1、2017 年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（5）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1在3，0，2 ， 四个数中，最小的数是（ ）A3 B0 C2 D2如图，C 、B 是线段 AD 上的两点，若 AB=CD，BC=2AC，那么 AC 与 CD的关系是为（ ）ACD=2AC BCD=3AC CCD=4BD D不能确定3学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色学生人数 100 180 220 80 750学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）A平均数 B中位数 C众数 D方差4如图所示，
2、数轴上表示 2， 的对应点分别为 C，B，点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示的数是（ ）A B2 C4 D 25若不等式组 的解集是 x2，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba2 Ca2 D无法确定6如图，在ABC 中， AB=AC，BAC=120，D，E 是 BC 上的两点，且DAE=30，将 AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到AFB，连接 DF下列结论中正确的个数有（ ）FBD=60；ABEDCA；AE 平分CAD；AFD 是等腰直角三角形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7如图，已知抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x我们约定：当 x 任取一值时，x对应的函
3、数值分别为 y1、y 2，若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若y1=y2，记 M=y1=y2下列判断：当 x2 时，M=y 2；当 x0 时，x 值越大，M 值越大；使得 M 大于 4的 x 值不存在；若 M=2，则 x=1其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8我们将 123n 记作 n！（读作 n 的阶乘），如：2！=1 2，3 ！=1 23， 4！=1234，若设S=11！+22！+33！ +20162016！，则 S 除以 2017 的余数是（ ）A0 B1 C1008 D2016二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9计算
4、：127（4）+8（2）的结果是 10对于实数 x，规定（x n）=nx n1，若（x 2）=2 ，则 x= 11已知在等腰三角形 ABC 中，BC=8 ，AB，AC 的长为方程 x210x+m=0 的根，则 m= 12菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 C 的坐标是（6，0），点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的坐标为 13已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10 米高的地方，那么物体所经过的路程为 米14如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A， P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接
5、 PA设 PA=x，PB=y ，则（xy）的最大值是 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）15先化简，再求值： ，其中 x=6tan30216已知一次函数的图象过 A（3， 5），B（1，3）两点（1）求这个一次函数的表达式；（2）试判断点 P（ 2，1）是否在这个一次函数的图象上17如图，已知 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 上的点，连接 DE（1）在ABC 的内部，作射线 BM 交线段 CD 于点 F，使CBF=ADE ；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）的条件下，求证：ADECBF四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10
6、 分，共 30 分）18据某市 2016 年国民经济和社会发展统计公报显示，2016 年该市新开工的住房有商品房廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型，老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）求经济适用房的套数，并补全频数分布直方图；（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有 950 人符合购买条件，老王是其中之一由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生如果对2016 年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？（3）如果计划 2017 年新开工廉租房建设的套数比 2016 年增长 10
7、%，那么2017 年新开工廉租房有多少套？19陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共 105 本，单价分别为 8 元和 12 元，买书前我领了 1500 元，现在还余 418 元” 王老师算了一下，说： “你肯定搞错了 ”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于 10 元的整数，笔记本的单价可能为多少元？20如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y，从加热开始计算的时间为 x 分钟据了解，该材料在加热过程中温
8、度 y 与时间x 成一次函数关系已知该材料在加热前的温度为 4，加热一段时间使材料温度达到 28时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间x 成反比例函数关系，已知当第 12 分钟时，材料温度是 14（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围）；（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？五、解答题（本题满分 12 分）21如图 1，若ABC 和 ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE ，AMN 是等边三角形（
9、1）当把ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由六、解答题（本题满分 14 分）22如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0），B（2，0），交y 轴于 C（0，2），过 A，C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心
10、的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；若M 的半径为 ，求点 M 的坐标2017 年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1在3，0，2 ， 四个数中，最小的数是（ ）A3 B0 C2 D【考点】实数大小比较【分析】先确定 2 与 3 的大小关系，再比较2 与 3 的大小，因为这四个数中，正数大于 0，0 大于负数【解答】解：2 = ，3= ， ，2 3，2 3，3 0 ，最小的数是3，故选 A2如图，C 、B 是线段 AD 上的两点，若
11、AB=CD，BC=2AC，那么 AC 与 CD的关系是为（ ）ACD=2AC BCD=3AC CCD=4BD D不能确定【考点】比较线段的长短【分析】由 AB=CD，可得，AC=BD ，又 BC=2AC，所以，BC=2BD，所以，CD=3AC；【解答】解：AB=CD ，AC+BC=BC+BD，即 AC=BD，又BC=2AC，BC=2BD，CD=3BD=3AC；故选 B3学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色学生人数 100 180 220 80 750学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）A平均数 B中位
12、数 C众数 D方差【考点】统计量的选择【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的有关知识判断即可【解答】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数，故选 C4如图所示，数轴上表示 2， 的对应点分别为 C，B，点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示的数是（ ）A B2 C4 D 2【考点】实数与数轴【分析】首先可以求出线段 BC 的长度，然后利用中点的性质即可解答【解答】解：表示 2， 的对应点分别为 C，B，CB= 2，点 C 是 AB 的中点，则设点 A 的坐标是 x，则 x=4 ，点 A 表示的数是 4 故选 C5若不等式组 的解集是 x2，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba2 Ca2
13、 D无法确定【考点】解一元一次不等式组【分析】解出不等式组的解集，与已知解集 x2 比较，可以求出 a 的取值范围【解答】解：由（1）得：x2由（2）得：xa因为不等式组 的解集是 x2a2故选：C 6如图，在ABC 中， AB=AC，BAC=120 ，D，E 是 BC 上的两点，且DAE=30，将 AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到AFB，连接 DF下列结论中正确的个数有（ ）FBD=60；ABEDCA；AE 平分CAD；AFD 是等腰直角三角形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质【分析】根据旋转的性质得出ABF=C ，求
14、出ABC=C=30，即可判断；根据三角形外角性质求出ADC=BAE，根据相似三角形的判定即可判断；求出EAC 大于 30，而DAE=30，即可判断；求出AFD 是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判断【解答】解：在ABC 中，AB=AC ，BAC=120，ABC=C=30，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到AFB，AECAFB，ABF=C=30，FBD=30+30=60 ，正确；ABC=DAE=30，ABC+ BAD=DAE+BAD，即ADC= BAE，ABC=C，ABEDCA，正确；C=ABC=DAE=30，BAC=120，BAD+EAC=120DAE=90，ABC+ B
15、AD90 ，ADC90 ，DAC60 ，EAC30 ，即DAE EAC，错误；将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到AFB，AF=AE， EAC=BAF，BAC=120 ，DAE=30，BAD+EAC=90，DAB+BAF=90，即AFD 是直角三角形，在DAE 中，ADE=BAC +BAD ，AED=C+EAC，ABC=C，但是根据已知不能推出BAD= EAC，ADE 和AED 不相等，AD 和 AE 不相等，即AFD 是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，错误；故选 B7如图，已知抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x我们约定：当 x 任取一值时，x对应的函数值分别为 y1、
16、y 2，若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若y1=y2，记 M=y1=y2下列判断：当 x2 时，M=y 2；当 x0 时，x 值越大，M 值越大；使得 M 大于 4的 x 值不存在；若 M=2，则 x=1其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】二次函数的性质【分析】若 y1=y2，记 M=y1=y2首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当 x2 时，利用函数图象可以得出 y2y 1；当 0x2 时，y 1y 2；当x0 时，利用函数图象可以得出 y2y 1；然后根据当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y 2若 y1y 2，取 y
17、1、y 2 中的较小值记为 M；即可求得答案【解答】解：当 y1=y2 时，即x 2+4x=2x 时，解得：x=0 或 x=2，当 x2 时，利用函数图象可以得出 y2y 1；当 0x2 时，y 1y 2；当 x0时，利用函数图象可以得出 y2y 1；错误；抛物线 y1=x2+4x，直线 y2=2x，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y1、y 2若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；当 x0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大，M 值越大；正确；抛物线 y1=x2+4x 的最大值为 4，故 M 大于 4 的 x 值不存在，正确；如图：当 0x2 时，y 1y 2；当
18、M=2，2x=2，x=1；x2 时，y 2y 1；当 M=2，x 2+4x=2，x 1=2+ ，x 2=2 （舍去），使得 M=2 的 x 值是 1 或 2+ ，错误；正确的有两个故选：B 8我们将 123n 记作 n！（读作 n 的阶乘），如：2！=1 2，3 ！=1 23， 4！=1234，若设S=11！+22！+33！ +20162016！，则 S 除以 2017 的余数是（ ）A0 B1 C1008 D2016【考点】规律型：数字的变化类；有理数的除法【分析】由（n+1）！=123n（n+1）=（n+1）n！=n n！+n！知，可将原式两边都加上 1！+2！+3！+2016！，即可得
19、S=2017！ 1，从而得出答案【解答】解：（n+1）！=123n（n+1）=（n+1）n！=n n！ +n！，S+1！+2！ +3！+2016 ！=11！+22！+3 3！+20162016！+1！+2！+3！+2016！，即 S+1！+2！ +3！+2016 ！=1！+2！+3！+2017 ！，则 S=2017！1， = =2016！1，故选：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9计算：127（4）+8（2）的结果是 36 【考点】有理数的混合运算【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果【解答】解：原式=12+284=404=36，故答案为：36
20、10对于实数 x，规定（x n）=nx n1，若（x 2）=2 ，则 x= 1 【考点】解一元一次方程【分析】根据规定，得：当 n=2 时，则（x 2）=2x，解方程即可【解答】解：根据题意得：2x=2，x=1故答案为：111已知在等腰三角形 ABC 中，BC=8 ，AB，AC 的长为方程 x210x+m=0 的根，则 m= 25 或 16 www-2-1-cnjy-com【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；根的判别式【分析】讨论：根据等腰三角形性质当 AB=BC=8，把 x=8 代入方程可得到m=16，此时方程另一根为 2，满足三角形三边关系；当 AB=AC，根据根与系数得关系得 A
21、B+AC=10，所以 AB=AC=5，所以 m=55=25【解答】解：当 AB=BC=8，把 x=8 代入方程得 6480+m=0，解得 m=16，此时方程为 x210x+16=0，解得 x1=8，x 2=2；当 AB=AC，则 AB+AC=10，所以 AB=AC=5，则 m=55=25故答案为：25 或 1612菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 C 的坐标是（6，0），点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的坐标为 （3， 1） 【考点】菱形的性质；坐标与图形性质【分析】首先连接 AB 交 OC 于点 D，由菱形 OACB 中，点 C 的坐标是（6，0），点 A 的纵坐标是
22、1，即可求得点 B 的坐标【解答】解：连接 AB 交 OC 于点 D，四边形 ABCD 是菱形，ABOC ，OD=CD，AD=BD，点 C 的坐标是（6，0），点 A 的纵坐标是 1，OC=6，BD=AD=1，OD=3，点 B 的坐标为：（3， 1）故答案为：（3，1）13已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10 米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案【解答】解：如图，由题意得：斜坡 AB 的坡度： i=1：2.4，AE=10 米，AEBD，i=
23、= ，BE=24 米，在 RtABE 中，AB= =26（米）故答案为：2614如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A， P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设 PA=x，PB=y ，则（xy）的最大值是 2 【考点】切线的性质【分析】作直径 AC，连接 CP，得出APCPBA，利用 = ，得出y= x2，所以 xy=x x2= x2+x= （x 4） 2+2，当 x=4 时，xy 有最大值是 2【解答】解：如图，作直径 AC，连接 CP，CPA=90，AB 是切线，CAAB ，PB l，ACPB，CAP=APB，APCPBA， ，
24、PA=x ，PB=y，半径为 4， = ，y= x2，xy=x x2= x2+x= （x4） 2+2，当 x=4 时，x y 有最大值是 2，故答案为：2三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）15先化简，再求值： ，其中 x=6tan302【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出 x 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式= = = ，当 x=6tan302=2 2 时，原式 = 16已知一次函数的图象过 A（3， 5），B（1，3）两点（1）求这
25、个一次函数的表达式；（2）试判断点 P（ 2，1）是否在这个一次函数的图象上【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）设一次函数解析式为 y=kx+b，将 A（3，5），B（1，3）代入解得 k、b 可得解析式；（2）将 x=2 代入一次函数解析式可判断结果【解答】解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b，将 A（3，5），B（1，3）代入得，解得，一次函数解析式为：y=2x+1；（2）把 x=2 代入 y=2x+1，解得 y=3，点 P（2， 1）不在一次函数图象上17如图，已知 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 上的点，连接 DE（1）在ABC 的
26、内部，作射线 BM 交线段 CD 于点 F，使CBF=ADE ；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）的条件下，求证：ADECBF【考点】作图复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质【分析】（1）作CBM=ADE ，其中 BM 交 CD 于 F；（2）根据平行四边形的性质可得A=C，AD=BC，由 ASA 可证ADE CBF【解答】（1）解：如图所示（2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形A=C ，AD=BC，ADE=CBF，ADE CBF（ASA）四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）18据某市 2016 年国民经济和社会发展统计公报
27、显示，2016 年该市新开工的住房有商品房廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型，老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：2-1-c-n-j-y（1）求经济适用房的套数，并补全频数分布直方图；（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有 950 人符合购买条件，老王是其中之一由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生如果对2016 年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？（3）如果计划 2017 年新开工廉租房建设的套数比 2016 年增长 10%，那么2017 年新开工廉租房有多少套？【考点
28、】概率公式；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图【分析】（1）根据扇形统计图中公租房所占比例以及条形图中公租房数量即可得出，新开工的住房总数，进而得出经济适用房的套数；（2）根据申请购买经济适用房共有 950 人符合购买条件，经济适用房总套数为475 套，得出老王被摇中的概率即可；（3）根据 2016 年廉租房共有 62508%=500 套，得出 500（1+10%）=550，即可得出答案【解答】解：（1）根据题意得：住房总数为 150024%=6250（套），则经济适用房的数量为 62507.6%=475（套），补全条形统计图，如图所示：；（2）老王被摇中的概率为： = ；（3）
29、根据题意列得：62508%（1+10%）=550（套），则 2017 年新开工廉租房有 550 套19陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共 105 本，单价分别为 8 元和 12 元，买书前我领了 1500 元，现在还余 418 元” 王老师算了一下，说： “你肯定搞错了 ”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于 10 元的整数，笔记本的单价可能为多少元？【考点】一元一次不等式的应用【分析】（1）等量关系为：8 元的书的总价钱
30、+12 元的书的总价钱=1500418；（2）关键描述语是笔记本的单价是小于 10 元的整数，关系式为：0所用钱数书的总价10【解答】解：（1）设单价为 8.0 元的课外书为 x 本，得：8x+12=1500 418，解得：x=44.5 （不符合题意）在此题中 x 不能是小数，王老师说他肯定搞错了；（2）设单价为 8.0 元的课外书为 y 本，设笔记本的单价为 b 元，依题意得：015008y+12+41810 ，解之得：04y17810，即：44.5y47，y 应为 45 本或 46 本当 y=45 本时， b=1500845+12+418=2，当 y=46 本时， b=1500846+12
31、+418=6，即：笔记本的单价可能 2 元或 6 元20如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y，从加热开始计算的时间为 x 分钟据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间x 成一次函数关系已知该材料在加热前的温度为 4，加热一段时间使材料温度达到 28时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间x 成反比例函数关系，已知当第 12 分钟时，材料温度是 14（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围）；（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊
32、处理的时间为多少分钟？【考点】反比例函数的应用【分析】（1）首先根据题意，材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把 y=12 代入 y=4x+4 得 x=2，代入 y= 得 x=14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为 142=12（分钟）【解答】解：（1）设加热停止后反比例函数表达式为 y= ，y= 过（ 12，14），得 k1=1214=168，则 y= ；当 y=28 时， 28= ，得 x=6设加热过程中一次函数表达式 y=k2x+b，由图象知 y=k2x+b 过点
33、（0，4）与（6，28）， ，解得 ，y=4x +4，此时 x 的范围是 0x6y= 此时 x 的范围是 x6；（2）当 y=12 时，由 y=4x+4，得 x=2由 y= ，得 x=14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 142=12（分钟）五、解答题（本题满分 12 分）21如图 1，若ABC 和 ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE ，AMN 是等边三角形（1）当把ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，AMN 是否还是等边三角形？若
34、是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质【分析】（1）可以利用 SAS 判定ABEACD，全等三角形的对应边相等，所以 CD=BE（2）可以证明AMN 是等边三角形，AD=a，则 AB=2a，根据已知条件分别求得AMN 的边长，因为ADE，ABC，AMN 为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比【解答】解：（1）CD=BE理由如下：ABC 和 ADE 为等边三角形，AB=AC， AE=AD，BAC=EAD=60，BAE= BACEAC=60EAC，DAC=DAE
35、EAC=60 EAC，BAE= DAC，DACEAB（SAS），CD=BE（2）AMN 是等边三角形理由如下：ABEACD，ABE= ACDM、N 分别是 BE、CD 的中点，BM= BE= CD=CN，AB=AC， ABE=ACD，ABMACN AM=AN， MAB=NACNAM= NAC+CAM=MAB+CAM= BAC=60，AMN 是等边三角形设 AD=a，则 AB=2aAD=AE=DE，AB=AC，CE=DEADE 为等边三角形，DEC=120，ADE=60，EDC= ECD=30，ADC=90在 RtADC 中，AD=a，ACD=30 ，CD= aN 为 DC 中点，DN= ，AN
36、= ADE ，ABC，AMN 为等边三角形，S ADE ：S ABC ：S AMN =a2：（2a） 2：（ ） 2=1：4： =4：16：7解法二：AMN 是等边三角形理由如下：ABEACD，M、N 分别是 BE、CD 的中点，AM=AN， NC=MBAB=AC，ABMACN ，MAB= NAC，NAM= NAC+CAM=MAB+CAM= BAC=60，AMN 是等边三角形，设 AD=a，则 AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a ，易证 BEAC，BE= ，EM= ，AM= ，ADE ，ABC，AMN 为等边三角形，S ADE ：S ABC ：S AMN =a2：（2a） 2：（ ）
37、 2=1：4： =4：16：7六、解答题（本题满分 14 分）22如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0），B（2，0），交y 轴于 C（0，2），过 A，C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；若M 的半径为 ，求点 M 的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标，设出二次函数交点式解析式 y=a（x
38、+1）（x2），然后把点 C 的坐标代入计算求出 a 的值，即可得到二次函数解析式；21cnjy（2）设 OP=x，然后表示出 PC、PA 的长度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点 H 在点 C 下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CMx 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是 2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点 H在点 C 上方时，根据（2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点，求出直线 PC 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M 的坐标；在 x 轴上取一点
39、 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以证明AED 和AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD 的长度，然后分点D 在点 A 的左边与右边两种情况求出 OD 的长度，从而得到点 D 的坐标，再作直线 DMAC，然后求出直线 DM 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 M 的坐标【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2），将 x=0，y= 2 代入，得 2=a（0+1）（02），解得 a=1，抛物线的解析式为 y=（x+1）（x2），即 y=x2x2；（2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1，在 Rt POC 中，由勾股定理，得 x2+22
40、=（x+1） 2，解得，x= ，即 OP= ；（3）CHMAOC，MCH= CAO，（i）如图 1，当 H 在点 C 下方时，OAC+OCA=90，MCH=OACOCA+MCH=90OCM=90= AOCCMx 轴y M=2，x 2x2=2，解得 x1=0（舍去）， x2=1，M（1，2），（ii）如图 1，当 H 在点 C 上方时，MCH= CAO，PA=PC，由（2）得，M为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析式为 y=kx2，把 P（ ，0）的坐标代入，得 k2=0，解得 k= ，y= x2，由 x2=x2x2，解得 x1=0（舍去）， x2= ，此时 y= 2= ，M（ ， ），在 x 轴上取一点 D，如图（备用图），过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE=，在 Rt AOC 中，AC= = = ，COA= DEA=90， OAC=EAD，AED AOC， = ，即 = ，解得 AD=2，D（1，0）或 D（3，0 ）过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M，如图（备用图）则直线 DM 的解析式为：y=2x+2 或 y=2x6，当2x6=x 2x2 时，即 x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x 2x2 时，即 x2+x4=0，解得 x1= ，x 2= ，点 M 的坐标为（ ，3+ ）或（ ，3 ）2017 年 4 月 19 日