾股定理即可解决问题；（3）作于H先证明是底角为30的等腰三角形，再求出的长，然后根据计算即可【解析】（1）证明：都是等腰直角三角形，；（2）解：，由（1）得：，；（3）解：过点F作于H，如图3所示：是等腰直角三角形，同（1）得：，是等边三角形，【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
24、线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题15(1)；(2)，证明见解析；(3)的最小值为【分析】（1）过点F作于点G，在中利用勾股定理求得的长，在等腰直角三角形中即可求得的长，从而可得答案； （2）过点E作交于点H，过点H作于点M，通过证明，利用全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）过点F作于点M，延长至使，则与F关于对称，过点作，交的延长线于点N，证明，利用轴对称解决路径最短问题即可求得结论【解析】（1）解：过点F作于点G，如图， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：过点E作交于点H，过点H作于点M，如图， ， ， ， ， 在和中， ，则，而， 由平行线间的距离处处
25、相等可得：， ， ， 即： （3）解：， F是线段的中点， 在和中， 过点F作于点M，延长至使，则与F关于对称， 连接交于点P，如图，则此时，取得最小值， 过点作，交的延长线于点N， ， ， 由平行线间的距离处处相等可得： 的最小值为【点评】本题是一道三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，二次根式的运算，利用轴对称解决路径最短问题是解题的关键16(1)；见解析(2)【分析】（1）由，可得，即得，而，故，可得，根据，可得，从而；延长交的延长线于，由，得，有，继而可得，得，即得；（2）连接，过点作于，在上取一
26、点，使得，设，由，得是等边三角形，而，可得，根据，有，又，知， 设，可得，故，解得，根据，得，从而【解析】（1）解：解：， ，.证明：延长交的延长线于，又，；（2）解：如图2中，连接，过点作于，在上取一点，使得，设，是等边三角形，设，【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题17(1)(2)(3)见解析【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可（2）如图2，过点作于，求出设,根据构建方程求出即可解决问题（3）如图3中，过点作于点
27、，与交于点，连接，证明，推出，再证明，可得结论【解析】（1）解：，（2）解：过点作于，设,则, ，；（3）如图3中，过点作于点，与交于点，连接，即【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题18(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)；【分析】（1）从三个顶点出发各作一条线段，根据等腰三角形性质以及“双腰三角形”判断是否符合要求即可得解；（2）根据线段的垂直平分线性质与等腰三角形的判定与性质即可证明；（3）先根据已知求，则可得，即可得解；过点作于E，设，则，在与中，用勾股定理得，解方程即可得解【解析】（1）解： 为的双腰分割线，如图1所示（2）证明：线段的垂直平分线交于点，交于点，即为等腰三角形；，即为等腰三角形；故是的一条双腰分割线；（3）解：，又是三角形的双腰分割线，是等腰三角形，又，；是三角形的双腰分割线，且，如图3所示，过点作于E，设，则，在中，在中，解得，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、作图等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键