1、2023年山东省德州市乐陵市中考二模数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题选对得4分1. 的相反数是( )A. 2B. C. 2D. 2. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小
2、正方形组成现对由两个小正方形组成的图案进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）A. B. C. D. 6. 我国民间流传一道数学名题其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A. cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm8. 下列
3、问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A. 圆的面积y与圆的半径xB. 汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间xC. 小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间xD. 三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm10. 已知关于x的一元二次方程2x2(mn)xmn0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）A
4、. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定11. 如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. B. 若，则C. D. 12. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值，y的部分对应值如下表：x1ym0c0nm其中，有下列结论：；关于x的方程的两根为1和其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分13.
5、16的算术平方根是_14. 我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示测试项目综合专业索质普通话才艺展示测试成绩908692根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2 的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 _分15. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为_16. 如图，扇形中，点C为延长线上一点，连接，以点C为圆心， 长为半径画弧，交于点 D若，则图中阴影部分的面积为_17. 如图，函数图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值
6、为_18. 如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_三、解答题：本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19. 先化简，再求值：，其中x满足x22x3020. 为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.第一次安全常识测试成
7、绩统计表：分组/分人数56m3b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数第一次成绩28.232第二次成绩35.836537d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.请根据以上信息，回答下列问题：（1）_，_（2）下列推断合理的是_（填写序号）第二次测试成绩平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高（3）若第二次安
8、全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数21. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行18s到达点D，测得A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行72s到达点E，测得点B的俯角为求的长度（结果精确到1m，参考数据：，）22. 如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O切线；（2
9、）若BE6，试求cosCDA值23. 某快递公司为提高工作效率，计划购买A、B种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B型机器人每天少搬运10且A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2820吨，购买金额不超过48 万元请根据以上要求，完成如下问题：设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元
10、？24. 特例感知：如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作，过点作，交于点，连接（1）试判断和的数量关系，并说明理由猜想论证：（2）将绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则和的数量关系是否仍然成立，请仅就图2的情形说明理由拓展延伸：（3）将如图1所示的绕点C按逆时针方向旋转，其余操作不变若，当是直角三角形时，请直接写出的值25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接（1）求抛物线的解析式（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相
11、交所成锐角为时，求点的坐标2023年山东省德州市乐陵市中考二模数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题选对得4分1. 的相反数是( )A. 2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据相反数的意义进行求解即可【详解】解：的相反数是2故选：C【点睛】本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在它前面添加一个负号2. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法
12、的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数【详解】解：150万，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案【详解】解：根据平移的概念，观察图形可知图案C通过平
13、移后可以得到故选：C【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，叫做平移，掌握平移的定义是解题关键4. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据整式的运算逐一进行分析即可【详解】解：A、，故此选项运算结果错误；B、，故此选项运算结果错误；C、，故此选项运算结果错误；D、，故此选项运算结果正确；故选：D【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、完全平方公式、同底数幂乘法公式、同底数幂除法公式是解题的关键5. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成现对由两个小正方形组成的图案进
14、行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画树状图得出所有等可能，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有2种，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的的概率为：，故选：A【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或树状图法得出所有的等可能的结果数是解题的关键6. 我国民间流传一道数学名题其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子
15、知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设有老者x人，有梨y个，一人一个多一个可得方程，根据一人两个少两个可得方程，由此即可得到答案【详解】解：设有老者x人，有梨y个，由题意得，故选B【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键7. 如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】A【解析】【
16、分析】先根据题意和等边三角形的判定与性质证得，再根据正方形的性质和勾股定理求解即可【详解】解：在图1中，连接，由题意，是等边三角形，在图2中，连接，故选：A【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答的关键8. 下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A. 圆的面积y与圆的半径xB. 汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间xC. 小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间xD. 三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x【答案】C【解析】【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断【
17、详解】解：A圆的面积与圆的半径的函数关系式为，该函数图象的开口应朝上，变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；B设汽车的速度为为常数），则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数），变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；C小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；D设三角形的面积为为常数），则，为常数），变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意故选：C【点睛】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，
18、正确判断出两个变量之间满足的函数关系9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：连接，如图所示：由题意得，点，之间的距离减少了，故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键10. 已知关于x的一元二次方程2x2(mn)xmn0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的
19、实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据数轴上表示的点的值和根的判别式=(m+n)-8mn，判定根的情况有两个不相等实数根.【详解】由数轴看出m0,n0,n0=(m+n)-8mn0，原方程有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键.11. 如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. B. 若，则C. D. 【答
20、案】D【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知项错误【详解】解：由作法得：，选项的结论正确；，是等边三角形，选项的结论正确；作半径，如图，选项的结论正确；圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，选项错误；故选：【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键12. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值，y的部分对应值如下表：x1ym0c0nm其中，有下列结论：；关于x的方程的两根为1和其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C
21、. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，从而得到，故正确；再由当时，可得，然后根据，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，进而得到当时，y随x的增大而增大，可得到，故正确；当时，故正确；根据题意得：当时，；当时，可得关于x的方程的两根为1和，故正确，即可【详解】解：根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，即，故正确；当时，点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，故正确；当时，故正确；根据题意得：当时，；当时，关于x的方程的两根为1和，故正确故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和
22、性质是解题的关键二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分13. 16的算术平方根是_【答案】4【解析】【详解】解： 16的平方根为4和-4，16的算术平方根为4，故答案为：414. 我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示测试项目综合专业索质普通话才艺展示测试成绩908692根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2 的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 _分【答案】【解析】【分析】根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案【详解】解：（分）答：甲候选人的最终成绩为分故答案为：
23、【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键15. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为_【答案】40度【解析】【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案【详解】解：正九边形的一个外角的度数为，故答案为：【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键16. 如图，扇形中，点C为延长线上一点，连接，以点C为圆心， 长为半径画弧，交于点 D若，则图中阴影部分的面积为_【答案】2【解析】【分析】利用割补法求阴影部分的面积：整个图形的面积减去空白部
24、分的面积即可求解【详解】解：是等腰直角三角形，且故答案为：2【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：和利用割补法求解阴影部分的面积17. 如图，函数的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为_【答案】6【解析】【分析】分两种情况讨论，设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m，），则C（m，），根据阴影的面积可以求出k的值；若函数图象过CD的中点，同理可以求出k的值【详解】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m，），则C（m，），S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，k=6；若函数图象过CD的中
25、点，中点坐标为（m，），则C（2m，），S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，k=6综上，k的值为6故答案为：6【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式18. 如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_【答案】【解析】【分析】取线段DE的中点M，连接MF，可得MFEC，根据勾股定理可得BF=4，再证明ABEBCF，可得BAECBF，从而得到BGEBCF，可得到BG，再由根
26、据BEHFMH，可得FHBF，即可求解【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，点F为线段DC的中点，MF是DEC的中位线，MFEC，点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，CFBE4，BCAB8，BCFABE90，BF4，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），BAECBF，BAE+BEA90，CBF+BEA90，BGE90，BGEBCF，GBECBF，BGEBCF，即，解得BG，BEHFMH，FHBF，GHBFBGFH4，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的
27、性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键三、解答题：本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19. 先化简，再求值：，其中x满足x22x30【答案】；2【解析】【分析】首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即可【详解】解：原式；由，得原式312【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分是解题的关键20. 为了提高学生安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识
28、测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.第一次安全常识测试成绩统计表：分组/分人数56m3b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数第一次成绩28.232第二次成绩35.836.537d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.请根据以上信息，回答下列问题：（1）_，_（2）下列推断合理的是_（填写序号）第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课
29、程一段时间后成绩提升了被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数【答案】（1）6，28.5 （2） （3）420（人）【解析】【分析】（1）利用抽取的总人数减去其他组的人数即可求出m，再根据中位数的定义即可求出n的值；（2）根据比较平均数和中位数即可进行判断；（3）根据题意求出优秀人数，再利用第二次成绩中优秀人数所占的百分比乘以全校人数即可求解【小问1详解】解：由题意可知：，把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是28、2
30、9，第一次成绩的中位数是：，故答案为：6，28.5【小问2详解】解：第二次测试成绩平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故合理；被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故合理，故答案为：【小问3详解】解：根据题意可得：第二次成绩在的人数为：（人），若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，则优秀人数为（人），（人），答：估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为420（人）【点睛】本题考查统计表和扇形统计图、中位数和平均数及用样本估计总数，熟练掌握找中位数的
31、方法和求出优秀人数是解题的关键21. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行18s到达点D，测得A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行72s到达点E，测得点B的俯角为求的长度（结果精确到1m，参考数据：，）【答案】的长度约为242m【解析】【分析】过点B作于点F，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，然后利用线段的和差求解即可【详解】解：过点B作于点F，由题意知：，四边形是矩形，在中，在中，答：的长度约为242m【点睛】本题考查了解
32、直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形并解直角三角形，体现了数学中的方程思想与数形结合思想的应用22. 如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O的切线；（2）若BE6，试求cosCDA的值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得ADB90，从而可得BDE+ADC90，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得ECBADC，然后根据等腰三角形的性质可得EBDE，从而可得E+BCE90，最后利用三角形内角和定理可得EBC90，即可解
33、答；（2）设O的半径为r，则ACAD3+r，在RtABD中，利用勾股定理可求出r5，从而求出BC2，然后在RtEBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【小问1详解】证明：AB为O的直径，ADB90，BDE+ADC90，ACAD，ACDADC，ACDECB，ECBADC，EBDB，EBDE，E+BCE90，EBC180（E+ECB）90，OB是O的半径，BE是O的切线；【小问2详解】解：设O的半径为r，OC3，ACADAO+OC3+r，BE6，BDBE6，在RtABD中，BD2+AD2AB2，36+（r+3）2（2r）2，r15，r23（舍去），BCOBO
34、C532，在RtEBC中，EC2，cosECB，cosCDAcosECB，cosCDA的值为【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键23. 某快递公司为提高工作效率，计划购买A、B种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B型机器人每天少搬运10且A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2820吨，
35、购买金额不超过48 万元请根据以上要求，完成如下问题：设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）；购买A型机器人18台，B型机器人12台时，购买总金额最低是万元【解析】【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，然后根据A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同列出方程求解即可；（2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台，然后根据每台A型机器人售价万元，每台
36、B型机器人售价2万元，列出w关于m的关系式即可；先根据购买资金不超过48万元，每天搬运的货物不低于2820吨求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可【小问1详解】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，由题意得：， 解得：， 检验：当时，是分式方程的根， ，答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；【小问2详解】解：由题意得：；由题意得： 解得：， ，w随m的增大而减小，当时，w最小，此时，购买A型机器人18台，B型机器人12台时，购买总金额最低是万元【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等
37、式组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系式和不等式组是解题的关键24. 特例感知：如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作，过点作，交于点，连接（1）试判断和的数量关系，并说明理由猜想论证：（2）将绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则和的数量关系是否仍然成立，请仅就图2的情形说明理由拓展延伸：（3）将如图1所示的绕点C按逆时针方向旋转，其余操作不变若，当是直角三角形时，请直接写出的值【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析 （3）或【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）延长交于点
38、，根据等边三角形性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）分三种情况，利用（2）中的结论解答即可【小问1详解】解：，理由如下：和是等边三角形， ，四边形是平行四边形，；【小问2详解】仍然成立，理由如下：延长交于点，和是等边三角形，同（1）可知，；【小问3详解】或，当时，由（2）可知，；当，由（2）可知，；当时，情况不存在，综上所述，的值为或【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接（1）求抛物线的解析式（2）点
39、是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标【答案】（1）； （2）P（3，7）； （3）的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）先由BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；（3）当在第一象限时，由ODB45，可知，求出直线BC的解析式，可设E（t，），在中，则，在RtBHE中，由勾股定理得，求出t的值即可求坐标；当在第二象限时，轴，可得四边形是平行四边形，则
40、，由折叠的性质可判断平行四边形是菱形，再由BEOB，可得，求出t的值即可求坐标【小问1详解】将A（1，0），C（0，2）代入，解得，；【小问2详解】令y0，则，解得x1或x4，B（4，0），OB4，OD4，D（0，4），设直线BD的解析式为ykxb，解得，yx4，联立方程组，解得或，P（3，7）；【小问3详解】如图1，当在第一象限时，设直线BC的解析式为，解得，设E（t，），OEt，EH，D（0，4），B（4，0），OBOD，ODB45，直线与直线BP相交所成锐角为45，由折叠可知，在中，在RtBHE中，解得，0t4，t，；如图2，当在第二象限，时，ABP45，轴，四边形是平行四边形，由折叠可知，平行四边形是菱形，BEOB，解得或，0t4，；综上所述：的坐标为或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键