1、2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷一、选择题。(本大题共12小题，每小题3分，满分36分)12023的相反数是（）A2023BCD20232下列运算正确的是（）Aa+2a23a2Ba3a2a6C（x2）3x5D（x3）2x63“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29则这组数据的众数和中位数分别是（）A26，27B26，28C27，27D27，294中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地
2、技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（）A1.4107B14107C1.4108D1.41095下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（）A戴口罩讲卫生B勤洗手勤通风C有症状早就医D少出门少聚集6如图，已知ab，直角三角板的直角顶点在直线a上，若130，则2等于（）A70B60C50D407某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题
3、他解的不等式组可能是（）ABCD8如果2x，那么x取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx29将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（）个A414B418C420D42410如图，已知一次函数ykx+b的图象经过点A（1，2）和点B（2，0），一次函数ymx的图象经过点A，则关于x的不等式组0kx+bmx的解集为（）A2x1B1x0Cx1Dx111如图，ABC的内切圆O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，C90，AC6，BC8，则阴影部分的面积为（）ABC4D12如图，在边长为1的菱形ABCD中，A
4、BC60，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AFBE，则下列结论：DFCE；BGC120；AF2EGEC；AG的最小值为其中正确的有（）A1B2C3D4二、填空题。(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13在函数y中，自变量x的取值范围是 14关于x的方程x2+mx+n0的两个根分别是+1、1，则m+n 15如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 16如图，掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间掷铁饼者
5、张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 17如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数yk2x（k20）的图象交于A，B两点，过点A作ACx轴于点C，连接BC若SABC8，则k1 18如果一个数的平方等于1，记作i21，这个数叫做虚数单位形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似如：（2+i）+（35i）（2+3）+（15）i54i，（5+i）（34i）53+5（4i）+i3+i（4i）1520i+3i4i21517i4（1
6、）21917i，请利用以前学习过的有关知识将化简成a+bi的形式为（即化为分母中不含i的形式） 三、解答题。(本大题共2小题，每小题6分，共12分)19（6分）计算|1|3tan3020（6分）先化简，再求值：（），其中x+1四、解答题。(本大题共2小题，每小题8分，共16分)21（8分）中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间i30分钟的学生记为A类，30分钟t60分钟的
7、学生记为B类，60分钟t90分钟的学生记为C类，t90分钟的学生记为D类将收集的数据绘制成如图不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；（2）求“D类”所在扇形的圆心角度数；（3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校C类学生有多示人？22（8分）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为，液压杆AB与底盘OC夹角为已知液压杆AB3m，当37，53时，求AO的长（参考数据：sin37，tan37，sin53，tan53）五、解答题。(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23（9分）某服装店用4500元购
8、进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？24（9分）如图，在O中，AB是O的直径，PA是O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BCPO，与O交于点C，连接PC（1）求证：PC是O的切线；（2）若O的半径为3，PA4，求BC的长度六、综合题。(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25（10分）如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，点E在BC上，且PEPB（1）求
9、证：PEPD；（2）求证：PDPE；（3）试探究BC，EC，PE三者之间满足的数量关系，并证明你的结论26（10分）如图1，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），且与直线yx2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上（1）求此二次函数解析式；（2）如图，连接PC，PB，设PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图，抛物线上是否存在点Q，使得ABQ2ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分)12023的相反数是（）A2023BCD2023【解答】解：2023的相反数是20
10、23故选：A2下列运算正确的是（）Aa+2a23a2Ba3a2a6C（x2）3x5D（x3）2x6【解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；B、a3a2a5，故B不符合题意；C、（x2）3x6，故C不符合题意；D、（x3）2x6，故D符合题意；故选：D3“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29则这组数据的众数和中位数分别是（）A26，27B26，28C27，27D27，29【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为25，2
11、6，26，26，27，27，28，29，29，这组数据的众数为26，中位数为27，故选：A4中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（）A1.4107B14107C1.4108D1.4109【解答】解：0.0000000141.4108故选：C5下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称
12、图形的是（）A戴口罩讲卫生B勤洗手勤通风C有症状早就医D少出门少聚集【解答】解：A不是中心对称图形，故此选项不合题意；B不是中心对称图形，故此选项不合题意；C是中心对称图形，故此选项符合题意；D不是中心对称图形，故此选项不符合题意故选：C6如图，已知ab，直角三角板的直角顶点在直线a上，若130，则2等于（）A70B60C50D40【解答】解：如图，直角三角板的直角顶点在直线a上，130，3903060，ab，2360，故选：B7某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题他解的不等式组可能是（）ABCD【解答】解：A、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；B、不等式组的解集为
13、1x3，与数轴相吻合，符合题意；C、不等式组的解集为1x3，与数轴不合，不符合题意；D、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；故选：B8如果2x，那么x取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【解答】解：2x，x20，解得x2故选：A9将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（）个A414B418C420D424【解答】解：由题意可知，第1个图形，有4+126个小圆点，第2个图形，有4+2310个小圆点，第3个图形，有4+3416个小圆点，第4个图形，有4+4524个小圆点，第n个图形，有4+n（n+1）个小圆点，第20
14、个图形中，小圆点有4+20（20+1）424个故选：D10如图，已知一次函数ykx+b的图象经过点A（1，2）和点B（2，0），一次函数ymx的图象经过点A，则关于x的不等式组0kx+bmx的解集为（）A2x1B1x0Cx1Dx1【解答】解：当x2时，ykx+b0；当x1时，kx+bmx，所以不等式组0kx+bmx的解集为2x1故选：A11如图，ABC的内切圆O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，C90，AC6，BC8，则阴影部分的面积为（）ABC4D【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设O半径为r，C90，AC6，BC8，AB10，ABC的内切圆O与AB，BC，AC
15、分别相切于点D，E，F，ACOF，ABOD，BCOE，且OFODOEr，SABCSABO+SACO+SBCO，r2，C90，OFCOEC90，OFOE四边形OFCE是正方形，FOE90，S阴影S正方形OFCES扇形OFE44，故选：C12如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AFBE，则下列结论：DFCE；BGC120；AF2EGEC；AG的最小值为其中正确的有（）A1B2C3D4【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABC60，BAD120，BCAD，DACBAD60，DAFCBE，BEA
16、F，ADFBCE（SAS），DFCE，BCEADF，故A正确；ABAD，BAFDAF，AFAF，BAFDAF（SAS），ADFABF，ABFBCE，BGC180（GBC+GCB）180CBE120，故B正确；EBGECB，BEGCEB，BEGCEB，BE2CEEG，BEAF，AF2EGEC，故C正确；以BC为底边，在BC的下方作等腰OBC，使OBCOCB30，BGC120，BC1，点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接AO，交O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，OBOC，BOC120，BCO30，ACO90，OAC30，OC，AO2OC，AG的最小值为AOOC，故D错误故选：C
17、二、填空题。(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13在函数y中，自变量x的取值范围是 x3【解答】解：由题意得：x30，解得：x3故答案为：x314关于x的方程x2+mx+n0的两个根分别是+1、1，则m+n2+1【解答】解：关于x的方程x2+mx+n0的两个根分别是+1、1，x1+x2+1+1m，x1x2（+1）（1）n，m2，n1，m+n2+1故答案为：2+115如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 【解答】解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，画树状图得：共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，能够让
18、灯泡发光的概率为：，故答案为：16如图，掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 90【解答】解：设“弓”所对的圆心角度数为n，弧长l，n90，即“弓”所对的圆心角度数为90，故答案为：9017如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数yk2x（k20）的图象交于A，B两点，过点A作ACx轴于点C，连接BC若SABC8，则k18【解答】解：函数的图象与函数yk2x（k20）的图象交于A，B两点，点A和点
19、B关于原点O对称，AOBO，OC是ABC的中线，即OCAC8，设点，OCx，k18故答案为：818如果一个数的平方等于1，记作i21，这个数叫做虚数单位形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似如：（2+i）+（35i）（2+3）+（15）i54i，（5+i）（34i）53+5（4i）+i3+i（4i）1520i+3i4i21517i4（1）21917i，请利用以前学习过的有关知识将化简成a+bi的形式为（即化为分母中不含i的形式） +【解答】解：+，故答案为：+三、解答题。(本大题共2小题，每小题6
20、分，共12分)19（6分）计算|1|3tan30【解答】解：原式1+2+131+2+1220（6分）先化简，再求值：（），其中x+1【解答】解：原式，当x+1时，原式四、解答题。(本大题共2小题，每小题8分，共16分)21（8分）中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间i30分钟的学生记为A类，30分钟t60分钟的学生记为B类，60分钟t90分钟的学生记为C类，t90分钟的
21、学生记为D类将收集的数据绘制成如图不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；（2）求“D类”所在扇形的圆心角度数；（3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校C类学生有多示人？【解答】解：（1）本次共抽查学生2040%50（人），答：本次共抽查学生50人条形图中“C类”对应的人数为5020%10（人），补全图形如下：（2）“D类”所在扇形的圆心角度数为36036036答：“D类”所在扇形的圆心角度数 36；（3）200020%400（人），答：估计该校C类学生有400人，22（8分）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，
22、OD与底盘OC夹角为，液压杆AB与底盘OC夹角为已知液压杆AB3m，当37，53时，求AO的长（参考数据：sin37，tan37，sin53，tan53）【解答】解：sinsin53，BEmtantan37，OEm，tantan53，AEmOAOEAEm五、解答题。(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23（9分）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价
23、多少元？【解答】解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，依题意，得：10，解得：x15，经检验，x15是所列分式方程的解，且符合题意，2x30答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，设第二批衬衫每件售价为y元/件，依题意，得：（200150）30+（y140）151950，解得：y170，答：第二批衬衫每件售价为170元24（9分）如图，在O中，AB是O的直径，PA是O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BCPO，与O交于点C，连接PC（1）求证：PC是O的切线；（2）若O的半径为
24、3，PA4，求BC的长度【解答】（1）证明：如图1，连接OC，PA是O的切线，OAAP，BCPO，AOPOBC，COPOCB，OBOC，OCBOBC，AOPCOP，在AOP和COP中，AOPCOP（SAS），OCPOAP90，OC是O的半径，PC是O的切线；（2）解：如图2，连接AC，在RtOAP中，OP5，AB是O的直径，ACB90，OAPBCA，AOPCBA，AOPCBA，即，解得：BC六、综合题。(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25（10分）如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，点E在BC上，且PEPB（1）求证：PEPD；（2）求证：PDPE；（3）试探究BC，EC，P
25、E三者之间满足的数量关系，并证明你的结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCCD，ACBACD，在PBC和PDC中，PBCPDC（SAS），PBPD，PEPB，PEPD；（2）证明：四边形ABCD是正方形，BCD90由（1）得：PBCPDC，PBCPDC，PEPB，PBCPEB，PDCPEB，PEB+PEC180，PDC+PEC180在四边形PECD中，EPD360（PDC+PEC）BCD3601809090，PDPE；（3）解：BC2+EC22PE2，证明如下：由（2）得PDE是等腰直角三角形，DE2PE2+PD22PE2，在RtCDE中，由勾股定理得：CD2+EC2DE2，四边
26、形ABCD是正方形，BCCD，BC2+EC22PE226（10分）如图1，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），且与直线yx2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上（1）求此二次函数解析式；（2）如图，连接PC，PB，设PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图，抛物线上是否存在点Q，使得ABQ2ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx2分别交x轴、y轴于点B、点C，B（4，0），C（0，2），把A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入yax2+bx+c，得，解得，此二次函数解析式为.（2）如图1
27、，作PDx轴于点D，交直线BC于点E设P（x，x2x2）（0x4），则E（x，x2），PEx2x2+x+2x2+2x，SPCBODPE+BDPEOBPE，S4（x2+2x）x2+4x（x2）2+4，当x2时，S的最大值为4（3）存在如图2，连接并延长AC到点A，使ACAC，连接AB交抛物线于点Q，作ADy轴于点DOA1，OC2，OB4，AOCCOB90，AOCCOB，ACOCBO，ACBACO+OCBCBO+OCB90，BC垂直平分AA，ABAB，ABQ2ABCADCAOC90，ACDACO，ACAC，ADCAOC（AAS），DAOA1，DCOC2，OD4，A（1，4）设直线BQ的解析式为ykx+d，则，解得，yx由，得，Q（，）；作点A关于x轴的对称点A，则A（1，4），连接并延长BA交抛物线于点Q，则ABQABQ2ABC设直线BQ的解析式为ymx+n，则，解得，yx+由，得，Q（，）综上所述，直线BQ的解析式为，Q（，）或直线BQ的解析式为，Q（，）