1、2023年贵州省遵义市红花岗中考三模数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分1. 当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金支付发展，若收入200元记作元，则元记作（ ）A. 收入25元B. 支出25元C. 收入175元D. 支出175元2. 把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（ ）A. B. C. D. 3. “五一”假期，我市各大景区迎来旅游热潮遵义会议会址景区累计接待22.64万人次，创“五一”假期历史接待人数新高将数据22.64万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 下列图形中，由，能得到的是（ ）A. B. C. D. 5.
2、 在平面直角坐标系中，点M与点关于原点对称，则点M的坐标是（ ）A. B. C. D. 6. 在下列各式的计算中，正确的是（ ）A B. C. D. 7. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q8. 如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）A. 180B. 360C. 540D. 7209. 一元二次方程的两个根是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，10. 如图，点C是线段上的动点（不与点A、B重合），分别以、为边向上作等边三角形和，延长、交于点F，若，则四边形的周长是（
3、）A. 4B. 8C. 10D. 1211. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁12. 如图1，是的直径，点B、C、D将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间
4、，得到图3，称为“2次换序”以此类推；若从图1开始，经过“n次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n的值可以是（ ） A. 11B. 12C. 13D. 14二、填空：每题4分，共16分13. 化简：=_14. 已知，则_15. 如图，在ABC中，A50，B80，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE的度数为_16. 如图，已知，以为斜边作，连接，作，若，且，则的长为_ 三、解答题：本大题共9题，共计98分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （1）计算：；（2）解分式方程：18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C（1）求这两个函数的解析
5、式；（2）求的面积19. 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担意见某校积极落实“双减”政策，准备开设拓展课程为了让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，该校随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置以下四门课程：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），要求每名学生必须选择并且只能选择其中最喜欢的一门课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为_名，并直接在答题卡中补全条形统计图；（2）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（3
6、）小明和小兰都从A、B、C、D四门课程中选择一门自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们选中同一门课程的概率20. 如图，D、E、F分别是各边的中点，连接、（1）求证：四边形为平行四边形；（2）加上条件_后，能使得四边形为菱形请从下面三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明；平分；21. 在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园内的一栋教学楼的高度，同学们设计了两个测量方案如下：课题测量教学楼的高度测量工具测角仪，标杆，皮尺等测量小组第一小组第二小组测量方案示意图说明点、在同一直线上，、为标杆为教学楼旁边的两层小楼测量数据从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为，从
7、点处测得点的仰角为，（1）根据以上数据请你判断，第_小组无法测量出教学楼的高度？（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出教学楼的高度（精确到，参考数据：）22. 如图，已知是的直径，弦于点E，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点G （1）求证：直线与相切；（2）若，求阴影部分的面积23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，
8、求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润24. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数例如：的友好同轴二次函数为（1）函数的对称轴为_其友好同轴二次函数为_（2）已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为若函数图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；当时，函数最大值与最小值的差为8，求a的值25. 【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为（1）【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接直接写出的度数为_，与的数量关系为_；（2）【深入探究】如
9、图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接猜想与的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，求的长2023年贵州省遵义市红花岗中考三模数学试卷一、选择题：，每小题3分，共36分1. 当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金支付发展，若收入200元记作元，则元记作（ ）A. 收入25元B. 支出25元C. 收入175元D. 支出175元【答案】B【解析】【分析】根据负数的意义即可得【详解】解：因为收入与支出是一对具有相反意义的量，所以若收入200元记作元，则元记作支出25元，故选：B
10、【点睛】本题考查了负数，熟练掌握负数的意义是解题关键2. 把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：C【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同3. “五一”假期，我市各大景区迎来旅游热潮遵义会议会址景区累计接待22.64万人次，创“五一”假期历史接待人数新高将数据22.64万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义即可得【详解】解
11、：万，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同4. 下列图形中，由，能得到的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、对顶角相等逐项判断即可得【详解】解：A、能得到，则此项不符合题意；B、如图，则此项符合题意；C、不能得到，则此项不符合题意；D、不能得到，则此项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键5. 在平面直角坐标系中，点M与点
12、关于原点对称，则点M的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均互为相反数即可得【详解】解：点与点关于原点对称，点的坐标是，故选：C【点睛】本题考查了点坐标与原点对称，熟记点坐标关于原点对称的变换规律是解题关键6. 在下列各式的计算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项法则逐项判断即可得【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；C、，则此项正确，符合题意；D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；故选
13、：C【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题关键7. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q【答案】C【解析】【分析】由，再结合数轴即可求解【详解】，观察数轴，点P符合要求，故选：C【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键8. 如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）A. 180B. 360C. 540D. 720【答案】B【解析】【分析】根据多边形的外角和等于即可求解.【详解】解：多边形的外角和等于，他每跑完一圈，身体转过的
14、角度之和是.故选：B.【点睛】本考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于是解决此题的关键.9. 一元二次方程的两个根是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得【详解】解：，或，故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键10. 如图，点C是线段上的动点（不与点A、B重合），分别以、为边向上作等边三角形和，延长、交于点F，若，则四边形的周长是（ ）A. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质证明四边形是平行四边形，再利用，进而得到即可求解.【详解】解：和都是等边三角
15、形，四边形是平行四边形，.，四边形的周长.故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形.11. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加，据此求解即可【详解】解：从平均数看，丙、丁的平均数比甲、乙的平均数大，应从丙、丁中选择一名运动员参加比赛，从方差来看，丁的方差小于丙的方差，即丁的成绩比丙的成绩稳定，要从中选择一名成绩
16、好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丁，故选D【点睛】本题主要考查了用平均数和方差做决策，熟知方差越小，成绩越稳定是解题的关键12. 如图1，是的直径，点B、C、D将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”以此类推；若从图1开始，经过“n次换序”后，得到的顺序与图1相同，则
17、n的值可以是（ ） A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】【分析】先得到前4次换序后的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得【详解】解：由题意得：1次换序后，得到的顺序为，2次换序后，得到的顺序为，3次换序后，得到的顺序为，4次换序后，得到的顺序为，由此可知，每经过4次换序，得到的顺序与图1相同，即此时（为正整数），观察四个选项可知，只有选项B符合题意，故选：B【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键二、填空：每题4分，共16分13. 化简：=_【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质化简即可.【详解】=14. 已知，则_【答案】36【解析】【分
18、析】利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得【详解】解：，故答案为：36【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键15. 如图，在ABC中，A50，B80，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE的度数为_【答案】65【解析】【分析】利用三角形的外角性质，可求得，观察图中尺规作图的痕迹，可知 平分，即可求解【详解】A50，B80，且 是 的外角， ，观察图中尺规作图的痕迹，得： 平分， ,故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，和三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图的作法，和三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
19、之和）16. 如图，已知，以为斜边作，连接，作，若，且，则的长为_ 【答案】【解析】【分析】先证出点在以为直径圆上，再设的中点为点，延长交于点，连接，根据圆周角定理、矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后解直角三角形、勾股定理可得的长，利用勾股定理可得的长，最后在中，解直角三角形即可得详解】解：，点在以为直径的圆上，如图，设的中点为点，延长交于点，连接， 由圆周角定理得：，四边形是矩形，在中，解得，在中，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识点，正确判断出点在以为直径的圆上是解题关键三、解答题：本大题共9题，共计98分解答应写出必要的文字说明
20、、证明过程或演算步骤17. （1）计算：；（2）解分式方程：【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）先化简绝对值、零指数幂、特殊角的正弦值，再计算乘法与加减法即可得；（2）方程两边同乘以，化成整式方程，再解一元一次方程即可得【详解】解：（1）原式；（2），方程两边同乘以，得，去括号，得，即，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，经检验，是原分式方程的解，所以方程的解为【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的正弦值、解分式方程，熟练掌握各运算法则和分式方程的解法是解题关键18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C（1）求这两个函数的解析式；
21、（2）求的面积【答案】（1）， （2）6【解析】【分析】（1）先根据可求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式；（2）先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得【小问1详解】解：将点代入反比例函数得：，则反比例函数的解析式为，将点代入得：，将点，代入得：，解得，则一次函数的解析式为【小问2详解】解：对于一次函数，当时，解得，则的面积为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键19. 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见某校积极
22、落实“双减”政策，准备开设拓展课程为了让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，该校随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置以下四门课程：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），要求每名学生必须选择并且只能选择其中最喜欢的一门课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为_名，并直接在答题卡中补全条形统计图；（2）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（3）小明和小兰都从A、B、C、D四门课程中选择一门自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们选中同一门课程的概率【答案】（1）120，不全条形
23、统计图见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）用A课程的人数除以其所占的百分比即可确定调查人数，然后用调查人数乘以B课程所占的百分比求得B课程的人数，然后再补全条形统计图即可；（2）用乘以D课程所占的百分比即可；（3）先画树状图确定所有可能结果数和满足题意的结果数，然后根据概率公式即可解答【小问1详解】解：此次被调查的学生人数为名B课程的人数为：补全条形统计图如下：【小问2详解】解：拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数为【小问3详解】解：根据题意画出树状图如下：共有16种等可能结果，选中同一课程有4种他们选中同一课程的概率为：【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、运用画树
24、状图求概率等知识点，明确题意、从统计图中获取解答问题的信息是解答本题的关键20. 如图，D、E、F分别是各边的中点，连接、（1）求证：四边形为平行四边形；（2）加上条件_后，能使得四边形为菱形请从下面三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明；平分；【答案】（1）见解析 （2）或，见解析【解析】【分析】（1）根据D、E、F分别是各边的中点和三角形中位线的性质即可证明；（2）选平分，可得即可证明；选可直接证明【小问1详解】证明：D、E、F分别是各边的中点，四边形为平行四边形；【小问2详解】证明：选平分，平分，四边形为平行四边形，四边形为菱形；选，D、F分别是、各边的中点，四边形为平行四边形
25、，四边形为菱形；选无法证明四边形为菱形；【点睛】本题考查了几何证明，涉及到三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，灵活运用所学知识是解题关键21. 在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园内的一栋教学楼的高度，同学们设计了两个测量方案如下：课题测量教学楼的高度测量工具测角仪，标杆，皮尺等测量小组第一小组第二小组测量方案示意图说明点、在同一直线上，、为标杆为教学楼旁边的两层小楼测量数据从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为，（1）根据以上数据请你判断，第_小组无法测量出教学楼的高度？（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出教学楼的高度
26、（精确到，参考数据：）【答案】（1）二 （2）教学楼的高度约为【解析】【分析】（1）第二组没有测量有关线段长度；（2）根据第一组的测量数据，延长交于点，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可【小问1详解】解：因为没有测量的长度，所以无法测量出教学楼的高度，故答案为：二【小问2详解】解：根据第一组的测量数据，如图，延长交于点，则四边形和四边形都是矩形，等腰直角三角形，设，则，在中，即，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，所以，答：教学楼的高度约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题中的仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角的定义，根据
27、锐角三角函数解决实际问题22. 如图，已知是的直径，弦于点E，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点G （1）求证：直线与相切；（2）若，求阴影部分的面积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接，先根据等腰的判定可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积即可得【小问1详解】证明：如图，连接， ，由折叠的性质得：，即，又是的半径，直线与相切【小问2详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，由圆周角定理得：，又，是等
28、边三角形，则阴影部分的面积为【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定和扇形的面积公式是解题关键23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元 （2）1800元【解析】【
29、分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解【小问1详解】设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：解得：每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元【小问2详解】当时，w最大值为1800元该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键24
30、. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同两个二次函数互为友好同轴二次函数例如：的友好同轴二次函数为（1）函数的对称轴为_其友好同轴二次函数为_（2）已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值【答案】（1）直线， （2）4；或3【解析】【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，解方程可求出点的坐标，由此即可得；分且且、两种情况，利用二次函数的
31、性质求解即可得【小问1详解】解：函数的对称轴为直线，因为，所以设函数的友好同轴二次函数为，所以，解得，所以函数的友好同轴二次函数为，故答案为：直线，【小问2详解】解：二次函数，则设，所以，解得，所以，联立得：，解得或，当时，；当时，所以，所以；函数的对称轴为直线，（）当且且时，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为4，所以，解得，符合题设；（）当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为4，所以，解得，符合题设；综上，的值为或3【点睛】本
32、题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键25. 【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为（1）【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接直接写出的度数为_，与的数量关系为_；（2）【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接猜想与的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，求的长【答案】（1）； （2），理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）连接，证明与都是等边三角形，则，得到,由折叠知，则，
33、由是的内接四边形，则，得到，则，即可得到结论；（2）设折叠前点C的对应点，连接、，由折叠可知，四边形是的圆内接四边形得到，由，则，即可得到结论；（3）在（2）的条件下，则，延长交于点E，连接，过点B作于点F，则，由勾股定理得，证明，则，由平分得到，则，得到，则，设，,得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案小问1详解】解：如图，连接，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为，与都是等边三角形，,由折叠的性质可知，是的内接四边形，；故答案为：；【小问2详解】，理由如下：设折叠前点C的对应点，连接、，如图，由折叠可知，四边形是的圆内接四边形，；【小问3详解】在（2）的条件下，则，延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图，则，在中，由勾股定理得，平分，设，则,，在中，由勾股定理得，即，解得（不合题意，舍去），即的长为【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键