1、2017 年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷一、选择题（本题共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分）1计算（） 0（ ） 2 的结果是（ ）A B0 C6 D2下列计算正确的是（ ）A2+a=2a B2a3a= 1 C（ a） 2a3=a5 D8ab4ab=2ab3下列图形：任取一个既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）A B C D14化简 x 的结果为（ ）A B Cxy D15某种细菌直径约为 0.00000067mm，若将 0.000 000 67mm 用科学记数法表示为 6.710nmm（n 为负整数），则 n 的值为（ ）A5 B6 C7 D86如图，已知该圆锥的侧
2、面展开图的圆心角为 120、半径长为 6，圆锥的高与母线的夹角为 ，则（ ）A圆锥的底面半径为 3Btan=C圆锥的表面积为 12D该圆锥的主视图的面积为 87如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A1：4 B1：3 C1：2 D1：18如图，数轴上的 A，B，C 三点所表示的数是分别是 a、b、c，其中AB=BC，如果|a |b|c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ）A点 A 的左边B点 A 与点 B 之间C点 B 与点 C 之间D点 B 与点 C 之间（靠近点 C）或点 C
3、的右边9若 5k+200，则关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D无法判断10在我县中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的 16 名运动员的成绩如下表所示：成绩（ m）1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 1 3 3 4 3 2这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）A1.70，1.65 B1.70，1.70 C1.65，1.70 D3，311如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分BAC，则 AD 的长为（ ）A cm B cm C cm D4cm12
4、一次函数 y=ax+b（a0）、二次函数 y=ax2+bx 和反比例函数y= （ k0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（2，0），则下列结论中，正确的是（ ）Ab=2a +k Ba=b+k Cab0 Dak013甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是（ ）A8 B7 C6 D514不等式组 的最小整数解为（ ）A1 B0 C1 D215在1，0，1，2，3 这五个数中任取两数 m，n，则二次函数 y=（x+m） 2n的顶点在 x 轴上的概率为（ ）A B C D16河堤横
5、断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB的长为（ ）A12 米 B4 米 C5 米 D6 米17如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（ ）A2 B8 C2 D218如图，在 RtACB 中，ACB =90，A=25，D 是 AB 上一点，将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B处，则CDB等于（ ）A40 B60 C70 D8019某商品的标价比成本价高 m%，根据市场需要，该商品需降价 n%出售，为了不亏本，n 应满足（ ）Anm Bn Cn D
6、n 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=6，BD=8，动点 P从点 B 出发，沿着 BAD 在菱形 ABCD 的边上运动，运动到点 D 停止，点 P是点 P 关于 BD 的对称点，PP 交 BD 于点 M，若 BM=x，OPP的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）21抛物线 y=x2+mx+n 可以由抛物线 y=x2 向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位得到，则 mn 值为 22如图，直线 l 与相切于点 D，过圆心 O 作 EFl 交O 于 E、F 两点，点A
7、 是O 上一点，连接 AE，AF，并分别延长交直线于 B、C 两点；若的半径 R=5，BD=12，则ACB 的正切值为 23如图，在菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD，NFAB ，若NF=NM=2，ME=3，则 AN 的长度为 24如图，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上，从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1、A 2、A 3、A 4、表示，其中 A1A2 与 x 轴、底边 A1A2 与 A4A5、A 4A5 与 A7A8、均相距一个单位，则A2017 的坐标是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分）25如图，已知正比例函数
8、y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论26山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，
9、赢得市场，该店应按原售价的几折出售？27已知在ABC 中， ABC=90，AB=3，BC=4点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图2）于点 P（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC ；（2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长28如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F（1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF 的面积29已知：如图一次函数 y= x+1 的图象与
10、 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y= x2+bx+c 的图象与一次函数 y= x+1 的图象交于 B、C 两点，与 x轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由2017 年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分）1计算（） 0（ ） 2 的结果是（ ）A B0 C6 D【考点】负整数指数幂；零指数幂【分析】根
11、据零指数幂、负整数指数幂，可得答案【解答】解：原式=19= ，故选：C 2下列计算正确的是（ ）A2+a=2a B2a3a= 1 C（ a） 2a3=a5 D8ab4ab=2ab【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则以及单项式除以单项式法则进而判断即可【解答】解：A、2+a 无法计算，故此选项错误，不合题意；B、2a3a= a，故此选项错误，不合题意；C、（ a） 2a3=a5，正确，符合题意；D、8ab4ab=2，故此选项错误，不合题意；故选：C 3下列图形：任取一个既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）A B C
12、 D1【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形【分析】用既是中心对称图形又是轴对称图形的个数除以图形的总个数即可求得概率；【解答】解：四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是第二个和第四个，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 = ，故选 B4化简 x 的结果为（ ）A B Cxy D1【考点】分式的乘除法【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：原式=x = ，故选 B5某种细菌直径约为 0.00000067mm，若将 0.000 000 67mm 用科学记数法表示为 6.710nmm（n 为负整数），则 n 的值为（ ）A5 B6 C7 D8【考点】
13、科学记数法表示较小的数【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000 000 67mm=6.710 7mm=6.710nmm，n=7故选：C 6如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为 120、半径长为 6，圆锥的高与母线的夹角为 ，则（ ）A圆锥的底面半径为 3Btan=C圆锥的表面积为 12D该圆锥的主视图的面积为 8【考点】圆锥的计算【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长=2r= ，求出 r 以及圆锥的高 h 即可解决问题【解答】解：设
14、圆锥的底面半径为 r，高为 h由题意：2r= ，解得 r=2，h= =4 ，所以 tan= = ，圆锥的主视图的面积= 44 =8 ，表面积=4+26=16选项 A、B、C 错误，D 正确故选 D7如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A1：4 B1：3 C1：2 D1：1【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质【分析】首先证明DFEBAE，然后利用对应边成比例， E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC，即可得出 DF：FC 的值【解答】解：在平行四边形 AB
15、CD 中，ABDC，则DFEBAE， ，O 为对角线的交点，DO=BO，又E 为 OD 的中点，DE= DB，则 DE： EB=1：3，DF：AB=1：3，DC=AB，DF：DC=1：3，DF：FC=1：2；故选：C 8如图，数轴上的 A，B，C 三点所表示的数是分别是 a、b、c，其中AB=BC，如果|a |b|c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ）A点 A 的左边B点 A 与点 B 之间C点 B 与点 C 之间D点 B 与点 C 之间（靠近点 C）或点 C 的右边【考点】数轴【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的
16、位置，即可得解【解答】解：|a |b| |c |，点 A 到原点的距离最大，点 B 其次，点 C 最小，又AB=BC，在点 B 与点 C 之间，且靠近点 C 的地方故选：D9若 5k+200，则关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D无法判断【考点】根的判别式【分析】根据已知不等式求出 k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况【解答】解：5k+200，即 k4，=16 +4k 0，则方程没有实数根故选：A10在我县中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的 16 名运动员的成绩如下表所示：成绩
17、（ m）1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 1 3 3 4 3 2这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）A1.70，1.65 B1.70，1.70 C1.65，1.70 D3，3【考点】众数；中位数【分析】根据众数及中位数的定义，结合表格数据进行判断即可【解答】解：第 8 和第 9 位同学的成绩是 1.70，1.70，故中位数是 1.70；数据 1.70 出现的次数最多，故众数是 1.70故选 B11如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分BAC，则 AD 的长为（ ）A cm B cm C cm D4cm【考点】圆心角、弧、弦的关
18、系；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】连接 OD，OC，作 DEAB 于 E，OFAC 于 F，运用圆周角定理，可证得DOB= OAC ，即证AOFOED，所以 OE=AF=3cm，根据勾股定理，得 DE=4cm，在直角三角形 ADE 中，根据勾股定理，可求 AD 的长【解答】解：连接 OD，OC，作 DEAB 于 E，OFAC 于 F，CAD= BAD（角平分线的性质）， = ，DOB= OAC=2BAD，AOFODE，OE=AF= AC=3（cm ），在 Rt DOE 中，DE= =4（cm），在 Rt ADE 中，AD= =4 （cm）故选：A12一次函数 y=ax+b（a0）、二
19、次函数 y=ax2+bx 和反比例函数y= （ k0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（2，0），则下列结论中，正确的是（ ）Ab=2a +k Ba=b+k Cab0 Dak0【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定 a、b 的符号，且直线与抛物线均经过点 A，所以把点 A 的坐标代入一次函数或二次函数可以求得 b=2a，k 的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定【解答】解：根据图示知，一次函数与二次函数的交点 A 的坐标为（2，0），2a+b=0 ，b=2a由图示知，抛物线开口向上，则 a0，b0反比例函
20、数图象经过第一、三象限，k0A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则 k 0，2a+k2a，即 b2a+k故 A 选项错误；B、 k0，b=2a，b+kb，即 b+k2a，a=b+k 不成立故 B 选项错误；C、 a0，b=2a，ba0故 C 选项错误；D、观察二次函数 y=ax2+bx 和反比例函数 y= （k0）图象知，当x= = =1 时，y=k = =a，即 ka，a0，k 0，ak0故 D 选项正确；故选：D13甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是（ ）A8 B7 C6 D5【
21、考点】一元一次方程的应用【分析】设甲计划完成此项工作的天数为 x，根据甲先干一天后甲乙合作完成比甲单独完成提前 3 天即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设甲计划完成此项工作的天数为 x，根据题意得：x（1+ ） =3，解得：x=7 故选 B14不等式组 的最小整数解为（ ）A1 B0 C1 D2【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可【解答】解：不等式组解集为1x2，其中整数解为 0，1，2故最小整数解是 0故选 B15在1，0，1，2，3 这五个数中任取两数 m，n，则二次函数 y=（x+m） 2n的顶点在 x 轴上的概率
22、为（ ）A B C D【考点】列表法与树状图法；二次函数的性质【分析】画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，利用二次函数的性质找出二次函数 y=（x+m） 2n 的顶点在 x 轴上的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 20 种等可能的结果数，其中二次函数 y=（x +m） 2n 的顶点在 x 轴上的结果数为 4，所以二次函数 y=（x+m）2 n 的顶点在 x 轴上的概率= = 故选 A16河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB的长为（ ）A12 米 B4 米 C5 米 D6 米【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】根
23、据迎水坡 AB 的坡比为 1： ，可得 =1： ，即可求得 AC 的长度，然后根据勾股定理求得 AB 的长度【解答】解：RtABC 中，BC=6 米， =1： ，AC=BC =6 ，AB= = =12故选 A17如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（ ）A2 B8 C2 D2【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理【分析】先根据垂径定理求出 AC 的长，设O 的半径为 r，则 OC=r2，由勾股定理即可得出 r 的值，故可得出 AE 的长，连接 BE，由圆周角定理可知ABE=90，在 RtBCE 中，根据勾
24、股定理即可求出 CE 的长【解答】解：O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB=8，AC= AB=4，设O 的半径为 r，则 OC=r2，在 Rt AOC 中，AC=4，OC=r2，OA 2=AC2+OC2，即 r2=42+（r 2） 2，解得 r=5，AE=2r=10，连接 BE，AE 是 O 的直径，ABE=90，在 Rt ABE 中，AE=10，AB=8 ，BE= = =6，在 Rt BCE 中，BE=6 ，BC=4，CE= = =2 故选：D18如图，在 RtACB 中，ACB =90，A=25，D 是 AB 上一点，将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B处，
25、则CDB等于（ ）A40 B60 C70 D80【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】先根据三角形内角和定理求出ABC 的度数，再由翻折变换的性质得出BCD BCD，据此可得出结论【解答】解：在 RtACB 中，ACB=90，A=25，ABC=90 25=65BCD 由 BCD 翻折而成，BCD=BCD= 90=45，CBD= CBD=65，CDB=180 4565=70故选 C19某商品的标价比成本价高 m%，根据市场需要，该商品需降价 n%出售，为了不亏本，n 应满足（ ）Anm Bn Cn Dn 【考点】一元一次不等式的应用【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式
26、即可【解答】解：设成本为 a 元，由题意可得：a （1+ m%）（1n%）a0，则（1+m%）（1n% ）10，去括号得：1n%+m% 10，整理得：100n+mn100m，故 n 故选：B 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=6，BD=8，动点 P从点 B 出发，沿着 BAD 在菱形 ABCD 的边上运动，运动到点 D 停止，点 P是点 P 关于 BD 的对称点，PP 交 BD 于点 M，若 BM=x，OPP的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ）A B C D【考点】动点问题的函数图象【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA= A
27、C=3，OB= BD=4，ACBD ，分两种情况：当 BM4 时，先证明 PBPCBA，得出比例式 ，求出 PP，得出OPP的面积 y 是关于 x 的二次函数，即可得出图象的情形；当 BM4 时，y 与 x 之间的函数图象的形状与 中的相同；即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，ACBD ，当 BM4 时，点 P与点 P 关于 BD 对称，PPBD ，PPAC ，PBP CBA， ，即 ，PP= x，OM=4x，OPP的面积 y= PPOM= x（4x）= x2+3x；y 与 x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，
28、0）和（4，0）；当 BM4 时，y 与 x 之间的函数图象的形状与 中的相同，过（4，0）和（8，0）；综上所述：y 与 x 之间的函数图象大致为 故选：D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）21抛物线 y=x2+mx+n 可以由抛物线 y=x2 向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位得到，则 mn 值为 66 【考点】二次函数图象与几何变换【分析】求得抛物线 y=x2 向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后函数的解析式，化成一般形式求得 m 和 n 的值，进而求得代数式的值【解答】解：抛物线 y=x2 向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位后函
29、数的解析式是：y= （ x+3） 2+2即 y=x2+6x+11，则 m=6，n=11，则 mn=66故答案是：6622如图，直线 l 与相切于点 D，过圆心 O 作 EFl 交O 于 E、F 两点，点A 是O 上一点，连接 AE，AF，并分别延长交直线于 B、C 两点；若的半径 R=5，BD=12，则ACB 的正切值为 【考点】切线的性质；解直角三角形【分析】连接 OD，作 EHBC，如图，先利用圆周角定理得到A=90，再利用等角的余角相等得到BEH=C，接着根据切线的性质得到 ODBC，易得四边形 EHOD 为正方形，则 EH=OD=OE=HD=5，所以 BH=7，然后根据正切的定义得到
30、tanBEH= ，从而得到 tanACB 的值【解答】解：连接 OD，作 EHBC，如图，EF 为直径，A=90，B +C=90 ，B +BEH=90 ，BEH= C，直线 l 与相切于点 D，ODBC，而 EH BC，EF BC ，四边形 EHOD 为正方形，EH=OD=OE=HD=5，BH=BDHD=7，在 Rt BEH 中，tanBEH= = ，tanACB= 故答案为 23如图，在菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD，NFAB ，若NF=NM=2，ME=3，则 AN 的长度为 4 【考点】菱形的性质【分析】由MAENAF，推出 = ，可得 = ，解方程即可解决问题【解
31、答】解：设 AN=x，四边形 ABCD 是菱形，MAE=NAF，AEM=AFN=90，MAENAF， = ， = ，x=4，AN=4，故答案为 424如图，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上，从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1、A 2、A 3、A 4、表示，其中 A1A2 与 x 轴、底边 A1A2 与 A4A5、A 4A5 与 A7A8、均相距一个单位，则A2017 的坐标是 （673， 673） 【考点】规律型：点的坐标【分析】先根据每一个三角形有三个顶点确定出 A2017 所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及 A2017 的纵坐标的长度，
32、即可得解【解答】解：20173=6721，A 2017 是第 673 个等边三角形的第 1 个顶点，第 673 个等边三角形边长为 2673=1346，点 A2017 的横坐标为 （1346）= 673，边 A1A2 与 A4A5、A 4A5 与 A7A8、均相距一个单位，点 A2017 的纵坐标为673，点 A2014 的坐标为（673， 673），故答案为：（673，673）三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分）25如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取
33、值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论2-1-c-n-j-y【考点】反比例函数综合题【分析】（1）设反比例函数的解析式为 y= （k0），然后根据条件求出 A点坐标，再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB= ，判断出四边形OABC 是平行四边形，再证明 OA=OC 即可判定出四边形 OABC 的形状【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为 y= （k0），A（m，2）在
34、y=2x 上，2=2m ，m=1 ，A（1，2），又点 A 在 y= 上，k=2，反比例函数的解析式为 y= ；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为1x0 或 x1；（3）四边形 OABC 是菱形证明：A（1，2），OA= = ，由题意知：CB OA 且 CB= ，CB=OA，四边形 OABC 是平行四边形，C（ 2，n）在 y= 上，n=1，C（ 2，1），OC= = ，OC=OA，四边形 OABC 是菱形26山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则
35、平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）设每千克核桃降价 x 元，利用销售量每件利润=2240 元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折【解答】（1）解：设每千克核桃应降价 x 元 1 分根据题意，得 （60x 40）=2240 4 分化简，得 x210x+24=0 解得 x1=4，x 2=66 分答：每千克核桃应降价 4 元或 6
36、元 7 分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为：606=54（元）， 9 分答：该店应按原售价的九折出售 10 分27已知在ABC 中， ABC=90，AB=3，BC=4点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图2）于点 P（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC ；（2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】（1）由两对角相等（A
37、PQ=C，A=A），证明AQP ABC；（2）当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示由三角形相似（AQPABC）关系计算 AP 的长；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示利用角之间的关系，证明点 B 为线段 AP 的中点，从而可以求出 AP【解答】（1）证明：PQAQ，AQP=90=ABC ，在APQ 与ABC 中，AQP=90=ABC ，A= A，AQPABC （2）解：在 RtABC 中，AB=3，BC=4 ，由勾股定理得：AC=5QPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，（I）当点 P 在线段 AB
38、 上时，如题图 1 所示QPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=PQ，由（1）可知，AQPABC， ，即 ，解得：PB= ，AP=ABPB=3 = ；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示QBP 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=BQBP=BQ， BQP=P，BQP+AQB=90，A+P=90 ，AQB= A，BQ=AB，AB=BP，点 B 为线段 AP 中点，AP=2AB=23=6 综上所述，当PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 628如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F（1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF 的面积【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】（1）由于AEF 是直角，则BAE 和 FEC 同为AEB 的余角，由