1、第 1 页（共 28 页）2016 年河北省唐山市滦南县中考数学模拟试卷（3）一.选择题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，共 24 分）1 的绝对值是（ ）A B C D2下列运算正确的是（ ）A（a 2） 3=a5 B（ 3.14） 0=1 C + = D3 2=63国家体育场“鸟巢” 工程总占地面积 21 公顷，建筑面积 258 000m2将举行奥运会，残奥会开闭幕式，田径比赛及足球比赛决赛奥运会后将成为北京市具有地标性的体育建筑和奥运遗产其中，258 000m2 用科学记数法表示为（ ）A258 103 B25.810 4 C2.58 105 D0.25810 64小亮观察下边的两个
2、物体，得到的俯视图是（ ）A BC D5已知：如图，DAC 是ABC 的一个外角，DAC=85，B=45，则C 的度数为（ ）A50 B45 C40 D35第 2 页（共 28 页）6在同一直角坐标系中，函数 y=kxk 与 y= （k0）的图象大致是（ ）A BC D7一个暗箱里装有 10 个黑球，8 个红球，12 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）A B C D8某市道路改造中，需要铺设一条长为 1200 米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了 25%，结果提前了 8 天完成任务设原计划每天铺设管道 x 米，根据题
3、意，则下列方程正确的是（ ）A BC D二填空题（本大题共 7 小题每空 3 分，共 21 分）9当 x 时，分式 有意义10若点 P（m，1）在第二象限，则点 B（ m+1，1）必在第 象限11不等式组 的解集是 12已知在 RtABC 中，C 为直角，AC=4cm ，BC=3cm，sinA= 13双曲线 y= 经过点（ 2，3），则 k= 第 3 页（共 28 页）14如图，现有一圆心角为 90，半径为 8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 15用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第 n
4、个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 n 的代数式表示）三解答题（本大题共 9 个小题，共 75 分）16计算：2 1（2008 ） 0+ cos3017解方程：18如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE=AF 请你猜想：BE 与 DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想： ；证明： 19有四张背面相同的纸牌 A，B ，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B 、C、D 表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对
5、称图形的纸牌的概率第 4 页（共 28 页）20九（3 ）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按 10 分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图九（3）班“绿色奥运” 知识竞赛成绩频数分布表：分数段（分） 49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.599.5组中值（分） 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5频数 a 9 10 14 5所占百分比 5% 22.5% 25.0% 35.0% b（1）频数分布表中 a= ，b= ；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）学校设定成绩在 69.5 分
6、以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15 本及奖金 50 元，二等奖奖励作业本 10 本及奖金 30 元，已知这部分学生共获得作业本 335 本，请你求出他们共获得的奖金21如图，点 A、B 为地球仪的南、北极点，直线 AB 与放置地球仪的平面交于点 D，所成的角度约为 67，半径 OC 所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E DE=15cm，AD=14cm求半径 OA 的长（精确到 0.1cm）参考数据：sin670.92，cos67 0.39 ，tan67 2.3622如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）作出关于直线 AB 的轴对称图形；（2）
7、将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针旋转 90；（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽第 5 页（共 28 页）23 “一方有难，八方支援”在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织 20 辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共 100 吨到灾民安置点按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类 食品 药品 生活用品每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨所需运费（元/ 吨） 120 160 100（1）设装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y求 y 与 x 的函数关系式；（2）如果装
8、运食品的车辆数不少于 5 辆，装运药品的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费24如图所示，已知抛物线 y=x21 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积；（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx 轴于点 G，使以A、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似？若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由第 6 页（共 28 页）第 7 页（
9、共 28 页）2016 年河北省唐山市滦南县中考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，共 24 分）1 的绝对值是（ ）A B C D【考点】绝对值【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号【解答】解：| |= 故选 B【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 02下列运算正确的是（ ）A（a 2） 3=a5 B（ 3.14） 0=1 C + = D3 2=6【考点】负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；二次根式的性质与化简【专题】计
10、算题【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、幂的乘方和二次根式计算四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，最后作出正确判断【解答】解：A、（a 2） 3=a6，故错误；B、符合 0 指数的意义，正确；C、 + ，不是同类二次根式，不能合并，故错误；第 8 页（共 28 页）D、3 2= ，故错误故选 B【点评】涉及知识：负指数幂为正指数幂的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；二次根式的化简；幂的乘方与积的乘方3国家体育场“鸟巢” 工程总占地面积 21 公顷，建筑面积 258 000m2将举行奥运会，残奥会开闭幕式，田径比赛及足球比赛决赛奥运会后将成
11、为北京市具有地标性的体育建筑和奥运遗产其中，258 000m2 用科学记数法表示为（ ）A258 103 B25.810 4 C2.58 105 D0.25810 6【考点】科学记数法表示较大的数【专题】应用题【分析】确定 a10n（1| a|10 ，n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 258 000 有 6位，所以可以确定 n=61=5【解答】解：258 000=2.58105故选 C【点评】把一个数 M 记成 a10n（1|a|10， n 为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法规律：（1）当|a|1 时，n 的值为 a 的整数位数减 1；（2）当|a|1 时，n 的值是第一个不是
12、 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 04小亮观察下边的两个物体，得到的俯视图是（ ）A B C D【考点】简单组合体的三视图【专题】压轴题【分析】找到从上面看所得到的图形即可第 9 页（共 28 页）【解答】解：从上面看是左边一个圆和里面圆心一点，右边是一个矩形，故选 A【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图5已知：如图，DAC 是ABC 的一个外角，DAC=85，B=45，则C 的度数为（ ）A50 B45 C40 D35【考点】三角形的外角性质【分析】根据“ 三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可知C=DACB【解答】解：DAC= B+C
13、，DAC=85 ， B=45，C=DACB=8545=40故选 C【点评】此题考查了三角形的内角和外角的关系三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6在同一直角坐标系中，函数 y=kxk 与 y= （k0）的图象大致是（ ）A B C D【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象【分析】根据 k 的取值范围，分别讨论 k0 和 k 0 时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案【解答】解：当 k0 时，第 10 页（共 28 页）一次函数 y=kxk 经过一、三、四象限，反比例函数的 y= （k0 ）的图象经过一、三象限，故 B 选项的图象符合要求，当 k0 时，一
14、次函数 y=kxk 经过一、二、四象限，反比例函数的 y= （k0 ）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项故选：B【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的 k 值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与 y 轴的交点与一次函数的常数项相关7一个暗箱里装有 10 个黑球，8 个红球，12 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）A B C D【考点】概率公式【分析】所有机会均等的可能共有 30 种而不是白球的机会有 18 种，因此从中任意摸出一球，不是白球的概率是 【解答】解：P（不是白球）= 故选 D【点评】用到的知识点为：
15、概率=所求情况数与总情况数之比8某市道路改造中，需要铺设一条长为 1200 米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了 25%，结果提前了 8 天完成任务设原计划每天铺设管道 x 米，根据题意，则下列方程正确的是（ ）A B第 11 页（共 28 页）C D【考点】由实际问题抽象出分式方程【专题】应用题；压轴题【分析】关键描述语为：“提前了 8 天完成任务”；等量关系为：原计划用时实际用时=8【解答】解：原计划用时为 天，而实际用时 天那么方程应该表示为 故选 B【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键二填空
16、题（本大题共 7 小题每空 3 分，共 21 分）9当 x 3 时，分式 有意义【考点】分式有意义的条件【专题】计算题【分析】分式 有意义的条件为分母不为 0【解答】解：根据题意得：x30解得：x3【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握分式有意义的条件：对于任意一个分式，分母都不能为 0，否则分式无意义解此类问题，只要令分式中分母不等于 0，求得字母的取值即可10若点 P（m，1）在第二象限，则点 B（ m+1，1）必在第 四 象限【考点】点的坐标【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断所在的象限【解答】解：点 P（m ，1）在第二象限
17、，m0m+10，第 12 页（共 28 页）故点 B（m+1，1）必在第四象限故填：四【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来考查11不等式组 的解集是 1x 2 【考点】解一元一次不等式组【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解：由（1）得：x2 由（2）得：x1 不等式组 的解集是：1x 2【点评】求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了12已知在 RtABC 中，C 为直角，AC=4cm ，BC=3cm，sinA= 【考点】锐角三角函数的定义
18、【分析】在直角ABC 中，根据勾股定理求出 AB 的长；根据三角函数的定义求解【解答】解：由题意知，AB= =5，sin A= = 【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义13双曲线 y= 经过点（ 2，3），则 k= 6 【考点】待定系数法求反比例函数解析式【专题】计算题【分析】把 x=2，y= 3 代入双曲线解析式即可求得 k 的值【解答】解：双曲线 y= 经过点（2，3），第 13 页（共 28 页）k=2（3）=6，故答案为6【点评】考查用待定系数法求反比例函数解析式；用到的知识点为：点在反比例函数解析式上，点的横纵坐标适合函数解析式14如图，现有一圆心角为 90，半径为 8cm
19、 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 2cm 【考点】圆锥的计算【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得【解答】解：设圆锥的底面半径为 R，则 L= =2R，解得：R=2cm，故答案为：2cm 【点评】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值15用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 10 块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖 3n+1 块（用含 n 的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类【专题】压轴题【分析】分析几何模型，进行合理
20、的运算，图形的变换作出正确解答【解答】解：本题考查的是规律探究问题从图形观察每增加一个图形，黑色正方形第 14 页（共 28 页）瓷砖就增加 3 块，第一个黑色瓷砖有 3 块，则第 3 个图形黑色瓷砖有 10 块，第 N 个图形瓷砖有 4+3（n 1）=3n +1（块）故答案为：10；3n+1【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型三解答题（本大题共 9 个小题，共 75 分）16计算：2 1（2008 ） 0+ cos30【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【专题】计算题【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意 21= ，（2008） 0=1【解答】解
21、：原式= 1+ =1【点评】本题需注意的知识点是：a p= 任何不等于 0 的数的 0 次幂是 117解方程：【考点】解分式方程【专题】计算题【分析】观察可得最简公分母是（2x1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：原方程可化为： ，方程的两边同乘（2x1），得25=2x1，解得 x=1第 15 页（共 28 页）检验：把 x=1 代入（2x1 ）= 30原方程的解为：x= 1【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根18如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE=AF 请
22、你猜想：BE 与 DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想： BEDF ，BE=DF ；证明： 连接 BD，交 AC 于点 O，连接 DE，BF四边形 ABCD 是平行四边形，BO=OD，AO=CO，又AF=CE，AE=CF，EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形，BE DF，BE=DF 【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【专题】探究型【分析】首先连接 BD，交 AC 于点 O，连接 DE，BF 由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 BO=OD，AO=CO，又由 CE=AF，可得 OE=OF，即可证得四边形 BEDF 是平行四边形，则可得 BEDF
23、，BE=DF【解答】答：猜想：BEDF ，BE=DF证明：证法一：如图 1，第 16 页（共 28 页）四边形 ABCD 是平行四边形BC=AD， 1=2，在BCE 和DAF 中，BCEDAF（SAS），BE=DF ， 3=4，BE DF证法二：如图 2，连接 BD，交 AC 于点 O，连接 DE，BF四边形 ABCD 是平行四边形，BO=OD，AO=CO，又AF=CE，AE=CF，EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形，BE DF，BE=DF故答案为：BEDF ，BE=DF；连接 BD，交 AC 于点 O，连接 DE，BF四边形 ABCD 是平行四边形，BO=OD，AO=CO，又AF=C
24、E，AE=CF，EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形，第 17 页（共 28 页）BE DF，BE=DF【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用19有四张背面相同的纸牌 A，B ，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B 、C、D 表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率【考点】列表法与树状图法；中心对称图形【专题】阅读型【分析】（1）画出树状图分析数据、列出可能的情况
25、（2）根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可【解答】解：（1）A B C DA （A，A） （A ，B） （A，C） （A，D）B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）共产生 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，即：（A，A）（A，B）（A，C ）（A，D）第 18 页（共 28 页）（B，A）（B，B）（B，C ）（B，D）（C ，A）（C，B）（C，C）（C ，D）（D，A）（D，B）（D，C）（D，D ）；（2）其中两张牌都是中心对
26、称图形的有 4 种，即（B，B）（B，C ）（C，B ）（C，C）P（两张都是中心对称图形）= = 【点评】正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20九（3 ）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按 10 分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图九（3）班“绿色奥运” 知识竞赛成绩频数分布表：分数段（分） 49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.599.5组中值（分） 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5频数 a
27、 9 10 14 5所占百分比 5% 22.5% 25.0% 35.0% b（1）频数分布表中 a= 2 ，b= 12.5% ；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）学校设定成绩在 69.5 分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15 本及奖金 50 元，二等奖奖励作业本 10 本及奖金 30 元，已知这部分学生共获得作业本 335 本，请你求出他们共获得的奖金【考点】频数（率）分布直方图；一元一次方程的应用；频数（率）分布表【专题】图表型【分析】（1）由成绩频数分布表可以看出，b=100% 5%22.5%25%35%=12.5%；由频率= 得，总数 = =40 人，则 a=400
28、.050=2 人；（2）由数据补全直方图；第 19 页（共 28 页）（3）由表得，有 29 名同学获得一等奖或二等奖；设有 x 名同学获得一等奖，则有（29x）名同学获得二等奖，根据题意得关系式 15x+10（29x）=335 可求得 x 的值；再根据关系式 50x+30（29x ）可求得获得的奖金【解答】解：（1）由频数分布表可知总数为： =40 人则 a=400.05=2 人，b=100%5%22.5%25%35%=12.5%；（2）如图所示：（3）由表得，有 29 名同学获得一等奖或二等奖，设有 x 名同学获得一等奖，则有（ 29x）名同学获得二等奖，根据题意得：15x+10（29 x
29、）=335，解得 x=9，50x+30（29x）=1050所以他们得到的奖金是 1050 元【点评】本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力同时考查解方程得能力读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题21如图，点 A、B 为地球仪的南、北极点，直线 AB 与放置地球仪的平面交于点 D，第 20 页（共 28 页）所成的角度约为 67，半径 OC 所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E DE=15cm，AD=14cm求半径 OA 的长（精确到 0.1cm）参考数据：sin670.92，cos67 0.39 ，t
30、an67 2.36【考点】解直角三角形的应用【专题】计算题【分析】在 RtODE 中， DE=15，ODE=67，根据ODE 的余弦值，即可求得 OD 长，减去 AD 即为 OA【解答】解：在 RtODE 中，DE=15，ODE=67，cosODE= ，OD 38.46 （cm），OA=ODAD 38.461424.5 （cm）答：半径 OA 的长约为 24.5cm【点评】本题首先把实际问题转化成数学问题，主要利用了三角函数中余弦定义来解题22如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）作出关于直线 AB 的轴对称图形；（2）将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针
31、旋转 90；（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽第 21 页（共 28 页）【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案【专题】网格型【分析】画轴对称图形时，要明确对称轴，对称点的位置，画出图形后要体会对称性；旋转 90，要明确旋转中心，旋转方向，充分利用网格作 90的旋转【解答】解：如图【点评】本题考查了网格里的旋转，轴对称，通过补全图形，体会图形变换的美感，提高学习兴趣23 “一方有难，八方支援”在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织 20 辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共 100 吨到灾民安置点按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同
32、一种救灾物资且必须装满根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类 食品 药品 生活用品每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨所需运费（元/ 吨） 120 160 100（1）设装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y求 y 与 x 的函数关系式；第 22 页（共 28 页）（2）如果装运食品的车辆数不少于 5 辆，装运药品的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费【考点】一次函数的应用【专题】压轴题；方案型【分析】（1）装运生活用品的车辆数为（20xy），根据三种救灾物资共 100 吨
33、列出关系式；（2）根据题意求出 x 的取值范围并取整数值从而确定方案；（3）分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答【解答】解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y，那么装运生活用品的车辆数为（20xy），则有 6x+5y+4（20xy）=100，整理得，y=2x +20；（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为 x，202x，x ，由题意，得 ，解这个不等式组，得 5x8 ，因为 x 为整数，所以 x 的值为 5，6，7，8所以安排方案有 4 种：方案一：装运食品 5 辆、药品 10 辆，生活用品 5 辆；方案二：
34、装运食品 6 辆、药品 8 辆，生活用品 6 辆；方案三：装运食品 7 辆、药品 6 辆，生活用品 7 辆；方案四：装运食品 8 辆、药品 4 辆，生活用品 8 辆（3）设总运费为 W（元），则 W=6x120+5（20 2x） 160+4x100第 23 页（共 28 页）=16000480x，因为 k=4800，所以 W 的值随 x 的增大而减小要使总运费最少，需 x 最大，则 x=8故选方案 4W 最小 =160004808=12160 元最少总运费为 12160 元【点评】此题运用一次函数的性质求最值重在求自变量的取值范围；方案设计是在自变量的取值范围中取特殊值来确定24如图所示，已知
35、抛物线 y=x21 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积；（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx 轴于点 G，使以A、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似？若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；开放型；分类讨论【分析】（1）抛物线与 x 轴的交点，即当 y=0，C 点坐标即当 x=0，分别令 y 以及 x 为0 求出 A，B ，C 坐标的值；（2）四边形 ACBP 的面积=ABC+ABP，由 A
36、，B，C 三点的坐标，可知ABC 是直角三角形，且 AC=BC，则可求出ABC 的面积，根据已知可求出 P 点坐标，可知点 P 到直线 AB 的距离，从而求出 ABP 的面积，则就求出四边形 ACBP 的面积；第 24 页（共 28 页）（3）假设存在这样的点 M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知， PAC 和MGA 是直角，只需证明 或 即可设 M 点坐标，根据题中所给条件可求出线段 AG，CA，MG ，CA 的长度，然后列等式，分情况讨论，求解【解答】解：（1）令 y=0，得 x21=0解得 x=1，令 x=0，得 y=1A（1 ，0），B（1 ，0），C （0 ， 1）；（2）OA
37、=OB=OC=1，BAC=ACO=BCO= CBO=45AP CB，PAB=CBO=45过点 P 作 PE x 轴于 E，则APE 为等腰直角三角形，令 OE=a，则 PE=a+1，P（a，a+1）点 P 在抛物线 y=x21 上，a +1=a21解得 a1=2，a 2=1（不合题意，舍去）PE=3四边形 ACBP 的面积 S= ABOC+ ABPE= 21+ 23=4；第 25 页（共 28 页）（3）假设存在PAB=BAC=45，PA ACMGx 轴于点 G，MGA=PAC=90在 RtAOC 中，OA=OC=1，AC=在 RtPAE 中，AE=PE=3，AP=3设 M 点的横坐标为 m，
38、则 M（m，m 21）点 M 在 y 轴左侧时，则 m1（）当AMGPCA 时，有 AG= m1， MG=m21即解得 m1=1（舍去） m2= （舍去）（）当MAGPCA 时有 ，第 26 页（共 28 页）即 解得：m=1（舍去） m2=2M（ 2，3）点 M 在 y 轴右侧时，则 m1（）当AMGPCA 时有AG=m+1， MG=m21解得 m1=1（舍去） m2= M（ ， ）（）当MAGPCA 时有 ，即 解得：m 1=1（舍去）m 2=4，M（ 4，15）存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似M 点的坐标为（2，3 ），（ ， ），（4，15）第 27 页（共 28 页）【点评】考查抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论第 28 页（共 28 页）