1、2023年山东省德州市德城区中考二模数学试题一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 在0，3，这四个数中，最大的数是（）A 0B. C. 3D. 2. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 83. 若，则的值为（）A. 8B. 4C. 3D. 24. 今年是我国现行宪法公布施行40周年为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表，则分数的中位数和众数分别是（ ）分数（分）60708090100人数822203020A. 80分，90分B. 90分，100
2、分C. 85分，90分D. 90分，90分5. 已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D. 6. 如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）A. 15B. 16C. 20D. 257. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺向木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B. C. D. 8. 如图，已知点（点在点左边）分别表示数1，若数轴上表示数5的点到和的距离相等，则的值为（ ）A
3、. B. C. 0D. 或09. 如图，直线l1l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E若ECA40，则下列结论错误的是（ ）A. ABC =70B. BAD =80C. CE =CDD. CE =AE10. 将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位后与x轴交点的横坐标之差为3，则m的值等于（ ）A. 2B. C. 1D. 11. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则co
4、sAPC的值为（）A. B. C. D. 12. 如图，在ABCD中，点E在AD上，则的值是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 计算：_14. 某学校男生体育测试从立定跳远、引体向上、100米跑、1000米跑四个项目中随机抽取两项进行测试，恰好抽到立定跳远和100米跑的概率为_15. 如图，是的外接圆，若，弦是内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为_ 16. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为110时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是_
5、17. 如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 _18. ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC=20，则BAF_；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是_三、解答题（本大题共7小题，共78分）19. 先化简，再求值其中的值是一元二次方程的解20. 某学校对九年级共500名男生进行体能测试从中任意选取40名的测试成绩进行分析，分为甲，乙两组，绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）甲组成绩统计表成绩78910人数1955请根据上面的信息，解答下列问题：
6、（1）_：（2）从平均分角度看，评价甲，乙两个小组成绩；（3）估计该校男生在这次体能测试中拿满分的人数21. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？22. 阅读与思考下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务如果，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立例题
7、：当时，求的最小值解：令，由，得，故当时，有最小值2任务：（1）填空：已知，只有当_时，有最小值，最小值为_（2）如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值23. 如图，是的外接圆，AB是直径，连接AD，AC与OD相交于点E（1）求证：AD是的切线；（2）若，求的半径24. 平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点（1）如图1，若点G坐标为，则点E的坐标为_，点F的坐标为_；（2）如图2，将正方形绕O点旋转，过G作轴于N，M为的中点，问：的大小是否发生变化？说明理由；（3）如图3，直线交于N，交x轴于M，下列关系式：；，哪个是正确的？证明你的结论25. 在平面直角坐标系中
8、，函数函数（m为常数）的图象记为G（1）设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标（2）判断图象G与x轴公共点的个数并说明理由（3）当时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围（4）线段端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时m的值2023年山东省德州市德城区中考二模数学试题一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 在0，3，这四个数中，最大的数是（）A. 0B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据无理数的估算、实数的大小比较法则即可得【详解】解：，即，故选：D【点睛】本题考查了无理数的估算、
9、实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键2. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键3. 若，则的值为（）A. 8B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘计算，即可求解【详解】解：，故选：B【点睛】本题主要考查了同底数幂相
10、乘，熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键4. 今年是我国现行宪法公布施行40周年为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表，则分数的中位数和众数分别是（ ）分数（分）60708090100人数822203020A. 80分，90分B. 90分，100分C. 85分，90分D. 90分，90分【答案】C【解析】【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【详解】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第50、51个数的平均数，所以全班100名同学的成绩的中位数是：(分)；90出现了30次，出现的次
11、数最多，则众数是90，所以这些成绩的中位数和众数分别是85分，90分故选：C【点睛】此题考查了中位数和众数解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数5. 已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】观察函数图象得到即可详解】解：由图象可得：当时，所以关于x的不等式的解集是故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数
12、的角度看，就是寻求使一次函数y的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合6. 如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）A. 15B. 16C. 20D. 25【答案】A【解析】【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积【详解】解：由题可得，圆锥的底面直径为6，高为4，圆锥的底面周长为，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积，故选：A【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长7. 我国古代数学名著孙
13、子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺向木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺”可知：绳子=木条，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子木条，据此列出方程组即可【详解】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，所列方程组为故选A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一
14、次方程组是解题的关键8. 如图，已知点（点在点的左边）分别表示数1，若数轴上表示数5的点到和的距离相等，则的值为（ ）A. B. C. 0D. 或0【答案】A【解析】【分析】由数轴上表示数5的点到和的距离相等得到，解得或，由点在点的左边可以得到【详解】解：数轴上表示数5的点到和的距离相等，整理得：，或，解得：或，点在点的左边，故选：A【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键9. 如图，直线l1l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重
15、合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E若ECA40，则下列结论错误的是（ ）A. ABC =70B. BAD =80C. CE =CDD. CE =AE【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质得出CAB40，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可【详解】A.直线l1l2，ECACAB40，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，BAACAD，ABC70，故A正确，不符合题意；B.以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），CBCD，CABDAC40，BAD404080，故B正确，不符合题意；CECABAC40，CAD40，
16、BADCED80，CDAABC70，CECD，故C错误，符合题意；D.ECA40，DAC40，ECA=DAC，CEAE，故D正确，不符合题意【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出CAB4010. 将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位后与x轴交点的横坐标之差为3，则m的值等于（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位可得：，令，可得，利用，再建立方程求解即可【详解】解：将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位可得：，令，而，解得：，故选B【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，
17、二次函数与x轴的交点坐标，根与系数的关系，灵活运用以上知识解题是关键11. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cosAPC的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DEAB，由勾股定理逆定理可以证明DCE为直角三角形，所以cosAPCcosEDC即可得答案【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图则DEAB，APCEDC 在DCE中，有，是直角三角形，且，cosAPCcosEDC故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线
18、是解题关键12. 如图，在ABCD中，点E在AD上，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点B作BFAD于F，由平行四边形性质求得A=75，从而求得AEB=180-A-ABE=45，则BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案【详解】解：如图，过点B作BFAD于F，ABCD，CD=AB，CDAB，ADC+BAD=180，A=75，ABE=60，AEB=1
19、80-A-ABE=45，BFAD，BFD=90，EBF=AEB=45，BF=FE，AD=BD，ABD=A=75，ADB=30，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，AB=CD，故选：D【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BFAD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 计算：_【答案】9【解析】【分析】根据平方差公式进行计算即可得
20、到答案.【详解】根据平方差公式可得，故答案为9.【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运用.14. 某学校男生体育测试从立定跳远、引体向上、100米跑、1000米跑四个项目中随机抽取两项进行测试，恰好抽到立定跳远和100米跑的概率为_【答案】【解析】【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“立定跳远”、“1分钟跳绳”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】用1，2，3，4分别表示立定跳远、引体向上、100米短跑，1000米跑画树状图得：共有12种等可能的结果，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”两项的有2种情况，恰好抽到“立定跳远”和“1
21、00米短跑”的概率是：故答案为：【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比15. 如图，是的外接圆，若，弦是内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为_ 【答案】十二#12【解析】【分析】连接，由圆周角定理可得，即可求解【详解】解：连接，如下图： 由圆周角定理可得：，则该正多边形是正十二边形，故答案为：十二【点睛】此题考查了圆与正多边形，涉及了圆周角定理，解题的关键是求得的度数16. 化学中直链烷烃的名称
22、用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为110时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是_【答案】16【解析】【分析】根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出庚烷分子结构式中“H”的个数【详解】由图可得，甲烷分子结构式中“H”的个数是，乙烷分子结构式中“H”的个数是，丙烷分子结构式中“H”的个数是，庚烷分子结构式中“H”的个数是：故答案为：16【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点17. 如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范
23、围为 _【答案】或#或【解析】【分析】利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论【详解】解：由题意，直线与函数的图象恒相交，当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，解得：；当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，当时，直线与函数的图象只有一个交点；当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是
24、解题的关键18. ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC=20，则BAF_；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是_【答案】 . 80 . #【解析】【分析】利用SAS证明BDCAEC，得到DBC=EAC=20，据此可求得BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得AFB=60，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CDBF时，FBC最大，则FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可【详解】解：ABC和DCE都是等边三角形，AC=BC，DC=EC，BAC=AC
25、B=DCE=60，DCB+ACD=ECA+ACD=60，即DCB =ECA，在BCD和ACE中，ACEBCD（ SAS），EAC=DBC，DBC=20，EAC=20，BAF=BAC+EAC=80；设BF与AC相交于点H，如图：ACEBCDAE=BD，EAC=DBC，且AHF=BHC，AFB=ACB=60，A、B、C、F四个点在同一个圆上，点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CDBF时，FBC最大，则FBA最小，此时线段AF长度有最小值，在RtBCD中，BC=5，CD=3，BD=4，即AE=4，FDE=180-90-60=30，AFB=60，FDE=FED=30，FD=F
26、E，过点F作FGDE于点G，DG=GE=，FE=DF=，AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件三、解答题（本大题共7小题，共78分）19. 先化简，再求值其中的值是一元二次方程的解【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算法则计算，即可化简，再求出方程的根据，然后选择使分式有意义的值代入化简式计算即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则和解一元二次方程是解题的关键20. 某学校对九年级共500名男生进行体能测试
27、从中任意选取40名的测试成绩进行分析，分为甲，乙两组，绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）甲组成绩统计表成绩78910人数1955请根据上面的信息，解答下列问题：（1）_：（2）从平均分角度看，评价甲，乙两个小组的成绩；（3）估计该校男生在这次体能测试中拿满分的人数【答案】（1）3 （2）甲组成绩比乙组好 （3）100【解析】【分析】（1）直接利用40减去甲乙两组中其余成绩的人数即可（2）分别计算甲乙两组的平均分并进行比较即可（3）先计算样本数据中拿满分人数的比例，再乘以500即可【小问1详解】解：，故答案为：3【小问2详解】（分），（分），甲组成绩比乙组好【小问3详解】选
28、取40名的测试成绩中，满分人数为（人），估计该校男生在这次体能测试中拿满分的人数为（人）答案为：100人【点睛】本题考查了条形统计图和统计表，加权平均数以及用样本估计总体，解题关键是掌握计算公式以及理解相关概念21. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？【答案】（1）
29、实际施工时，每天改造管网的长度是72米 （2）以后每天改造管网至少还要增加36米【解析】【分析】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解；（2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，由题意得：，解得：，经检验，是原方程解，且符合题意此时，60（1+20%）=72（米）答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；（2）设以后每天改造管网还要增加米，由题意得：，解得：答：以后每天改造管网至少还要增加36米【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常
30、规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式22. 阅读与思考下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务如果，那么，即，得，即是最小值，当时，等号成立例题：当时，求的最小值解：令，由，得，故当时，有最小值2任务：（1）填空：已知，只有当_时，有最小值，最小值为_（2）如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值【答案】（1）2,4 （2）【解析】【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；（2）设的坐标为，可得，然后根据阅读材料的结论解答即可【小问1详解】解：令，由，得，故当时，有最小值4故答案为2,4【小问2详解】解
31、：设的坐标为，的最小值为【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解成为解答本题的关键23. 如图，是的外接圆，AB是直径，连接AD，AC与OD相交于点E（1）求证：AD是的切线；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）先证BOC +AOD=90，再因为，得出ADO +AOD=90，即可得OAD=90，即可由切线的判定定理得出结论；（2）先证明AED=DAE，得出DE=AD=，再证OAC=OCA，得tanOAC= tanOCA=,设OC=OA=R,则OE=R，在RtOAD中，由勾股定理，得，解之即可【小问1详解】证明：，COD
32、=90，BOC+COD+AOD=180，BOC +AOD=90，ADO +AOD=90，ADO +AOD+OAD=180，OAD=90，OA是O的半径，AD是O的切线；【小问2详解】解：AB是O的直径，ACB=90，B+BAC=90，BAC+CAD=OAD=90，B=CAD，B+BOC+OCB=ADO+CAD+AED=180，ADO=BOC，AED=OCB，OB=OC，B=OCB，AED=CAD，DE=AD=，OC=OA，OAC=OCA，OCOD，COE=90，tanOAC= tanOCA=,设OC=OA=R,则OE=R，在RtOAD中，OAD=90，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即，
33、解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）, O的半径为2【点睛】本题考查切线判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键24. 平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点（1）如图1，若点G坐标为，则点E的坐标为_，点F的坐标为_；（2）如图2，将正方形绕O点旋转，过G作轴于N，M为的中点，问：的大小是否发生变化？说明理由；（3）如图3，直线交于N，交x轴于M，下列关系式：；，哪个是正确的？证明你的结论【答案】（1）； （2）的大小不发生变化，理由见解析 （3）结论正确，证明见解析【解析】【分析】（1）连接，交于点K，过
34、点G作轴于点P，过点E作轴于点Q，证明，可得，从而得到点，再由中点坐标公式，即可求解；（2）过点M作轴于点H，交延长线于点J，连接交y轴于点K，可得，再根据角平分线的性质定理，即可求解；（3）把绕点O顺时针旋转得到，则，根据正方形的性质可得，从而得到，再证明，可得，在中，根据勾股定理，即可【小问1详解】解如图，连接，交于点K，过点G作轴于点P，过点E作轴于点Q，点，四边形是正方形，点，点，点；故答案为：；【小问2详解】解 的大小不发生变化，理由如下：如图，过点M作轴于点H，交延长线于点J，连接交y轴于点K，轴，轴，平分，；【小问3详解】解结论正确，证明如下：如图，把绕点O顺时针旋转得到，则点E
35、与点G重合，四边形是正方形，点，点A到x轴，y轴的距离相等，点A在第二象限的角平分线上，在中，故结论是正确的【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，勾股定理，图形的旋转的性质是解题的关键25. 在平面直角坐标系中，函数函数（m为常数）的图象记为G（1）设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标（2）判断图象G与x轴公共点的个数并说明理由（3）当时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围（4）线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（
36、点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时m的值【答案】（1）；顶点坐标为 （2）两个，理由见解析 （3） （4）最小值为，的值为3【解析】【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；（2）令，则，利用一元二次方程的判别式大于0解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；（4）利用勾股定理求得线段的长，利用，的坐标得到的长，则当取得最小值时，四边形的周长最小，将点向左平移四个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，利用将军饮马模型即可求得的最小值；利用勾股定理计算得到，则四边形周长的最小值可求，利用待定系数法
37、求得的解析式，令即可求得点坐标，则值可求【小问1详解】解：经过点，解得：或4，此函数的表达式为，此函数图象的顶点坐标为；【小问2详解】图象与轴公共点的个数为两个，理由：令，则，方程由两个不相等的实数根，即抛物线图象与轴有两个公共点；【小问3详解】，抛物线的顶点为当时，由于，则，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，由题意得：，解得：，均不符合题意，舍去；当时，则，且，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，由题意得：，符合题意，当时符合题意；时，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，由题意得：，解得：，不合题意，舍去，综上，的取值范围为：；【小问4详解】令，则，解得：或，点在点左侧，如图，当四边形的周长最小时，即最小将点向左平移四个单位得到，则，四边形为平行四边形，作点关于轴的对称点，连接，则，由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为，四边形的周长的最小值为：；设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，令，则，此时，四边形周长的最小值为，此时的值为3【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，一元二次方程的判别式，抛物线与轴的交点，轴对称的性质，函数的最值，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键