1、第 1 页（共 28 页）2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题 4 分）1 “相似的图形” 是（ ）A形状相同的图形 B大小不相同的图形C能够重合的图形 D大小相同的图形2下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）Ay=2x+1 By=2x（x +1） Cy= Dy=（x2 ） 2x23如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 与点 A、B 、C，直线 DF 分别交 l1、l 2、l 3 与点 D、E、F ，AC 与 DF 相交于点 H，如果 AH=2，BH=1 ，BC=5，那么 的值等于（ ）A B C D4抛物线 y=x2+bx+c 上部
2、分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表所示：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）A抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（ 2，0）B抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）C抛物线的对称轴是直线 x=0D抛物线在对称轴左侧部分是上升的5如图，在四边形 ABCD 中，如果ADC=BAC，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）第 2 页（共 28 页）ADAC=ABC BAC 是BCD 的平分线C AC2=BCCD D =6下列说法中，错误的是（ ）A长度为 1 的向量叫做单位向量B如果 k0 ，且 ，那么 k 的方向与 的方向相同
3、C如果 k=0 或 = ，那么 k =D如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么 二、填空题（每题 2 分）7如果 x：y=4：3，那么 = 8计算：3 4（ + ）= 9如果抛物线 y=（m1）x 2 的开口向上，那么 m 的取值范围是 10抛物线 y=4x23x 与 y 轴的交点坐标是 11若点 A（ 3，n）在二次函数 y=x2+2x3 的图象上，则 n 的值为 12已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长等于 厘米13利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边长为 20 厘米的等边三角形，那么放大前
4、后的两个三角形的周长比是 14已知点 P 在半径为 5 的O 外，如果设 OP=x，那么 x 的取值范围是 15如果港口 A 的南偏东 52方向有一座小岛 B，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是 16在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面第 3 页（共 28 页）积为 y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式： （结果保留 ，不要求写出定义域）17如果等腰三角形的腰与底边的比是 5：6，那么底角的余弦值等于 18如图，DEBC，且过ABC 的重心，分别与 AB、AC 交于点 D、E，点 P 是线段 DE 上一点， CP 的延长线交 AB 于点 Q，如
5、果 = ，那么 SDPQ ：S CPE 的值是 三、解答题19计算：cos 245+ tan3020如图，已知 AD 是 O 的直径，BC 是O 的弦，ADBC ，垂足为点E， AE=BC=16，求O 的直径21如图，已知向量 ， ， （1）求做：向量 分别在 ， 方向上的分向量 ， ：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量 和 ） （2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结 AE、交线段 OP 于点 Q，设 = ， =，那么试用 ， 表示向量 ， （请直接写出结论）第 4 页（共 28 页）22一段斜坡路面的截面图如图所示，BCAC ，其中坡面 AB 的坡比 i1=1：2，现计划削坡放缓，
6、新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面 AD 的坡比i2（结果保留根号）23已知：如图，在四边形 ABCD 中，BAD=CDA，AB=DC= ，CE=a ，AC=b，求证：（1）DECADC；（2）AEAB=BCDE24如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0）是抛物线 y=ax2+2xc上的一点，将此抛物线向下平移 6 个单位后经过点 B（0，2） ，平移后所得的新抛物线的顶点记为 C，新抛物线的对称轴与线段 AB 的交点记为 P（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点 C 的坐标；（2）求CAB 的正切值；（3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ 与AC
7、P 相似，求点 Q的坐标第 5 页（共 28 页）25如图，在直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，AB=10，sinB= ，点 O 是 AB 的中点，DOE=A，当DOE 以点 O 为旋转中心旋转时，OD 交 AC 的延长线于点 D，交边 CB 于点 M，OE 交线段 BM 于点 N（1）当 CM=2 时，求线段 CD 的长；（2）设 CM=x，BN=y，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段 CM 的长第 6 页（共 28 页）2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分）1
8、“相似的图形” 是（ ）A形状相同的图形 B大小不相同的图形C能够重合的图形 D大小相同的图形【考点】相似图形【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选 A2下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）Ay=2x+1 By=2x（x +1） Cy= Dy=（x2 ） 2x2【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义，可得答案【解答】解：A、y=2x+1 是一次函数，故 A 错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故 B 正确；C、 y= 不是二次函数，故 C 错误；D、y=（x2） 2x2 是一次函数，故 D 错误；故选：
9、B3如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 与点 A、B 、C，直线 DF 分别交 l1、l 2、l 3 与点 D、E、F ，AC 与 DF 相交于点 H，如果 AH=2，BH=1 ，BC=5，那么 的值等于（ ）第 7 页（共 28 页）A B C D【考点】平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题【解答】解：直线 l1 l2l 3， ，AH=2，BH=1，BC=5，AB=AH+BH=3， ， ，故选 D4抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表所示：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上
10、表可知，下列说法中，错误的是（ ）A抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（ 2，0）B抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）C抛物线的对称轴是直线 x=0D抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质【分析】由表可知抛物线过点（2，0） 、 （0，6）可判断 A、B；当 x=0 或 x=1 时，y=6 可求得其对称轴，可判断 C；由表中所给函数值可判断 D第 8 页（共 28 页）【解答】解：当 x=2 时，y=0，抛物线过（2，0） ，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 2，0） ，故 A 正确；当 x=0 时，y=6，抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6 ） ，故 B 正确；当 x=0
11、 和 x=1 时，y=6，对称轴为 x= ，故 C 错误；当 x 时，y 随 x 的增大而增大，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故 D 正确；故选 C5如图，在四边形 ABCD 中，如果ADC=BAC，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）ADAC=ABC BAC 是BCD 的平分线C AC2=BCCD D =【考点】相似三角形的判定【分析】已知ADC= BAC ，则 A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定【解答
12、】解：在ADC 和BAC 中，ADC=BAC，如果ADCBAC ，需满足的条件有：第 9 页（共 28 页）DAC=ABC 或 AC 是BCD 的平分线； = ；故选：C6下列说法中，错误的是（ ）A长度为 1 的向量叫做单位向量B如果 k0 ，且 ，那么 k 的方向与 的方向相同C如果 k=0 或 = ，那么 k =D如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么 【考点】*平面向量【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误【解答】解：A、长度为 1 的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当 k0 且 时，那么 k 的方向与 的方向相同，故本选项正确；C、如果 k=0 或 = ，那么 k = ，故
13、本选项错误；D、如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么向量 a 与向量 b 共线，即 ，故本选项错误；故选：B二、填空题（每题 2 分）7如果 x：y=4：3，那么 = 【考点】比例的性质【分析】根据比例的性质用 x 表示 y，代入计算即可【解答】解：x：y=4：3，x= y， = = ，第 10 页（共 28 页）故答案为： 8计算：3 4（ + ）= 4 【考点】*平面向量【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可【解答】解：3 4（ + ） =3 4 4 = 4 故答案是： 4 9如果抛物线 y=（m1）x 2 的开口向上，那么 m 的取值范围是 m1 【考点】二次函数的性质【分析】根
14、据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m10【解答】解：因为抛物线 y=（m1）x 2 的开口向上，所以 m10，即 m1，故 m 的取值范围是 m110抛物线 y=4x23x 与 y 轴的交点坐标是 （0，0） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】令 x=0 可求得 y=0，可求得答案【解答】解：在 y=4x23x 中，令 x=0 可得 y=0，抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，0 ） ，故答案为：（0，0） 11若点 A（ 3，n）在二次函数 y=x2+2x3 的图象上，则 n 的值为 12 【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】将 A（3，n）代入二次函数的关系式
15、 y=x2+2x3，然后解关于 n 的方程第 11 页（共 28 页）即可【解答】解：A（3，n）在二次函数 y=x2+2x3 的图象上，A（3，n）满足二次函数 y=x2+2x3，n=9+63=12，即 n=12，故答案是：1212已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长等于 5 5 厘米【考点】黄金分割【分析】根据黄金比值是 计算即可【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP ，AP= AB=（5 5）厘米，故答案为：5 513利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边长为 20 厘米的等边
16、三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 1：4 【考点】相似图形【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可【解答】解：因为原图中边长为 5cm 的一个等边三角形放大成边长为 20cm 的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为 5：20=1：4，故答案为：1：414已知点 P 在半径为 5 的O 外，如果设 OP=x，那么 x 的取值范围是 x5 第 12 页（共 28 页）【考点】点与圆的位置关系【分析】根据点在圆外的判断方法得到 x 的取值范围【解答】解：点 P 在半径为 5 的O 外，OP5，即 x5 故答案为 x515如果港口 A 的南偏东 52方向有一座小岛 B
17、，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是 北偏西 52 【考点】方向角【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解【解答】解：如图，1=2=52，从小岛 B 观察港口 A 的方向是北偏西 52故答案为：北偏西 5216在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面积为 y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式： y=x 2+16 （结果保留 ，不要求写出定义域）【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围【分析】根据圆的面积公式，可得答案【解答】解：由题意得在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，y=x2
18、+16，故答案为：y=x 2+16第 13 页（共 28 页）17如果等腰三角形的腰与底边的比是 5：6，那么底角的余弦值等于 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质【分析】如图，ABC 中，AB=AC，AC：BC=5：6 ，作 AEBC 于 E，则 BE=EC，在 RtAEC 中，根据 cosC= = = ，即可解决问题【解答】解：如图，ABC 中，AB=AC，AC：BC=5：6，作 AEBC 于 E，则BE=EC，在 RtAEC 中，cosC= = = ，故答案为 18如图，DEBC，且过ABC 的重心，分别与 AB、AC 交于点 D、E，点 P 是线段 DE 上一点， CP 的延长线交
19、AB 于点 Q，如果 = ，那么 SDPQ ：S CPE 的值是 1：15 【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质【分析】连接 QE，由 DEBC 、DE 过ABC 的重心即可得出 = ，设DE=4m，则 BC=6m，结合 = 即可得出 DP=m，PE=3m ，由DPQ 与QPE 有相同的高即可得出 = = ，再根据 DEBC，利用平行线的性质即可得出QDP=QBC ，结合公共角DQP= BQC 即可得出QDPQBC，依据相似第 14 页（共 28 页）三角形的性质即可得出 = = ，进而得出 = ，结合三角形的面积即可得出 = = ，将 与 相乘即可得出结论【解答】解：连接 QE，如图
20、所示DEBC，DE 过ABC 的重心， = 设 DE=4m，则 BC=6m = ，DP=m，PE=3m， = = DEBC，QDP=QBC ，DQP=BQC ，QDPQBC， = = ， = ， = = ， = = = 故答案为：1：15第 15 页（共 28 页）三、解答题19计算：cos 245+ tan30【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：原式=（ ） 2+ = + 1= 20如图，已知 AD 是 O 的直径，BC 是O 的弦，ADBC ，垂足为点E， AE=BC=16，求O 的直径【考点】垂径定理；勾股定理【分析】连接 OB，根据垂径定理求出
21、BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可第 16 页（共 28 页）【解答】解：连接 OB，设 OB=OA=R，则 OE=16R，ADBC，BC=16，OEB=90，BE= BC=8，由勾股定理得：OB 2=OE2+BE2，R2=（16 R） 2+82，解得：R=10，即O 的直径为 2021如图，已知向量 ， ， （1）求做：向量 分别在 ， 方向上的分向量 ， ：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量 和 ） （2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结 AE、交线段 OP 于点 Q，设 = ， =，那么试用 ， 表示向量 ， （请直接写出结论）【考点】*平面向量【分析】 （1）根据向
22、量加法的平行四边形法则，分别过 P 作 OA、OB 的平行线，交 OA 于 D，交 OB 于 E；（2）易得OAQPEQ，根据相似三角形对应边成比例得出 = = = ，第 17 页（共 28 页）那么 =2 =2 ， = = 再求出 = = 2 ，然后根据 = 即可求解【解答】解：（1）如图，分别过 P 作 OA、OB 的平行线，交 OA 于 D，交 OB于 E，则向量 分别在 ， 方向上的分向量是 ， ；（2）如图，四边形 ODPE 是平行四边形，PEDO ，PE=DO，OAQ PEQ ， = = ，点 A 是线段 OD 的中点，OA= OD= PE， = = = ， =2 =2 ， = =
23、 = = 2 ， = = 2 ， = = 2 = 2 第 18 页（共 28 页）22一段斜坡路面的截面图如图所示，BCAC ，其中坡面 AB 的坡比 i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面 AD 的坡比i2（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】作 DEAB，可得BDE=BAC，即可知 tanBAC=tanBDE ，即 = ，设 DC=2x，由角平分线性质得 DE=DC=2x，再分别表示出 BD、AC 的长，最后由坡比定义可得答案【解答】解：过点 D 作 DEAB 于点 E，DEB= C=90，B= B ，BDE= BAC，tanBAC
24、=tanBDE ，即 = = ，设 DC=2x，DAC=DAE，DEB=C=90 ，DE=DC=2x，第 19 页（共 28 页）则 BE=x，BD= = x，BC=CD+BD=（2+ ）x，AC=2BC=（4+2 ）x，新坡面 AD 的坡比 i2= = = 223已知：如图，在四边形 ABCD 中，BAD=CDA，AB=DC= ，CE=a ，AC=b，求证：（1）DECADC；（2）AEAB=BCDE【考点】相似三角形的判定与性质【分析】 （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出BAC= EDA ， = ，再根据两组对应边的
25、比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可【解答】证明：（1）DC= ，CE=a ，AC=b，CD 2=CECA，即 = ，又ECD= DCA，DECADC；（2）DECADC，DAE= CDE，第 20 页（共 28 页）BAD=CDA，BAC=EDA，DECADC， = ，DC=AB， = ，即 = ，ADE CAB， = ，即 AEAB=BCDE24如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0）是抛物线 y=ax2+2xc上的一点，将此抛物线向下平移 6 个单位后经过点 B（0，2） ，平移后所得的新抛物线的顶点记为 C，新抛物线的对称轴与线段 AB 的交点记为 P（1
26、）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点 C 的坐标；（2）求CAB 的正切值；（3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ 与ACP 相似，求点 Q的坐标【考点】二次函数综合题【分析】 （1）先根据点 B（0，2）向上平移 6 个单位得到点 B（0，8） ，将A（4 ，0 ） ，B（0，8）分别代入 y=ax2+2xc，得原抛物线为 y=x2+2x+8，向下平第 21 页（共 28 页）移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=x2+2x+2，据此求得顶点 C 的坐标；（2）根据 A（4，0） ，B（0，2） ，C（1，3） ，得到 AB2=20，AC 2=18，BC 2=2，进而得
27、出 AB2=AC2+BC2，根据ACB=90 ，求得 tanCAB 的值即可；（3）先设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H，根据 = = ，求得PH= AH= ，进而得到 P（1， ） ，再由 HA=HC=3，得HCA=45，根据当点 Q在点 C 下方时， BCQ=ACP，因此BCQ 与ACP 相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点 Q 的坐标【解答】解：（1）点 B（ 0，2）向上平移 6 个单位得到点 B（0，8） ，将 A（4，0 ） ，B （0，8）分别代入 y=ax2+2xc，得，解得 ，原抛物线为 y=x2+2x+8，向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=x
28、2+2x+2，顶点 C 的坐标为（ 1，3） ；（2）如图 2，由 A（4，0） ，B （0，2） ，C（1，3） ，得AB2=20，AC 2=18，BC 2=2，AB 2=AC2+BC2，ACB=90 ，tanCAB= = = ；第 22 页（共 28 页）（3）如图 3，设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H，由 = = ，得 PH= AH= ，P（1， ） ，由 HA=HC=3，得HCA=45 ，当点 Q 在点 C 下方时，BCQ=ACP，因此BCQ 与ACP 相似分两种情况：如图 3，当 = 时， = ，解得 CQ=4，此时 Q（1 ，1） ；如图 4，当 = 时， = ，第
29、23 页（共 28 页）解得 CQ= ，此时 Q（1 ， ） 25如图，在直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，AB=10，sinB= ，点 O 是 AB 的中点，DOE=A，当DOE 以点 O 为旋转中心旋转时，OD 交 AC 的延长线于点 D，交边 CB 于点 M，OE 交线段 BM 于点 N（1）当 CM=2 时，求线段 CD 的长；（2）设 CM=x，BN=y，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段 CM 的长【考点】几何变换综合题【分析】 （1）如图 1 中，作 OHBC 于 H只要证明DCM OHM，即可得
30、出 CD=OH=3（2）如图 2 中，作 NG OB 于 G首先证明1=2，根据 tan1=tan2，可得 = ，由此即可解决问题（3）分两种情形讨论即可如图 3 中，当 OM=ON 时，OH 垂直平分 MN，第 24 页（共 28 页）如图 4 中，当 OM=MN 时，分别求解即可【解答】解：（1）如图 1 中，作 OHBC 于 H在 RtABC 中，AB=10，sinB= ，AC=6，BC=8，AO=OB，OHAC ，CH=HB=4，OH=3，CM=2，CM=HM=2，在DCM 和OHM 中，DCMOHM，CD=OH=3（2）如图 2 中，作 NG OB 于 G第 25 页（共 28 页）
31、HOB= A=MON，1=2，在 RtBNG 中，BN=y，sibB= ，GN= y，BG= y，tan1=tan2， = ， = ，y= ， （0x4） （3）如图 3 中，当 OM=ON 时，OH 垂直平分 MN，第 26 页（共 28 页）BN=CM=x，OMHONG，NG=HM=4x，sinB= ， = ，CM=x= 如图 4 中，当 OM=MN 时连接 CO，OA=OB，OM=MN，CO=OA=OB ，MON=MNO=A=OCA，MON OAC，AOC=OMN，BOC=CMO ，B= B ，CMO COB， = ，8x=5 2，x= 第 27 页（共 28 页）综上所述，OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形时，线段 CM 的长为 或 第 28 页（共 28 页）2017 年 2 月 12 日