1、2017 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1如图，双曲线 y= 的一个分支为（ ）A B C D2关于 x 的一元二次方程（a1）x 2+x+|a|1=0 的一个根是 0，则实数 a 的值为（ ）A1 B0 C1 D1 或 13如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）A = B = C = D =4已知在 RtABC 中，C=90，sinA= ，则 tanB 的值为（ ）A B C D5函数 y=x2+1 的图象大致为（ ）A B C D6抛物线 y=2（x3） 2 的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 Cx
2、 轴上 Dy 轴上7如图，AB 为O 直径，CD 为弦，ABCD，如果BOC=70，那么A 的度数为（ ）A70 B35 C30 D208把抛物线 y=2x2+4x+1 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）Ay=2（x1） 2+6 By=2（x 1） 26 Cy=2（x+1） 2+6 Dy=2（x+1） 269从 1，2，3 三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）A0 B C D110如图所示的几何体的左视图是（ ）A B C D11关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A1 或 5 B1
3、C5 D112如图，已知ABC 和 ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F，AB=9，BD=3，则 CF 等于（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13如图，点 P 在反比例函数 y= 的图象上，且 PDx 轴于点 D若POD的面积为 3，则 k 的值是 14在 RtABC，若 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，AD=3 ，CD=4 ，则BC= 15如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高 CD 为 米16若抛物线 y=x22x3 与 x 轴分别交于
4、A，B 两点，则 A，B 的坐标为 17若代数式 x28x+12 的值是 21，则 x 的值是 18在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2）延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 1 个正方形A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第 2 个正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 2016 个正方形的面积是 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）19关于 x 的一元二次方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；（2）请选择一个整数 k 值，使方程的两
5、根同号，并求出方程的根20计算： sin604cos230+sin45tan60+（ ） 2四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）21如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长 CD=6m，坡角到楼房的距离 CB=8m在 D 点处观察点 A 的仰角为 60，已知坡角为 30，你能求出楼房 AB 的高度吗？22为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张浪费” 主题活动的参与情况小强在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查将调查内容分为四组：A饭和菜全部吃完； B有剩饭但菜吃完；C饭吃完但菜有剩；D
6、饭和菜都有剩根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图回答下列问题：（1）这次被抽查的学生共有 人，扇形统计图中，“B 组” 所对应的圆心角的度数为 ；（2）补全条形统计图；（3）已知该中学共有学生 2500 人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若按平均每人剩 10 克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）23如图，OA 和 OB 是O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点，BP的延长线交O 于 Q，过 Q 的O 的切线交 OA 的延长线于 R求证：RP=RQ24某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试
7、营销阶段发现：当销售单价 25 元/件时，每天的销售量是 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每件文具的利润不低于为 25 元且不高于 29 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）25已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 A
8、，经过点 B（0，3）和点（2，3），与x 轴交于 C，D 两点，（点 C 在点 D 的左侧），且 OD=OB（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接 AB，BD，DA，试判断ABD 的形状；（3）点 P 是 BD 上方抛物线上的动点，当 P 运动到什么位置时，BPD 的面积最大？求出此时点 P 的坐标及 BPD 的面积26如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交于点 E、F ，过点 B 作PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接BC，AF（1）求证：直线 PA 为O 的切线；（2）试探究线段 EF、OD、OP 之间的等量关系，并加以证明；
9、（3）若 BC=6，tanF= ，求 cosACB 的值和线段 PE 的长2017 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1如图，双曲线 y= 的一个分支为（ ）A B C D【考点】反比例函数的图象【分析】此题可直接根据反比例函数的图象性质作答【解答】解：在 y= 中，k=8 0，它的两个分支分别位于第一、三象限，排除；又当 x=2 时， y=4，排除 ；所以应该是故选 D2关于 x 的一元二次方程（a1）x 2+x+|a|1=0 的一个根是 0，则实数 a 的值为（ ）A1 B0 C1 D1 或 1【考
10、点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义【分析】先把 x=0 代入方程求出 a 的值，然后根据二次项系数不能为 0，把 a=1舍去【解答】解：把 x=0 代入方程得：|a|1=0，a=1，a10，a=1 故选：A3如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）A = B = C = D =【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形【解答】解：根据题意，可得ADEABC，根据相似三角形对应边成比例，可知 B 不正确，因为 AE 与 EC 不是对应边，所以 B 不成立故选 B4已知在 RtABC 中，C=90，sinA=
11、 ，则 tanB 的值为（ ）A B C D【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解【解答】解：解法 1：利用三角函数的定义及勾股定理求解在 RtABC 中，C=90，sinA= ，tanB= 和 a2+b2=c2sinA= ，设 a=3x，则 c=5x，结合 a2+b2=c2 得 b=4xtanB= 故选 A解法 2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解A、B 互为余角，cosB=sin（ 90B）=sinA= 又sin 2B+cos2B=1，sinB= = ，tanB= = = 故选 A5函数 y
12、=x2+1 的图象大致为（ ）A B C D【考点】二次函数的图象【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和 y 轴的交点可得相关图象【解答】解：二次项系数 a0，开口方向向下，一次项系数 b=0，对称轴为 y 轴，常数项 c=1，图象与 y 轴交于（0，1），故选 B6抛物线 y=2（x3） 2 的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 Cx 轴上 Dy 轴上【考点】二次函数的性质【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（xh） 2+k（a0，且a，h，k 是常数），它的对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k）【解答】解：函数 y=2（x3） 2 的顶点为（3，0 ），顶点在 x 轴上故选
13、C7如图，AB 为O 直径，CD 为弦，ABCD，如果BOC=70，那么A 的度数为（ ）A70 B35 C30 D20【考点】圆周角定理；垂径定理【分析】由于直径 ABCD，由垂径定理知 B 是 的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得A 的度数 www-2-1-cnjy-com【解答】解：直径 ABCD，B 是 的中点；A= BOC=35 ；故选 B8把抛物线 y=2x2+4x+1 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）Ay=2（x1） 2+6 By=2（x 1） 26 Cy=2（x+1） 2+6 Dy=2（x+1） 26【考点
14、】二次函数图象与几何变换【分析】抛物线平移不改变 a 的值【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到新抛物线的顶点坐标为（1，6）可设新抛物线的解析式为：y=2（xh） 2+k，代入得： y=2（x+1） 2+6故选 C9从 1，2，3 三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）A0 B C D1【考点】列表法与树状图法【分析】列举出所有情况，看积是正数的情况数占总情况数的多少即可【解答】解：共有 6 种情况，积是正数的有 2 种情况，故概率为 ，故选：B 10如图所示的几何体的左视图是（ ）A B C D【考点】简单组合体的三视图【
15、分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是两个有公共角的三角形，故选：B 11关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A1 或 5 B1 C5 D1【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】设方程的两根为 x1，x 2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x 1x2=2a，由于 x12+x22=5，变形得到（x 1+x2） 22x1x2=5，则a24a5=0，然后解方程，满足0 的 a 的值为所求【解答】解：设方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2=a，x 1x2=2a，x 12+x22=5，（x 1+x2） 22x1x2
16、=5，a 24a5=0，a 1=5，a 2=1，=a 28a0，a=1 故选：D12如图，已知ABC 和 ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F，AB=9，BD=3，则 CF 等于（ ）A1 B2 C3 D4【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF ，CD：CF=AE：EF ，可得 CF=2【解答】解：如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，B=BAC=60，E= EAD=60，B=E ，BAD=EAF，ABDAEF，AB：BD=AE：EF 同理：CDFEAF，CD：CF=AE：EF，AB：B
17、D=CD ：CF，即 9：3= （93）：CF，CF=2故选：B 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13如图，点 P 在反比例函数 y= 的图象上，且 PDx 轴于点 D若POD的面积为 3，则 k 的值是 6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】根据反比例函数比例系数 k 的几何意义即可直接求解【解答】解：S POD = |k|=3，又k0，k=6故答案是：614在 RtABC，若 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，AD=3 ，CD=4 ，则BC= 【考点】射影定理【分析】根据射影定理求出 BD 的长，再根据射影定理计算即可【解答】解：如图所示
18、：CD 是 RtABC 斜边 CD 上的高，CD 2=ADDB，则 16=3BD故 BD= ，可得 AB=AD+BD= ，BC 2=BDBA= ，BC= ，故答案为： 15如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高 CD 为 8 米【考点】垂径定理的应用【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算【解答】解：因为跨度 AB=24m，拱所在圆半径为 13m，延长 CD 到 O，使得 OC=OA，则 O 为圆心，则 AD= AB=12（米），则 OA=13 米，在 Rt AOD 中，DO= =5，进而得拱高 CD=CODO=135=8 米故
19、答案为：816若抛物线 y=x22x3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，则 A，B 的坐标为 （1，0），（3，0） 【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】根据抛物线与 x 轴的交点问题，通过解方程 x22x3=0 可得到 A、B 的坐标【解答】解：当 y=0 时，x 22x3=0，解得 x1=1，x 2=3，所以抛物线 y=x22x3 与 x 轴的两点坐标为（1，0），（3，0），即 A，B 的坐标为（1，0 ），（3，0）故答案为（1，0），（3 ，0）17若代数式 x28x+12 的值是 21，则 x 的值是 9 或 1 【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】由题意得方程 x28x+
20、12=21，整理得 x28x9=0，然后利用因式分解法解方程即可得到 x 的值【解答】解：根据题意得 x28x+12=21，整理得 x28x9=0，（x9）（x+1）=0，x9=0 或 x+1=0，所以 x1=9，x 2=1故答案为 9 或118在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2）延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 1 个正方形A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第 2 个正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 2016 个正方形的面积是 5（ ） 4030 【考点】正方形的性质；坐标与
21、图形性质【分析】先利用勾股定理求出 AB=BC=AD，再用三角形相似得出A1B= ，A 2B2=（ ） 2 ，找出规律 A2015B2015=（ ） 2015 ，即可【解答】解：点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2），OA=1，OD=2，BC=AB=AD=正方形 ABCD，正方形 A1B1C1C，OAD+A 1AB=90，ADO+OAD=90 ，A 1AB= ADO，AOD=A 1BA=90，AODA 1BA， ， ，A 1B= ，A 1B1=A1C=A1B+BC= ，同理可得，A 2B2= =（ ） 2 ，同理可得，A 3B3=（ ） 3 ，同理可得，A 2015B2015=
22、（ ） 2015 ，S 第 2016 个正方形的面积 =S 正方形 C2015C2015B2015A2015=（ ） 2015 2=5（ ） 4030，故答案为 5（ ） 4030三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）19关于 x 的一元二次方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；（2）请选择一个整数 k 值，使方程的两根同号，并求出方程的根【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式即可得出=9+4k0，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系结合方程两根同号即可得出 k=2 或 1，取 k=2，利用分解因式法
23、解一元二次方程即可得出结论【解答】解：（1）方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根，=（ 3） 2+4k=9+4k0，解得：k （2）方程的两根同号，k0，k=2 或1当 k=2 时，原方程为 x23x+2=（x 1）（x2）=0，解得：x 1=1， x2=220计算： sin604cos230+sin45tan60+（ ） 2【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式= 4 + +4= +1四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）21如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张
24、发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长 CD=6m，坡角到楼房的距离 CB=8m在 D 点处观察点 A 的仰角为 60，已知坡角为 30，你能求出楼房 AB 的高度吗？【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用 坡度坡角问题【分析】作 DHAB 于 H，根据正弦、余弦的定义求出 DE、CE，根据正切的概念求出 AH，计算即可【解答】解：作 DHAB 于 H，在 Rt CDE 中，DE= CD=3，CE= CD=3 ，BE=3 +8，在 Rt ADH 中，AH=DHtanADH=9 +8 ，AB=AH+BH=12+8 ，答：楼房 AB 的高度为（12+8 ）米2
25、2为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张浪费” 主题活动的参与情况小强在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查将调查内容分为四组：A饭和菜全部吃完； B有剩饭但菜吃完；C饭吃完但菜有剩；D饭和菜都有剩根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图21cnjy回答下列问题：（1）这次被抽查的学生共有 120 人，扇形统计图中，“B 组” 所对应的圆心角的度数为 72 ；（2）补全条形统计图；（3）已知该中学共有学生 2500 人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若按平均每人剩 10 克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？【考点】加权平均数；用样本估计总体；扇形统
26、计图；条形统计图【分析】（1）用 A 组人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；求出B 组所占的百分比，再乘以 360即可得出“B 组”所对应的圆心角的度数；（2）用调查的总人数乘以 C 组所占的百分比得出 C 组的人数，进而补全条形统计图；（3）先求出这餐晚饭有剩饭的学生人数为：2500（160% 10%）=750（人），再用人数乘每人平均剩 10 克米饭，把结果化为千克【解答】解：（1）这次被抽查的学生数=7260%=120（人），“B 组”所对应的圆心角的度数为：360 =72故答案为 120，72 ；（2）C 组的人数为：12010%=12；条形统计图如下：（3）这餐晚饭有剩饭的学
27、生人数为：2500（160% 10%）=750（人），75010=7500（克）=7.5（千克）答：这餐晚饭将浪费 7.5 千克米饭五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）23如图，OA 和 OB 是O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点，BP的延长线交O 于 Q，过 Q 的O 的切线交 OA 的延长线于 R求证：RP=RQ【考点】切线的性质【分析】首先连接 OQ，由切线的性质，可得OQB+BQR=90，又由OAOB，可得OPB+ B=90，继而可证得PQR=BPO=RPQ，则可证得 RP=RQ【解答】证明：连接 OQ，RQ 是O 的切线，OQQR，OQB+B
28、QR=90 OAOB，OPB+B=90又OB=OQ ，OQB= BPQR=BPO=RPQRP=RQ24某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营销阶段发现：当销售单价 25 元/件时，每天的销售量是 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每件文具的利润不低于为 25 元且不高于 29
29、元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】（1）根据利润=（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案 A、B 中 x 的取值范围，然后分别求出 A、B 方案的最大利润，然后进行比较【解答】解：（1）由题意得，销售量=25010（x25）=10x+500，则 w=（x20）（10x+500）=10x2+700x10000；（2）w=10x 2+700x10000=10（x35） 2+2250100，函数图象开口向下，w 有最大值，当 x=35 时， w 最大 =2250，
30、故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大；（3）A 方案利润高理由如下：A 方案中：20x30，故当 x=30 时， w 有最大值，此时 wA=2000；B 方案中：故 x 的取值范围为：45x49，函数 w=10（x35） 2+2250，对称轴为直线 x=35，当 x=35 时， w 有最大值，此时 wB=1250，w Aw B，A 方案利润更高六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）25已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 A，经过点 B（0，3）和点（2，3），与x 轴交于 C，D 两点，（点 C 在点 D 的左侧），且 OD=OB（1）求这条抛物线的表
31、达式；（2）连接 AB，BD，DA，试判断ABD 的形状；（3）点 P 是 BD 上方抛物线上的动点，当 P 运动到什么位置时，BPD 的面积最大？求出此时点 P 的坐标及 BPD 的面积2-1-c-n-j-y【考点】二次函数综合题【分析】（1）由点 B 的坐标可知 OB=3，OD=3，故此可得到点 D 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先由抛物线的解析式求得点 A 的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得 AB、AD、BD 的长，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可（3）如图所示：连结 OP设点 P 的坐标为（x， x2+2x+3）依据DBP 的面积=OBP 的面积+ODP 的面积 B
32、OD 的面积，列出 DBP 的面积与 x 的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）B（0，3）和点（2，3）的纵坐标相同，抛物线的对称轴为 x=1，OB=3 OD=OB，OD=3抛物线与 x 轴交于 C，D 两点，（点 C 在点 D 的左侧），D（3，0）将点 B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入抛物线的解析式得： ，解得：a= 1，b=2，c=3抛物线的解析式为 y=x2+2x+3（2）y= x2+2x+3=（x1） 2+4，点 A 的坐标为（1，4）依据两点间的距离公式可知：AB 2=（10） 2+（4 3） 2=2，AD 2=（31） 2+（40）2=20， B
33、D2=（30） 2+（03） 2=18，【AB 2+BD2=AD2ABD 为直角三角形（3）如图所示：连结 OP设点 P 的坐标为（ x， x2+2x+3）DBP 的面积=OBP 的面积+ODP 的面积BOD 的面积= 3x+ 3（x 2+2x+3） 33= x2+ x= （x ） 2+ 当 x= 时， DBP 的面积最大，最大值为 将 x= 代入抛物线的解析式得 y= ，点 P 的坐标为（ ， ）26如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交于点 E、F ，过点 B 作PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接BC，AF（1）求证：直线 P
34、A 为O 的切线；（2）试探究线段 EF、OD、OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若 BC=6，tanF= ，求 cosACB 的值和线段 PE 的长【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【分析】（1）连接 OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB， POA=POB，继而证明PAO PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论（2）先证明OADOPA，利用相似三角形的性质得出 OA 与 OD、OP 的关系，然后将 EF=20A 代入关系式即可（3）根据题意可确定 OD 是ABC 的中位线，设 AD=x，然后利用三
35、角函数的知识表示出 FD、OA，在 RtAOD 中，利用勾股定理解出 x 的值，继而能求出cosACB，再由（2）可得OA2=ODOP，代入数据即可得出 PE 的长【解答】解：（1）连接 OB，PB 是O 的切线，PBO=90，OA=OB， BAPO 于 D，AD=BD， POA=POB，又PO=PO，PAOPBO（SAS），PAO= PBO=90，OAPA，直线 PA 为O 的切线（2）EF 2=4ODOP证明：PAO=PDA=90OAD+AOD=90，OPA+AOP=90 ，OAD=OPA，OADOPA， = ，即 OA2=ODOP，又EF=2OA ，EF 2=4ODOP（3）OA=OC ，AD=BD，BC=6 ，OD= BC=3（三角形中位线定理），设 AD=x，tanF= ，FD=2x，OA=OF=2x 3，在 Rt AOD 中，由勾股定理，得（2x 3） 2=x2+32，解之得，x 1=4，x 2=0（不合题意，舍去），AD=4，OA=2x3=5 ，AC 是O 直径，ABC=90 ，又AC=2OA=10，BC=6，cos ACB= = OA 2=ODOP，3（PE +5）=25 ，PE= 2017 年 4 月 11 日