1、2023年四川省凉山州宁南县中考一模数学试题一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2023C. D. 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）A. B. C. D. 3. 2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长，将数据亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 4. 甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是，下列说法中一定正确的是（）A. 甲总环
2、数大于乙的总环数B. 甲的成绩比乙的成绩稳定C. 甲、乙成绩的众数相同D. 乙的成绩比甲的成绩波动小5. 若|1a|=a1，则a的取值范围是（）A. a1B. a1C. a1D. a16. 我国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清洒有斗，那么可列方程为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，与交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D. 8. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，由图中尺
3、规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，于点，若，则弦的长为()A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组只有3个整数解，则整数的值不可能是（）A B. C. D. 11. 如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（） A. 9B. 10C. 12D. 1512. 如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：，（为任意实数）；若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；若是方程的一个根，则一定有成立其中正确的序号有（ ）A B. C. D. 第卷非选择题二、填空题
4、（共5个小题，每小题4分，共20分）13. 的算术平方根是_14. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是_15. 因式分解：_16. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为，则_17. 如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，则阴影部分的面积为_三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 计算：19. 先化简，然后在三个数中选一个合适的数代入求值20. 为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机
5、的时间”的问卷调查，并绘制成如图，图的统计图，已知“查资料”的人数是40人 （1）补全条形统计图；（2）若全校有学生2000人，请估计全校使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数；（3）在使用手机“查资料”的学生中，恰有3人每周都是使用手机50分钟，其中2女1男，计划在这3个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率21. 如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以的速度沿着与水平线成角的方向飞行，后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为在A处测得山顶P的仰角为，求山的
6、高度 22. 如图，在中，以为直径的分别交，于点，点在的延长线上，且 （1）求证：是的切线；（2）若的直径为3，求和的长B卷四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. 已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为_24. 如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为_ 五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25. 如图，一次函数y1=ax+b图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（1，4），C（m，2），ABx轴，垂足为点B（1）求函数y1=ax+b与y2=的解析式；（2）当x为何值时，y2y
7、1；（3）在x轴上是否存在点P，使PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由26. 某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格元，B型口罩每包价格比A型少元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包（1）求a的值（2）经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售求y关于x的函数解析式；若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？27. 如图，点分别在菱形的四条边上（
8、不在端点），且满足，连接，得到四边形（1）求证：四边形是矩形；（2）设菱形边长为，当为何值时，矩形面积最大，最大值为多少？28. 定义：向量，则已知，（1）当时，求函数的解析式；（2）当时，求函数的最小值(用含的代数式表示)，并求最小值的范围；（3）在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2个单位，再上移一个单位，得函数的图象，记，直线过点且与函数的图象恰有三个交点，求直线的解析式2023年四川省凉山州宁南县中考一模数学试题一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2023C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积
9、为1，则这两个数互为倒数，即可求解【详解】解：的倒数是，故选：D【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从正面看看到的图形进行逐一判断即可【详解】解：A、正方体从正面看看到的图形是正方形，不是三角形，不符合题意；B、圆锥从正面看看到的图形是三角形，符合题意；C、圆柱从正面看看到的图形是长方形，不是三角形，不符合题意；D、长方体从正面看看到的图形是长方形，不是三角形，不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了简单几何图的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键3. 2
10、023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长，将数据亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数【详解】解：亿，故选：B【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数解题关键是正确确定a的值以及n的值4. 甲、乙两人在相同条件下，
11、各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是，下列说法中一定正确的是（）A. 甲的总环数大于乙的总环数B. 甲的成绩比乙的成绩稳定C. 甲、乙成绩的众数相同D. 乙的成绩比甲的成绩波动小【答案】D【解析】【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案【详解】解：各射击10次，甲射击成绩的平均数是9环，乙射击成绩的平均数是9环，甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；D说法正确，符合题意；由已
12、知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了方差、平均数、众数的意义，熟练掌握方差、平均数的意义是解题的关键5. 若|1a|=a1，则a的取值范围是（）A. a1B. a1C. a1D. a1【答案】B【解析】【详解】根据，说明1-a，所以a1，故选：B.6. 我国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清洒有斗，那么可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
13、【分析】设清洒有斗，则醑酒有斗，然后根据一共有30斗谷子列出方程即可【详解】解：设清洒有斗，由题意得，故选A【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键7. 如图，已知直线，与交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质即可求的度数【详解】解：，是的外角，故选：C【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的性质，解答的关键是熟记两直线平行，内错角相等8. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【
14、解析】【分析】根据作图过程可得BD平分ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题【详解】解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=（180-36）=72，根据作图过程可知：BD平分ABC，ABD=DBC=ABC=36，BDC=180-36-72=72，ADB=DBC+ACB=36+72=108，故选项C成立；BDC=ACB=72，BD=BC，故选项A成立；ABD=A=36，AD=BD，故选项B成立；没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法9. 如图，是的弦，于点，若，则弦的长为()A. B.
15、C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是等腰直角三角形求出，根据垂径定理可得，即可得出答案【详解】解：于点，是等腰直角三角形，设，于点，即，解得：，即又于点H，故选：A【点睛】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AH和掌握垂径定理是解题的关键，难度不大10. 若关于的不等式组只有3个整数解，则整数的值不可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集中只有3个整数解，确定出的范围即可求解【详解】解：解得，解得，不等式组只有3个整数解，不等式组的整数解为，0，解得：，整数，不能为，故选；A【点睛】此题考查了一元一
16、次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键11. 如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（） A. 9B. 10C. 12D. 15【答案】B【解析】【分析】证明，求得，设，则，由勾股定理列出方程即可求解【详解】解：四边形是矩形，将矩形沿直线折叠，设，则，在中，解得：，（舍，故选：B【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是解题的关键12. 如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：，（为任意实数）；若点为对称轴上的动点，则有取大值，最
17、大值为；若是方程的一个根，则一定有成立其中正确的序号有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口向下可得，根据对称性求出对称轴为直线，则，再由抛物线交y轴的正半轴，得到，由此即可判断；根据时，二次函数有最大值，最大值为，则，即可判断；由对称性可知，则，即可判断；先求出，进而推出，则，由m是方程的一个根，得到或，然后分别计算出的值即可判断【详解】解：抛物线开口向下，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，抛物线交y轴的正半轴，故正确；对称轴为直线，开口向下，时，二次函数有最大值，最大值为，（m为任意实数）即，故正确；对称轴交y轴的正半轴于点C，由对称性可知，故不正确；抛物线
18、与x轴交于点，m是方程的一个根，或，当时，当时，若m是方程的一个根，则一定有成立，故正确；故选D【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算第卷非选择题二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13. 的算术平方根是_【答案】【解析】【详解】 5的算术平方根是.故答案为：.14. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是_【答案】【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案【详解】解：向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到：，即，顶点坐标为，
19、故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键15. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】用十字相乘法分解因式即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本是考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法分解因式是解题的关键16. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为，则_【答案】20%【解析】【详解】试题分析：根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x试题解析：依题意，有：100（1+x）2=144， 1+x=12， 解得：x=20%或-22（舍去）考点：一元二次方程的应用17. 如图
20、，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】连接，由点是的中点得到，由勾股定理得到，求出，即可求出阴影部分的面积【详解】解：连接，点是的中点， ，阴影的面积，故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算，平移的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 计算：【答案】【解析】【分析】本题涉及二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】解： = =
21、【点睛】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点19. 先化简，然后在三个数中选一个合适的数代入求值【答案】，-3【解析】【分析】先对分式进行化简，然后由分母不能为0排除a的值，最后代入求解即可【详解】解：原式=；，把代入得，原式=【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键20. 为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，图的统计图，已知“查资料”的人数是40人 （1）补全条形统计图；（
22、2）若全校有学生2000人，请估计全校使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数；（3）在使用手机“查资料”的学生中，恰有3人每周都是使用手机50分钟，其中2女1男，计划在这3个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率【答案】（1）见解析 （2）700名 （3）【解析】【分析】（1）用“查资料”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数 用减法求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可；（2）用学校总人数乘以玩游戏”对应的百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两个学生中有一个男生的结果数，再利
23、用概率公式可得出答案【小问1详解】解：在这次调查中，一共抽取的学生人数为(人 每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数为(人) 补全条形统计图如图所示 【小问2详解】全校使用手机为“玩游戏”的学生人数为：(名)【小问3详解】设这3个学生中，2名女生分别记为，1名男生记为，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两个学生中有一个男生的结果有：，共4种，所选两个学生中有一个男生的概率为【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，由样本所占百分比估计总体的数量，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键21. 如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受
24、风力影响，它以的速度沿着与水平线成角的方向飞行，后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为在A处测得山顶P的仰角为，求山的高度 【答案】【解析】【分析】先求得，再解直角三角形，求得，设山的高度为，根据三角形面积得，即可求解【详解】解：， ，中，中，中，设山的高度为，则，答：山的高度为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，求得，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键22. 如图，在中，以为直径的分别交，于点，点在的延长线上，且 （1）求证：是的切线；（2）若的直径为3，求和的长【答案】（1）见解析 （2）BC=，【解析】【分析】（1
25、）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明（2）解直角三角形即可得到结论【小问1详解】证明：连接，如图， 是的直径，即是的直径，直线是的切线；【小问2详解】解：过点作于，如图 ，在中，即，【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点B卷四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. 已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为_【答案】15【解析】【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三
26、角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根解得：将代入得：解得： ，此时能构成三角形，的周长为：若为底，则，即方程有两个相等的实根 解得：将代入得：解得： ，此时不能构成三角形，不能计算周长综上可得：的周长为15【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键特别注意验证是否能构成三角形24. 如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为_ 【答案】或【解析】【分
27、析】如图所示，线段中，点运动的路径是以中点为圆心，为半径的半圆，分类讨论，当在线段上时；当在线段延长线上时；图形结合，根据勾股定理即可求解【详解】解：如图所示，线段中，点运动的路径是以中点为圆心，为半径的半圆，当在线段上时，如图所示， 当时，的值最小，正方形的边长为，如图所示， 由此，对角线的长为，； 当在线段延长线上时，如图所示， 当时，即点在一条直线，的值最小，如图所示，连接， ，在中，；综上所示，的最小为或，故答案为：或五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25. 如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（1，4），C（m，2）
28、，ABx轴，垂足为点B（1）求函数y1=ax+b与y2=的解析式；（2）当x为何值时，y2y1；（3）在x轴上是否存在点P，使PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）y1=2x+2，y2=；（2）1x0或x2；（3）存在，P1（，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得反比例函数的解析式，然后将点C的坐标代入求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定一次函数是的解析式即可；（2）根据求得的点A和点C的坐标结合函数的图象确定x的取值范围即可；（3）分以OA为底边、以OA为腰且以A为顶点和以
29、OA为腰且以O为顶点三种情况确定点P的坐标即可【详解】解：（1）把点A（1，4）代入y2= 中，得4= 解得：k=4，即双曲线解析式为y2=，把点C（m，2）代入y2=中，得2= 解得：m=2，C（2，2）一次函数y1=ax+b的图象经过A、C， ，解得： ，所以直线解析式为y1=2x+2；（2）一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、C两点，坐标分别为（1，4）、（2，2）当y2y1时，1x0或x2（3）如图，点A（1，4），OA= ，当以AO为底边时，由P1DOABO，即： ,解得：P1O=，点P1的坐标为 ；当以AO腰以A为顶点时，P2B=BO=1，此时点P2的坐标
30、为（2，0）；当以AO为腰以O为顶点时，P3O=P4O=OA= ，此时点P3的坐标为，点P4的坐标为【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中涉及到待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及分类讨论的数学思想，知识点较多，难度较大26. 某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格元，B型口罩每包价格比A型少元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包（1）求a的值（2）经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售求y关于x的函数解析式；若家委会计划购买A型、B型共计100包，其
31、中A型不少于30包，且不超过60包问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？【答案】（1）10 （2），购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元【解析】【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值；（2）根据函数图象中的数据，可以得到y关于x的函数解析式；根据题意和中的结果，可以得到购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元【小问1详解】解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，但不符合题意，舍去，【小问2详解】解：由图象可得，当时， 当时，设y=kx+b，代入，得，即当时，当时，由上可得，y与x的函数关系式为；
32、设购买A型口罩x包，则购买B型口罩包，购买的总金额为W元，当时，当时，W取得最小值，此时，当时，W随着x的增大而增大，由上可得，购买口罩的最小金额为700元，答：购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答27. 如图，点分别在菱形的四条边上（不在端点），且满足，连接，得到四边形（1）求证：四边形是矩形；（2）设菱形边长，当为何值时，矩形面积最大，最大值为多少？【答案】（1）见解析 （2）当时，矩形的面积最大，面积最大值为【解析】【分析】（1）根据平行线
33、分线段成比例的逆定理可得，进而可得，同理可得，推出四边形、是平行四边形，根据菱形的性质结合矩形的判定可得是矩形，得出，即可证得是矩形（2）设，则，利用菱形的性质、等边三角形的判定和性质用含x的式子分别表示出，然后根据矩形的面积得到关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可【小问1详解】证明：连接交于，如图，同理可得，四边形是平行四边形四边形是平行四边形，菱形，是矩形，是矩形【小问2详解】解：菱形，是等边三角形，是等边三角形，设，则，则，则矩形的面积=，；则当时，矩形的面积最大，面积最大值为【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行线分线段成比例定理的逆定理、二次函数的应用等知识，熟
34、练掌握相关图形的判定和性质、掌握解答的方法是解题的关键28. 定义：向量，则已知，（1）当时，求函数的解析式；（2）当时，求函数的最小值(用含的代数式表示)，并求最小值的范围；（3）在（1）条件下，将（1）中的函数图象向右移2个单位，再上移一个单位，得函数的图象，记，直线过点且与函数的图象恰有三个交点，求直线的解析式【答案】（1） （2）， （3）或【解析】【分析】（1）根据定义，计算即可；（2）求出对称轴为直线，再分当时，当时，当时三种情况讨论，分别求出解析式，然后写成分段函数解析式，分别求出不同范围下的范围，再把所得范围合并即可；（3）先求得函数的图象与x轴的两个交点，接着分以下三种情况讨
35、论，即可：直线经过A点，此时在B点的右侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线经过B点，此时在A点的左侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线与抛物线在上有一个使得联立方程组并消去y后的一元二次方程的交点(这个交点可称之为切点)【小问1详解】解：当时，即函数的解析式是：【小问2详解】，对称轴为直线当即时，若，则随增大而增大，当时，当即时，若，则对称轴处取最值，当时，当即时，若，则随增大而减小，当时，综上所述，当时，即当时，即当时，最小值的范围为【小问3详解】在（1）的条件下，直线过点，设的解析式为，则令，解得，结合图象可知，要使得直线过点且与函数的图象恰有三个交点，则有三种情况；直
36、线经过A点，此时在B点的右侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线经过B点，此时在A点的左侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线与抛物线在上有一个使得联立方程组并消去y后的一元二次方程的交点(这个交点可称之为切点)直线经过A点或B点，此时在上有且只有一个交点当直线经过A点时，将点代入得：解得：直线的解析式是：由解得：或即直线与函数的图象在存在一个交点符合题意当直线经过B点时，将点代入得：解得：直线的解析式是：由消去得解得，直线与函数的图象在没有公共点，不符合题意直线与抛物线在上有一个使得联立方程组并消去y后的一元二次方程的交点(这个交点可称之为切点)，由，消去得由得，或当时，满足，此时直线的解析式为当时，由知道此时不符合题意综上，直线的解析式为或【点睛】本题在新定义背景下考查二次函数的图象与性质，也考查了特殊角的三角函数值，注意分类讨论和数形结合是解题的关键运算量多，难度比较大