1、2023年山东省菏泽市定陶区中考二模数学试题一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）1. 下列运算正确的是 （ ）A B. C. D. 2. 三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）A. B. C. D. 3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一它作为食品和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为 kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为A. kgB. kgC. kgD. kg4. 如图，已知直线，直角三角形顶点C在直线b上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数
2、中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在 中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，则的长度为（ ）A. 3B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，则图中阴影部分面积为（ ）A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，则的取值范围是（ ）A. 或B. C 或D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）9. 若一个角的补角等于它的余角的4倍，则这个角的
3、度数是_10. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为115号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_11. 方程的解是_12. 李文跟朋友说：“你随便想一个数，按我说的计算，我都知道计算结果”王婷说：“别吹牛，我来试试!”于是李文说：“你想好一个数了吗？开始! 把你想的数加4，再把和乘以3，再用你得到的积减去你想的数的3倍，最后用你得到的差除以2你计算完了吗？”请你也算一 算，这个计算结果是_13. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则_14. 如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的 圆心角所对的
4、弧组成的其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为弧、弧、弧、弧的圆心依次按点循环，则弧的长是_（结果保留） 三、解答题（本大题共10个小题，共78分解答应写出文字说明、证明或演算步骤）15. 计算：16. 解不等式组，并写出它的所有整数解17. 矩形和矩形有公共顶点A和，、相交于点，、相交于点求证：18. 黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t（小时），A：t1，B：1t1.5，C：1.5t2，D：t2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整
5、的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？（3）表示B等级的扇形圆心角的度数是多少？（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率19. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为测得在点的仰角，测得在点的仰角求银幕的高度（参考数据：，）20. 如 图 ，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，
6、过点B作交的延长线于点C，垂足为点F（1）求证：；（2）若，求的长21. 某 校 计 划 购 买两种型号教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台（1）求型仪器单价分别是多少元；（2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）连接，求的面积；（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转
7、，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标23. 如图，和的顶点重合，（1）如图1，当点，分别在，上时，得出结论： ；直线与直线的位置关系是 ；（2）如图2，将图1中绕点顺时针旋转一周的过程中，连接，其所在直线相交于点（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由当的长度最大时，求线段的长度24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点，直线与x轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）正比例函数的图象分别与线段，直线交于点D，E，当与相似时，求线段的长度；（3）如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点F，G，使B
8、，F，G，P为顶点的四边形是以为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由2023年山东省菏泽市定陶区中考二模数学试题一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）1. 下列运算正确的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据运算法则对每个选项进行计算即可判断出结论【详解】A、，此选项错误，故选项A不符合题意；B、，此选项正确，故选项B符合题意；C、，此选项错误，故选项C不符合题意；D、，此选项错误，故选项D不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质，特别是积的乘方的运算法则是解题的关键2. 三根等高的木杆竖直
9、立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可【详解】解：A在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；B在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；C在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；D在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误故选：B【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形
10、成的影子就是平行投影3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一它作为食品和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为 kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为A. kgB. kgC. kgD. kg【答案】B【解析】【分析】利用科学记数法的表示方法进行表示即可.【详解】解：100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为kg，故选：B.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数.一般形式为a10-n，其中1|a|10，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数4. 如图，已知直线，直角三角形顶点C在直线b上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
11、分析】根据平行线的性质得到，再由计算即可得出答案【详解】 ，故选A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行同位角相等是解题的关键5. 下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别对各项的函数解析式进行分析判断即可【详解】解：A、为反比例函数，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，故选项错误；B：为一次函数，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C：为反比例函数，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D、为一次函数，函数值随自变
12、量的值增大而增大，故选项正确；故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关概念是解题关键6. 如图，在 中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，则的长度为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据作图可知：，由已知条件可得，最后由勾股定理计算可得长【详解】解：根据作图可知：，故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键7. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，则图中
13、阴影部分面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论【详解】解：连接，是直径，根据同弧对的圆周角相等得，即圆的半径为2，故选C【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，则的取值范围是（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可【详解】解：二次函数，对称轴为，抛物线与轴
14、的交点为，点是该函数图象上一点，当时，当时，对称轴，此时，当时，即，解得；当时，对称轴，当时，随增大而减小，则当时，恒成立；综上，的取值范围是：或故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）9. 若一个角的补角等于它的余角的4倍，则这个角的度数是_【答案】#60度【解析】【分析】利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的4倍”作为相等关系列方程求解即可【详解】解：设这个角为x，则它的补角为，余角为，由题意得：，解得：即这个角的度数为故答案为：【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用解此题的关键是能准确的从题
15、中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为10. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为115号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_【答案】【解析】【分析】根据概率公式求解即可【详解】解：由题意可知：编号为115号台球中偶数球的个数为7个，摸出的球编号为偶数的概率，故答案为：【点睛】本题考查概率公式，解题关键是掌握利用概率的定义求事件概率的方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率11. 方程的解是_【答案】
16、【解析】【分析】两边同时平方，然后解方程即可【详解】解：两边平方得：，解方程得：，检验：当时，方程的左边右边，为原方程的根当时，原方程无意义，故舍去故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及一元二次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键12. 李文跟朋友说：“你随便想一个数，按我说的计算，我都知道计算结果”王婷说：“别吹牛，我来试试!”于是李文说：“你想好一个数了吗？开始! 把你想的数加4，再把和乘以3，再用你得到的积减去你想的数的3倍，最后用你得到的差除以2你计算完了吗？”请你也算一 算，这个计算结果是_【答案】6【解析】【分析】根据题意列出代数式，然后进行化简即可【详解】设王婷
17、想好的数是，由题意得，故答案是6【点睛】本题主要考查了列代数式和整式的化简，正确理解题意列出代数式是解题的关键13. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则_【答案】2【解析】【分析】由，且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得【详解】解：、，且为边中线，将沿边上的中线平移得到，则，即，解得或（舍），故答案为：2【点睛】本题考查了平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键14. 如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的 圆心角所
18、对的弧组成的其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为弧、弧、弧、弧的圆心依次按点循环，则弧的长是_（结果保留） 【答案】【解析】【分析】先分别求出弧、弧、弧的半径，再归纳类推出一般规律，然后利用弧长公式计算即可得【详解】解：由题意得：弧的半径，弧的半径，弧的半径，归纳类推得：弧的半径（为正整数），则弧的长为，故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式，正确规律类推出一般规律是解题关键三、解答题（本大题共10个小题，共78分解答应写出文字说明、证明或演算步骤）15. 计算：【答案】【解析】【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指
19、数幂进行计算即可求解【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键16. 解不等式组，并写出它的所有整数解【答案】；整数解为：1，0，1【解析】【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集【详解】解不等式得解不等式得不等式组解集为整数解为1，0，1【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键17. 矩形和矩形有公共顶点A和，、相交于点，、相交于点求证：【答案】见解析【解析】【分析】根据四边形与四边形都是矩形得到，即可得到四边形是
20、平行四边形，得到，结合矩形性质即可得证明；【详解】四边形与四边形都是矩形，四边形是平行四边形，四边形与四边形都是矩形，在与中，【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形判定与性质，三角形全等的判定，解题的关键是根据矩形性质得到四边形是平行四边形18. 黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t（小时），A：t1，B：1t1.5，C：1.5t2，D：t2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；（2）本次抽
21、样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？（3）表示B等级的扇形圆心角的度数是多少？（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率【答案】（1）200；（2）C；（3）54；（4）【解析】【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数；求出C的人数从而补全统计图；（2）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；（3）用B的人数除以总人数再乘以360，
22、即可得到圆心角的度数；（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可【详解】（1）共调查的中学生数是：8040%=200（人），C类的人数是：200608020=40（人），如图1：（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内；（3）根据题意得：=360=54；（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3，画树状图为：一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，P（2人来自不同班级）=【点睛】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；中位数19. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为
23、，垂直高度都为测得在点的仰角，测得在点的仰角求银幕的高度（参考数据：，）【答案】5.1m【解析】【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得 ，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案【详解】解：延长，交于、，由题意知，在中，即，在中，即，又， 解得，答：银幕的高度为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数的含义求解三角形的边长是解题的关键20. 如 图 ，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）连接，根据圆切线的性质，推出，得到，进而得到，
24、再利用等角对等边的性质即可证明结论；（2）连接，根据圆的直径所对的圆周角是直角，得到，再根据正弦函数值，求出，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证明，即可求出的长【小问1详解】证明：如图1，连接，是的切线，；【小问2详解】解：如图2，连接，是的直径，【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键21. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台（1）求型仪器单价分别是多少元；（2）该校需购买
25、两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用【答案】（1）每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元 （2）A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元【解析】【分析】（1）设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据“用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台”列分式方程即可求解；（2）设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意列不等式，求解即可.【小问1详解】解：设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据题意得，解得经检验，是原方程
26、的解，答：每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元；【小问2详解】解：设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意得，解得当时，总费用（元）答：A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）连接，求的面积；（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标【答案】（1）；
27、（2）4 （3）点E的坐标为【解析】【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；（2）利用的面积，即可求解；（3）设点，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.【小问1详解】解：将代入反比例函数，解得，将代入，得，将，点代入，解得，；【小问2详解】解：设一次函数与x轴交于点D，xx令，则，令，则，的面积；【小问3详解】解：设点，又，由旋转知：为等腰直角三角形，解得，.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题也考查了等腰直角三角形的性质利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的
28、关键23. 如图，和的顶点重合，（1）如图1，当点，分别在，上时，得出结论： ；直线与直线的位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转一周的过程中，连接，其所在直线相交于点（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由当的长度最大时，求线段的长度【答案】（1）； （2）成立，理由见解析；的长为：或【解析】【分析】（1）解直角三角形求出，可得结论；（2）结论不变，证明，推出，可得结论；分两种情况讨论：如图，当在的左边时，由三角形三边关系可得：，当共线时，如图，此时重合，最大，由可知：将图1中的绕点顺时针旋转一周的过程中，都有，成立，在中，设，则，由勾股定理可得：，当在的
29、右边时，如图，同理可得：，再解方程可得答案【小问1详解】解：在中，在中，直线与直线的夹角：，直线与直线的位置关系是：垂直故答案为：；垂直【小问2详解】解：（1）中的结论仍然成立理由：和的顶点重合，；：如图，当在的左边时，由三角形三边关系可得：，当共线时，如图，此时重合，最大，如图，由可知：将图1中的绕点顺时针旋转一周的过程中，都有，成立，在中，设，则，而，同理可得：，由勾股定理可得：，解得：（负根舍去），当在的右边时，如图，同理可得：，解得：（负根舍去），综上：的长为：或【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
30、构造直角三角形解决问题24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点，直线与x轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）正比例函数的图象分别与线段，直线交于点D，E，当与相似时，求线段的长度；（3）如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或【解析】【分析】（1）将、代入抛物线解析式，利用待定系数法即可得到答案；（2）由勾股定理求出，再根据相似性质，得到，利用三角形的面积公式即可得到答案；（3）先求出抛物线与轴
31、的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，分两种情况讨论：以为一边的矩形是矩形；以为一边的矩形是矩形，利用相似三角形的性质推出点G的坐标，利用矩形对角线互相平分的性质，根据坐标中点列出方程组，求出的值，即可得出答案【小问1详解】解：抛物线经过，两点，解得，该抛物线的解析式；【小问2详解】解：、，在中，与相似，;【小问3详解】解：存在，点的坐标为或，抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线与轴的另一个交点坐标为即为，点F在线段上，点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，设点的坐标为，点的坐标为，如图，当以为一边的矩形是矩形时，则，点G在直线上，矩形的对角线互相平分，整理得：,解得：或，当时，符合题意，当时，不符题意，舍去，则此时点的坐标为，如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，则，同理可证：，矩形的对角线互相平分，整理得：，解得：或（不符题意，舍去），当时，符合题意，则此时点的坐标为，综上所述，存在这样的点，点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题，找出相似三角形是解题关键