1、2017 年山东省临沂市中考数学模拟试卷（4）一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13 的绝对值是（ ）A3 B3 C+3 D以上都不对2我省大力开展节能增产活动，开发利用煤矿安全“杀手” 煤层瓦斯发电经测算，我省深层煤层瓦斯资源量可发电 1400 亿千瓦时以上，1400 亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）A1.410 12 千瓦时 B1.410 11 千瓦时C1.4 1010 千瓦时 D1410 10 千瓦时3如图，直线 ab，则 A 的度数是（ ）A38 B48 C42 D394下列各式中计算正确的是（ ）Ax 3
2、x3=2x6 B（xy 2） 3=xy6 C（a 3） 2=a5 Dt 10t9=t5不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B C D6化简 的结果是（ ）A B C（x+1） 2 D（x1） 27一个立体图形的三视图如图所示根据图中数据求得这个立体图形的表面积为（ ）A2 B6 C7 D88一个不透明的袋子中有 3 个分别标有 3，1，2 的球，这些球除了所标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是（ ）A B C D9如图，菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为（3，2），若反比例函数 y= （x0）的图象经过
3、点 A，则 k 的值为（ ）A6 B3 C3 D610如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A=22.5，OC=4 ，CD的长为（ ）A2 B4 C4 D811一元二次方程（1k） x22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk 2 且 k112如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，D 是梯上一点，梯脚 B 与墙脚的距离为1.6m（即 BC 的长），点 D 与墙的距离为 1.4m（即 DE 的长），BD 长为0.55m，则梯子的长为（ ）A4.50m B4.40m C4.00m D3.85m13在图 1、图 2、图 3中，菱形 A
4、1B1C1D1、菱形 A2B2C2D2、菱形A3B3C3D3都是由全等的小三角形拼成，菱形 AnBnCnDn 中有 200 个全等的小三角形，则 n 的值为（ ）2-1-c-n-j-yA10 B15 C20 D2514已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15分解因式：3x 3y+27xy= 16已知 5 个数据：8，8，x，10，10如果这组数据的某
5、个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 17设 x，y 为任意实数，定义运算：x*y=（x+1）（y+1）1，得到下列五个命题：x*y=y*x； x*（y+z ）=x*y+x*z；（x+1）*（x1）=（x*x）1；x*0=0；（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；其中正确的命题的序号是 18如图，ABC 的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将ABC 绕 C点按逆时针方向旋转 90，那么点 B 的对应点 B的坐标是 19如图，直线 y= x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C 在直线 AB 上，且点 C 的纵坐标为1，点 D 在反比例函数 y= 的图象上，CD 平
6、行于 y 轴，S OCD= ，则 k 的值为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20计算：|1 |+（2015） 02sin45+（ ） 221已知：如图，ABC 中，D 是 BC 上任意一点， DEAC，DFAB 试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？在的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由22某中学开展以“ 我最喜欢的职 业” 为主题的调查活动通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，下面两图（如图）是根据这组数据绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中所提供的信息解答下列问
7、题：（1）求在这次活动中一共调查了多少名学生；（2）在扇形统计图中，求“教师” 所在扇形的圆心角的度数；（3）补全两幅统计图23甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 y（m ）与挖掘时间 x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）描述乙队在 06（h）内所挖河渠的长度变化情况；（2）请你求出：乙队在 2x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 x 为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度 y 的值在 30 和 50 之间变化？24如图在 RtABC 中，C=90，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC、AB，分
8、别交于点 D、E，且CBD=A；21cnj y（1）判断直线 BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 AD：AO=8：5，BC=2，求 BD 的长25问题情境：如图，在ABD 与CAE 中，BD=AE，DBA= EAC，AB=AC ，易证：ABD CAE（不需要证明）特例探究：如图，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且BD=AE，AD 与 CE 交于点 F求证：ABDCAE归纳证明：如图，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 CB、BA 的延长线上，且 BD=AEABD 与 CAE 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由拓展应用：如图，在等腰三角形
9、中，AB=AC，点 O 是 AB 边的垂直平分线与AC 的交点，点 D、E 分别在 OB、BA 的延长线上若 BD=AE，BAC=50，AEC=32，求BAD 的度数26如图，抛物线 y=ax2 x2（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标2017 年山东省临沂市中考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42
10、 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13 的绝对值是（ ）A3 B3 C+3 D以上都不对【考点】绝对值【分析】根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号【解答】解：|3|=3故3 的绝对值是 3故选 C2我省大力开展节能增产活动，开发利用煤矿安全“杀手” 煤层瓦斯发电经测算，我省深层煤层瓦斯资源量可发电 1400 亿千瓦时以上，1400 亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）A1.410 12 千瓦时 B1.410 11 千瓦时C1.4 1010 千瓦时 D1410 10 千瓦时【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形
11、式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1 400 亿千瓦时用科学记数法表示为 1.41011 千瓦时故选 B3如图，直线 ab，则 A 的度数是（ ）A38 B48 C42 D39【考点】平行线的性质；三角形的外角性质【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质求解【解答】解：a b，DBC=80 （两直线平行，内错角相等）DBC=ADB+A（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和），A=DBCADB=
12、8032=48故选 B4下列各式中计算正确的是（ ）Ax 3x3=2x6 B（xy 2） 3=xy6 C（a 3） 2=a5 Dt 10t9=t【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】分别进行同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法等运算结合选项选出正确答案即可【解答】解；A、x 3x3=x6，原式计算错误，故本选项错误；B、（ xy2） 3=x3y6，原式计算错误，故本选项错误；C、（ a3） 2=a6，原式计算错误，故本选项错误；D、t 10t9=t，原式计算正确，故本选项正确；故选 D5不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B C D【考点】解
13、一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：由得 x3，由得 x1，则不等式组的解集为空集故选 D6化简 的结果是（ ）A B C（x+1） 2 D（x1） 2【考点】分式的混合运算【分析】将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果【解答】解：（1 ）= = （x+1）（x1）=（x1） 2故选 D7一个立体图形的三视图如图所示根据图中数据求
14、得这个立体图形的表面积为（ ）A2 B6 C7 D8【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算【分析】从三视图可以看正视图以及俯视图为矩形，而左视图为圆形，可以得出该立体图形为圆柱，再由三视图可以圆柱的半径，长和高求出体积【解答】解：正视图和俯视图是矩形，左视图为圆形，可得这个立体图形是圆柱，这个立体图形的侧面积是 23=6，底面积是：1 2=，这个立体图形的表面积为 6+2=8；故选 D8一个不透明的袋子中有 3 个分别标有 3，1，2 的球，这些球除了所标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是（ ）A B C D【考点】列表法与树状图法【分析
15、】列表得出所有等可能的情况数，找出这两个球上的两个数字之和为负数的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表得：3 1 23 （1，3） （ 2，3）1 （3，1） （ 2，1）2 （ 3，2） （ 1，2） 所有等可能的情况有 6 种，其中两个数字之和为负数的情况有 2 种，则 P= = 故选：B 9如图，菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为（3，2），若反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A，则 k 的值为（ ）A6 B3 C3 D6【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据菱形的对称性求出点 A 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入
16、函数解析式进行计算即可得解【解答】解：菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为（3，2），点 A 的坐标为（3，2），反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A， =2，解得 k=6故选 D10如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A=22.5，OC=4 ，CD的长为（ ）A2 B4 C4 D8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理【分析】根据圆周角定理得BOC=2 A=45 ，由于O 的直径 AB 垂直于弦CD，根据垂径定理得 CE=DE，且可判断OCE 为等腰直角三角形，所以 CE=OC=2 ，然后利用 CD=2CE 进行计算www-2-1-cnjy
17、-com【解答】解：A=22.5，BOC=2A=45 ，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，CE=DE，OCE 为等腰直角三角形，CE= OC=2 ，CD=2CE=4 故选：C 11一元二次方程（1k） x22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk 2 且 k1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于 0，建立关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范围【解答】解：a=1k，b=2，c= 1，方程有两个不相等的实数根=b 24ac=4+4（1k）=8 4k0k2又一元二次方程的二次项系
18、数不为 0，即 k1k2 且 k1故选 C12如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，D 是梯上一点，梯脚 B 与墙脚的距离为1.6m（即 BC 的长），点 D 与墙的距离为 1.4m（即 DE 的长），BD 长为0.55m，则梯子的长为（ ）A4.50m B4.40m C4.00m D3.85m【考点】解直角三角形的应用【分析】可由平行线分线段成比例建立线段之间的关系，进而求解线段 AB 的长度即可【解答】解：由图可得， ，又 BC=1.6m，DE=1.4 ，BD=0.55m ，代入可得： ，解得：AB=4.40m ，故选：B 13在图 1、图 2、图 3中，菱形 A1B1C1D1、菱形 A2B2C
19、2D2、菱形A3B3C3D3都是由全等的小三角形拼成，菱形 AnBnCnDn 中有 200 个全等的小三角形，则 n 的值为（ ）A10 B15 C20 D25【考点】规律型：图形的变化类【分析】仔细观察图形发现图形变化的规律，利用发现的规律解题即可【解答】解：第一个图形中有 12=2 个小三角形，第二个图形有 24=8 个小三角形，第三个图形有 36=18 个小三角形，第 n 个图形有 n2n=2n2 个小三角形，当 2n2=200 时，解得： n=10，故选 A14已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周设点 P 运动的时间为 x，线段 A
20、P 的长为 y表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）A B C D【考点】动点问题的函数图象【分析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到 y 随 x 的增大的变化关系，然后选择答案即可【解答】解：A、等边三角形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化，在点 A 的对边上时，设等边三角形的边长为 a，则 y= （a x2a），符合题干图象；B、菱形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至A 的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题
21、干图象不符合；D、圆，AP 的长度，先变速增加至 AP 为直径，然后再变速减小至点 P 回到点A，题干图象不符合故选：A二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15分解因式：3x 3y+27xy= 3xy（x+3）（x3） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式3xy ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解平方差公式：a 2b2=（a +b）（ ab）【解答】解：3x 3y+27xy，=3xy（x 29），（提取公因式）=3xy（x+3）（x3）（平方差公式）16已知 5 个数据：8，8，x，10，10如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的
22、中位数是 8 或 10 【考点】中位数；算术平均数；众数【分析】根据这组数据的某个众数与平均数相等，得出平均数等于 8 或 10，求出 x 从而得出中位数，即是所求答案【解答】解：设众数是 8，则由 ，解得：x=4 ，故中位数是 8；设众数是 10，则由 ，解得：x=14 故中位数是 10故答案为：8 或 1017设 x，y 为任意实数，定义运算：x*y=（x+1）（y+1）1，得到下列五个命题：x*y=y*x； x*（y+z ）=x*y+x*z；（x+1）*（x1）=（x*x）1；x*0=0；（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；其中正确的命题的序号是 【考点】整式的混合运算【分析】根
23、据题中规定的运算法则对各选项新定义的运算进行计算，判断即可解答【解答】解：x*y=y*x=xy+x+y，正确；x*（y+z） =（x+1）*（y+z+1） 1，错误；（x+1）*（x1）=（x+2）x 1=（x*x） 1，正确；x*0=x ，错误；（x+1）*（x+1）=x*x1，错误故答案为18如图，ABC 的顶点 都在方格线的交点（格点）上，如果将ABC 绕 C点按逆时针方向旋转 90，那么点 B 的对应点 B的坐标是 （1，0） 【考点】坐标与图形变化旋转【分析】先画出旋转后的图形，然后写出 B点的坐标【解答】解：如图，将ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 90，点 B 的对应点 B的坐
24、标为（1，0）故答案为：（1，0）19如图，直线 y= x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C 在直线 AB 上，且点 C 的纵坐标为1，点 D 在反比例函数 y= 的图象上，CD 平行于 y 轴，S OCD= ，则 k 的值为 5 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据点 C 在直线 y= x2，可得点 C 的坐标，根据三角形的面积，可得 DC 的长，可得 D 点的坐标，根据待定系数法，可得答案【解答】解；直线 y= x2，点 C 在直线上，且点 C 的纵坐标为 1，x=2，点 C（2，1），CD 平行于 y 轴，O 到 CD 的距离是 2，设 D（2，y），则
25、 DC=y+1S OCD = = ，y= ，D（2， ）点 D 在反比例函数 y= 的图象上k=xy=2 =5，故答案为：5三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20计算：|1 |+（2015） 02sin45+（ ） 2【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、三角函数值及负整数指数幂分别计算可得【解答】解：原式= 1+1 +4=421已知：如图，ABC 中，D 是 BC 上任意一点， DEAC，DFAB 试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？在的条件下
26、，当ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定【分析】根据 DEAC，DFAB 可判断四边形 AEDF 为平行四边形；由四边形 AEDF 为菱形，能得出 AD 为BAC 的平分线即可；由四边形 AEDF 为正方形，得BAC=90，即当ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可【解答】解：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 为平行四边形；四边形 AEDF 为菱形，AD 平分BAC，则 AD 平分BAC 时，四边形 AEDF 为菱形；由四边形 AEDF 为正方形，BAC=90，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可22某中
27、学开展以“ 我最喜欢 的职业” 为主题的调查活动通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，下面两图（如图）是根据这组数据绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中所提供的信息解答下列问题：（1）求在这次活动中一共调查了多少名学生；（2）在扇形统计图中，求“教师” 所在扇形的圆心角的度数；（3）补全两幅统计图【考点】折线统计图；全面调查与抽样调查；扇形统计图【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有 40 人，占样本的 20%，所以被调查的学生数即可求解；（2）各个扇形的圆心角的度数=360该部分占总体的百分比，乘以 360 度即可得到“教师 ”所在扇形的圆心角的度数；（3）
28、找出两个统计图中共同的已知量，就可以求出教师、其它所占的百分比，以及教师、医生的人数，将图形补充完整即可【解答】解：（1）被调查的学生数为 （人）（2）“教师”所在扇形的圆心角的度数为（ 115%20%10% 100%）360=72（3）如图，补全图如图，补全图23甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 y（m ）与挖掘时间 x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）描述乙队在 06（h）内所挖河渠的长度变化情况；（2）请你求出：乙队在 2x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 x 为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度 y 的值在
29、30 和 50 之间变化？【考点】一次函数的应用【分析】（1）根据河渠的长度 y（m）与挖掘时间 x（h）之间的图象关系即可作出描述（2）设乙队在 2x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，根据函数过点（2，30）、（6，50），可求出 k 与 b 的值，进而确定关系式（3）设甲队在 0x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx，由图可知，函数图象过点（6，60），从而解出 k 的值，然后根据 30y50 可得出 x 的范围【解答】解：（1）如图，乙队从挖河渠开始至 2 时，长度由 0 米增加到 30 米，从第 2 时至 6 时，长度由 30 米增加到 60
30、米（2）设乙队在 2x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ，解得 ，y=5x +20；（3）设甲队在 0x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx，由图可知，函数图象过点（6，60），6k=60 ，解得 k=10，y=10x 当 y=30 时， x=3；当 y=50 时， x=5当 3x5 时，甲队所挖河渠的长度 y 的值在 30 和 50 之间变化24如图在 RtABC 中，C=90，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC、AB，分别交于点 D、E，且CBD=A；（1）判断直线
31、BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 AD：AO=8：5，BC=2，求 BD 的长【考点】直线与圆的位置关系；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）结论：BD 是圆的切线，已知此线过圆 O 上点 D，连接圆心 O 和点 D（即为半径），再证垂直即可；（2）通过作辅助线，根据已知条件求出CBD 的度数，在 RtBCD 中求解即可【解答】解：（1）直线 BD 与O 相切证明：如图，连接 ODOA=ODA=ADOC=90，CBD+ CDB=90又CBD=AADO+CDB=90ODB=90直线 BD 与O 相切（2）解法一：如图，连接 DEAE 是 O 的直径，ADE=90
32、AD：AO=8：5cosA=AD：AE=4：5C=90，CBD=Acos CBD=BC：BD=4 ：5BC=2，BD= ；解法二：如图，过点 O 作 OHAD 于点 HAH=DH= ADAD：AO=8：5cosA=AH：AO=4：5C=90，CBD=Acos CBD=BC：BD=4：5，BC=2，BD= 25问题情境：如图，在ABD 与CAE 中，BD=AE，DBA= EAC，AB=AC ，易证：ABD CAE（不需要证明）特例探究：如图，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且BD=AE，AD 与 CE 交于点 F求证：ABDCAE归纳证明：如图，在等边ABC 中，点 D、
33、E 分别在边 CB、BA 的延长线上，且 BD=AEABD 与 CAE 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由拓展应用：如图，在等腰三角形中，AB=AC，点 O 是 AB 边的垂直平分线与AC 的交点，点 D、E 分别在 OB、BA 的延长线上若 BD=AE，BAC=50，AEC=32，求BAD 的度数【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是 60的性质推知 AB=AC，DBA=EAC=60 ，然后结合已知条件 BD=AE，利用全等三角形的判定定理 SAS 证得ABDCAE归
34、纳证明：ABD 与CAE 全等利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是 60的性质以及三角形外角定理推知 AB=AC，DBA=EAC=120 ，然后结合已知条件 BD=AE，利用全等三角形的判定定理 SAS 证得ABDCAE；拓展应用：利用全等三角形（ABDCAE）的对应角BDA=AEC=32，然后由三角形的外角定理求得BAD 的度数【解答】特例探究：证明：ABC 是等边三角形，AB=AC， DBA=EAC=60 ，在ABD 与CAE 中， ，ABDCAE（SAS）；解：归纳证明：ABD 与CAE 全等理由如下：在等边ABC 中，AB=AC，ABC=BAC=60，DBA= EAC=120在A
35、BD 与CAE 中， ，ABDCAE（SAS）；拓展应用：点 O 在 AB 的垂直平分线上，OA=OB，OBA= BAC=50，EAC= DBC在ABD 与CAE 中， ，ABDCAE（SAS），BDA= AEC=32，BAD= OBABDA=1826如图，抛物线 y=ax2 x2（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标【考点】二次函数综合题【分析】方法一：（
36、1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明 ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3）MBC 的面积可由 SMBC = BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h取最大值，即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M方法二：（1）略（2）通过求出 A，B，C 三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出ACBC，从而求出圆心坐标（3）利用三角形面积公式，过 M 点作 x 轴垂线，水平底与铅垂高乘积的
37、一半，得出MBC 的面积函数，从而求出 M 点【解答】方法一：解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a 42，即：a= ；抛物线的解析式为：y= x2 x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2 ，OB=4，即：OC 2=OAOB，又：OCAB，OACOCB ，得： OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（ ，0）（3）已求得：B（4，0）、C（0， 2），可得直线 BC 的解析式为：y= x2；设直线 lBC
38、 ，则该直线的解析式可表示为： y= x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b= x2 x2，即： x22x2b=0，且=0 ；44 （2b）=0，即 b=4；直线 l：y= x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2，3）过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB SOCB = 2（2+3）+ 23 24=4方法二：（1）略（2）y= （x4）（x+1），A（1，0），B（4，0） C（0，2），K AC= =2，K BC= = ，K ACKBC=1，ACBC，ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，ABC 的外接圆的圆心是 AB 的中点，ABC 的外接圆的圆心坐标为（ ，0）（3）过点 M 作 x 轴的垂线交 BC于 H，B（ 4，0），C （0，2），l BC：y= x2，设 H（t， t2），M（t， t2 t2），S MBC = （H YMY）（B XCX）= （ t2 t2+ t+2）（40）= t2+4t，当 t=2 时， S 有最大值 4，M（2，3）