1、2023年江苏省无锡市惠山区中考三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A B. C. D. 42. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角的度数为45，则这个正多边形是（ ）A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形5. 在九年级体育中考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45则这组数据的中位数为（ ）A. 48B. 47C. 46
2、D. 456. 如图，将绕点A逆时针旋转一定的度数，得到若点D在线段的延长线上，若则旋转的度数为（）A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（ ）A 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：18. 下面a，b的取值，能够说明命题“若ab，则|a|b|”是假命题的是（）A. a3，b2B. a3，b2C. a3，b5D. a3，b59. 如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（）A 8B. 9C. 10D. 12
3、10. 如图，在中，D为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（ ）A. B. 5C. 5D. 8二、填空：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 函数中，自变量的取值范围是_12. 2020年4月11日中国向蒙古国紧急援助490000只口罩，表达了中国人民愿同蒙古国携手抗疫、共克时艰的决心和信心把490000用科学记数法表示为_13. 分解因式：_14. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_cm215. 如果，那么代数式的值是 _16. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素如图，
4、赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB已知坡AB的长为30m，坡角约为37，则坡AB的铅直高度AH约为_m（参考数据：，）17. 抛物线（，是常数且，）经过点下列四个结论：该抛物线一定经过；点，在抛物线上，且，则若，是方程的两个根，其中，则其中正确的结论是_（填写序号）18. 在矩形中，点P是矩形边上一点，连接，将分别沿翻折，得到，当三点共线时，则称P为边上“优叠点”（如图1）（1）若，则此时的长度为_；（2）如图2，若将矩形置于平面直角坐标系中，点A在原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是和边上动点，运动过程中始终保持当点P是边上唯一的“优叠点”时，连接交于点M，连接交于点N，则的最大
5、值为_ 三、解答题：（本大题共10小题，共96分）19. 计算：（1）； （2）20. （1） 解方程： （2）解不等式组：21. 如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC=_22. 为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 ；m= ；并把图2条形
6、统计图补充完整；（2）图1中的度数是 ，（3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？23. 甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E，从中随机选取景点游览，（1）若选取1个景点，则恰好在甲城市的概率为 ；（2）若选取2个景点，求出恰好在同一个城市的概率（用树状图或列表的方式分析）24. 在中，（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，则的长为 （在备用图中分析）25. 如图，为的直径，为上不同于，的两点，过
7、点作的切线交直线于点，直线于点（1）求证：；（2）连接，若，且，求的半径26. 某商品的进价是每件40元，原售价每件60元进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价（元/件）60616263利润（元）6000609061606210（1）当售价为每件60元时，当天可售出_件；当售价为每件61元时，当天可售出_件（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：_如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元？27. 如图，抛物线与x轴交于点 （1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛
8、物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由28. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s），连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，设PCD的面积为y（cm2），y与t之间的函数关系如图所示（1）AB cm，AD cm；（2）当t为何值时，DEF的面积最小？请求出这个最小值；（3）当t为何值时，DEF为等腰三角形？请简要说明理由2023年江苏省无锡市惠山区中考三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，
9、共30分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解即可【详解】解：的相反数是4，故选D【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知相反数的定义是解题的关键，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是02. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；D、不是中心对称图
10、形，也不是轴对称图形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则分别计算各项后即可解答【详解】选项A、2a+3a5a，故此选项正确；选项B、 和不是同类项，不能合并，故此选项错误；选项C、，故此选项错误；选项D、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错
11、误故选A【点睛】本题考查了合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则，熟练运用法则进行计算是解决问题的关键4. 若正多边形的一个外角的度数为45，则这个正多边形是（ ）A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形【答案】C【解析】【分析】正多边形的外角和是360，这个正多边形的每个外角相等，因而用360除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数【详解】解：这个正多边形的边数：36045=8故选：C【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键5. 在九年级体育中考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试
12、成绩如下（单位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45则这组数据的中位数为（ ）A. 48B. 47C. 46D. 45【答案】D【解析】【分析】把这组数据按大小排列，中间第4、5两个数的平均数即可为所求的中位线【详解】解：把这组数据按大小排列后，中间第4、5两个数为45、45，则其平均数也为45，这组数据的中位数为：45；故选：D【点睛】本题考查了求中位数，注意，当数据个数是偶数时，中位数是按大小排列后中间两个数的平均数6. 如图，将绕点A逆时针旋转一定的度数，得到若点D在线段的延长线上，若则旋转的度数为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由旋转的性质得
13、到，再根据等腰三角形的性质解答即可【详解】解：由旋转的性质可知，故旋转的度数为，故选B【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（ ）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】【分析】根据题意可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16故选：B
14、8. 下面a，b的取值，能够说明命题“若ab，则|a|b|”是假命题的是（）A. a3，b2B. a3，b2C. a3，b5D. a3，b5【答案】C【解析】【分析】命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可【详解】解：当a3，b5时，ab，而|a|b|，所以能够说明命题“若ab，则|a|b|”是假命题的是a3，b5，故选：C【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理9. 如图，已知点，C
15、是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G，则四边形为矩形；由两个角平分线条件及三角形外角性质可得，则可证明，可得；再证明，则可得四边形为正方形；设，则，由，即可求得a的值，从而得点D的坐标，最后求得k的值【详解】解：如图，过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G， 四边形为矩形，；平分，平分，；，即，由勾股定理得：，；， ，四边形为正方形；设，则，解得：，；点D在的图象上，；故选：B【点睛】本
16、题是反比例函数的综合，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，求反比例函数的解析式等知识，构造适当的辅助线证明全等三角形是解题的关键10. 如图，在中，D为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（ ）A. B. 5C. 5D. 8【答案】A【解析】【分析】连接，证明，即可求得，进而求得，再由勾股定理即可求得结果【详解】解：如图，连接，且；点O为正方形的对称中心，且，；在中，由勾股定理得：，又四边形是正方形，故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线证明三角形相似
17、是解题的关键二、填空：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 函数中，自变量的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x20，解得答案【详解】根据题意得x20，解得：x2；故答案为：x2【点睛】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为012. 2020年4月11日中国向蒙古国紧急援助490000只口罩，表达了中国人民愿同蒙古国携手抗疫、共克时艰的决心和信心把490000用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1|a|10，n为正整数，确定n的值时，
18、要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，进而求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1|a|10，n为正整数，正确确定a与n的值是解题的关键13. 分解因式：_【答案】【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式，故答案为：14. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_cm2【答案】18【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长2【详解】底面周长=6，圆锥的侧面积=66=18cm2故答案为：18考点：圆锥的侧面积15. 如果，那么代数式的值是 _【答案】【解析】【
19、分析】把条件与所求代数式分别变形后，利用整体代入法即可求解【详解】解：由，得，；故答案为：【点睛】本题考查了求代数式的值，注意整体思想应用16. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB已知坡AB的长为30m，坡角约为37，则坡AB的铅直高度AH约为_m（参考数据：，）【答案】18【解析】分析】由结合再解方程即可.【详解】解：由题意得： m，故答案为：18【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键.17. 抛物线（，是常数且，）经过点下列四个结论：该抛物线一定经过
20、；点，在抛物线上，且，则若，是方程的两个根，其中，则其中正确的结论是_（填写序号）【答案】【解析】【分析】：根据函数图象经过点的意义，只要得到即可；：由得，结合判断出的正负即可；：特值法，取时也符合题意，从而可得到结论；：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断【详解】解： 抛物线经过点，当时，该抛物线一定经过，故此项正确由得：，故此项正确抛物线的对称轴为直线，当时，也符合题意与矛盾，故此项错误，是方程的两个根，是抛物线与直线交点的横坐标，如图：由图得：故此项正确故答案：【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键18. 在矩形中，点P是矩
21、形边上一点，连接，将分别沿翻折，得到，当三点共线时，则称P为边上的“优叠点”（如图1）（1）若，则此时的长度为_；（2）如图2，若将矩形置于平面直角坐标系中，点A在原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是和边上的动点，运动过程中始终保持当点P是边上唯一的“优叠点”时，连接交于点M，连接交于点N，则的最大值为_ 【答案】 . 4 . 【解析】【分析】（1）由题意可得，设，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由（1）知，则当点P是边上唯一的“优叠点”时，以为直径的与相切，此时点P为的中点；从而易得四边形、四边形都是正方形，则可得；证明，则得；过点P作于点T，取的中点J，连接，则，从而当最小
22、时，最大，此时重合；由可求得的长，从而求得的最大值【详解】解：（1）四边形是矩形，；点P为边上的“优叠点”，即；设，则，分别在中，由勾股定理得：，解得：；故答案为：4；（2）作以为直径的，如图，当与相切于点P时，点P为边上的唯一“优叠点”，四边形为矩形，点P为的中点，四边形、四边形都是正方形，；，又，；过点P作于点T，取中点J，连接，则，即；由勾股定理得，当最小时，最大，此时重合；，的最大值为故答案为：【点睛】本题是四边形的综合，考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，圆的相切等知识，解题的关键是求出最大时，点T与G重合三、解
23、答题：（本大题共10小题，共96分）19. 计算：（1）； （2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)分别是按照实数的运算求出即可(2)分别代入合并即可【详解】解：（1）原式（2）原式【点睛】本题属于实数和整式的化简问题，关键在于熟悉公式和正确运用公式20. （1） 解方程： （2）解不等式组：【答案】（1）原方程无解；（2）【解析】【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行即可，最后要检验；（2）分别求出每个不等式的解集，再求出各解集的公共部分即可【详解】（1）方程两边同乘得：，解得：， 经检验,，是增根，原方程无解；（2）由得，；由得，；【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组
24、，熟悉它们解法步骤是关键注意解分式方程一定要检验21. 如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC=_【答案】（1）证明见解析；（2）75【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得B=ACF，然后利用SAS证明ABEACF即可；（2）根据ABEACF，可得CAF=BAE=30，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得ADC的度数【详解】证明：（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，A
25、DC=ACD，ADC=75，故答案为:75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键22. 为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 ；m= ；并把图2条形统计图补充完整；（2）图1中的度数是 ，（3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？【答案】（1）40；
26、20；把图2条形统计图补充完整见解析 （2）144 （3）不及格人数是225名【解析】【分析】（1）根据B级学生数及所占百分比即可求得抽取的测试学生人数，从而可求得C级学生人数，进而求得m的值，最后可补充完整条形统计图；（2）求出A级所占的百分比，即可求得扇形的圆心角度数；（3）由D级的占比，利用样本估计总体的思想即可求得【小问1详解】解：本次抽样测试的学生人数是（人），C级学生人数为：（人），则，补充的条形统计图如下：故答案为：40；20；【小问2详解】解：，故答案为：144；【小问3详解】解：（名），即不及格人数是225名【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本百分比估
27、计总体数量，等知识，读懂统计图并从中获取有用的信息是解题的关键23. 甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E，从中随机选取景点游览，（1）若选取1个景点，则恰好在甲城市概率为 ；（2）若选取2个景点，求出恰好在同一个城市的概率（用树状图或列表的方式分析）【答案】（1） （2）恰好在同一个城市的概率为；用树状图或列表的方式分析见解析【解析】【分析】（1）所有可能的结果数为5，选取的1个景点恰好在甲城市的结果数为2，由概率公式即可求解；（2）先画出树状图或列表，则由概率计算公式即可求解【小问1详解】解：所有可能的结果数为5，选取的1个景点恰好在甲城市的结果数为2，选取1个景点，则恰好在
28、甲城市的概率为；故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：ABCDEAABACADAEBABBCBDBECACBCCDCEDADBDCDDEEAEBECEDE由表知，所有可能的结果数为20，选取的2个景点恰好在同一城市的结果数为8，选取2个景点，则恰好在同一城市的概率为【点睛】本题考查了求概率，运用树状图或列表求概率是本题的关键与难点24. 在中，（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，则的长为 （在备用图中分析）【答案】（1）作图见解析 （2）2或3【解析】【
29、分析】（1）作的平分线；作的垂直平分线交于O点，再在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，则；（2）过E作于N，得，设，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，解方程即可求得结果【小问1详解】解：作的平分线，则l上的各点到两边的距离相等；作的垂直平分线交于O点，以O为圆心，在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，连接交于点E，则；【小问2详解】解：如图，过E作于N，则，；设，则，由勾股定理得，而,，即，解得：，或，或，即或3故答案为：2或3【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键25. 如图，为的直径，为上不同于
30、，的两点，过点作的切线交直线于点，直线于点（1）求证：；（2）连接，若，且，求的半径【答案】（1）见解析；（2）直径为3【解析】【分析】（1）连接，等腰的一个外角等于，由垂直证明两直线平行，从而证明=，从而得证（2）先证，设半径，由相似线段成比例关系，解方程即可求得半径【详解】（1）证明：连接，是的切线，又，.（2）为的直径，解得，直径为3.【点睛】本题考查圆的综合题，考查了圆的性质，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答，形成数学解题能力, 熟练掌握并运用知识是解题的关键26. 某商品的进价是每件40元，原售价每件60元进行不同程度的涨价后
31、，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价（元/件）60616263利润（元）6000609061606210（1）当售价为每件60元时，当天可售出_件；当售价为每件61元时，当天可售出_件（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：_如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元？【答案】（1）300；290 （2）；当定价为63，64，65，66，67，都能使当天的销售利润不低于6200元【解析】【分析】（1）根据总利润除以一件的利润即可得销售数量；（2）由表格易得：每涨价1元，销量减少10
32、件，由此可得y与x之间满足的函数表达式；根据中所得的关系式列出不等式，利用二次函数与x轴交点解不等式即可【小问1详解】解：当售价为每件60元时，当天可售出：（件）；当售价为每件61元时，当天可售出：（件）；故答案为：300；290；【小问2详解】当售价为每件62元时，当天可售出：（件）；当售价为每件63元时，当天可售出：（件）；由此可得：每涨价1元，销量减少10件，；故答案为：由题意得：，即，考虑二次函数，令，即，解得：，不等式的解集为：， x为正整数解，3，4，5，6，7 故当定价为63，64，65，66，67，都能使当天的销售利润不低于6200元【点睛】本题考查了二次函数与不等式的实际应用
33、，解题的难点在于确定每涨价1元销量减少的数量27. 如图，抛物线与x轴交于点 （1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，或【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式中，求出b即可；（2）求出点B的坐标，求出直线的解析式，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F；设点C的坐标后，则由相似三角形的性质，可表示出点D的坐标，由点D在抛物线上，则可求得点D的坐标；（3）存在；由定边定角知，作的外接圆，连接，过M作轴
34、于N，则可得是等腰直角三角形，垂直平分，从而可求得M的坐标及圆的半径；设点P的坐标，由建立方程，即可求得点P的坐标【小问1详解】解：把点A的坐标代入函数解析式中，解得：，故所求的解析式为；【小问2详解】解：点B在抛物线，即；设直线解析式为为，则有，解得：，直线解析式为为；过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，设，则；，则，；点D在抛物线上，解得：，则点D的坐标为； 【小问3详解】解：存在；如图，作的外接圆，连接，过M作轴于N，是等腰直角三角形，垂直平分，M的坐标为，的半径；设点P的坐标为，则，即，由于，方程整理得：，解得：，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数
35、法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，运用了方程思想，综合运用这些知识是解题的关键28. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s），连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，设PCD的面积为y（cm2），y与t之间的函数关系如图所示（1）AB cm，AD cm；（2）当t为何值时，DEF的面积最小？请求出这个最小值；（3）当t为何值时，DEF为等腰三角形？请简要说明理由【答案】（1）2，5；（2）当t为4时，DEF的面积最小，且最小值为；（3）当t1s或3s或4s时，DEF为
36、等腰三角形理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图三角形PCD的面积，可得矩形的长和宽；（2）由题意得：AP=t，PD=5-t，根据三角形面积公式可得y与t的关系式，由图得：，代入可得结论；（3）当DEF为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD和AP的长，可得t的值【详解】解：（1）由图知：AD5，当t0时，P与A重合，y5，5，CD2cm，四边形ABCD是矩形，ABCD2cm，故答案为2，5；（2）由题意得：APt，PD5t，yCDPD5t，四边形EFPC是正方形，SDEF+SPDCS正方形EFPC，PC2PD2+CD2，PC222+（5t）2t210t+29，SDE
37、F（t210t+29）（5t），当t为4时，DEF的面积最小，且最小值为；（3）当DEF为等腰三角形时，分三种情况：当FDFE时，如下图所示，过F作FGAD于G，四边形EFPC是正方形，PFEFPC，FPC90，PFFD，FGPD，PGDGPD，FPG+CPDCPD+DCP90，FPGDCP，FGPPDC90，FPGPDC（AAS），PGDC2，PD4，AP541，即t1；当DEDF时，如下图所示，E在AD的延长线上，此时正方形EFPC是正方形，PDCD2APt523当DEEF时，如下图所示，过E作EGCD于G，FEDECD，CGDGCD1，同理得：PDCCGE（AAS），PDCG1，APt514，综上，当t1s或3s或4s时，DEF为等腰三角形【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中