1、2017 年安徽省亳州市利辛县中考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共分 40）12017 的相反数是（ ）A2017 B2017 C D2下列运算正确的是（ ）A B（m 2） 3=m5 Ca 2a3=a5 D（x+y ） 2=x2+y23据合肥市旅游局统计显示，2017 年春节 7 天长假，合肥的景区、景点以及农家乐接待游客数目共达到 265 万人次，旅游总收入达到 14.3 亿元，其中 14.3亿元用科学记数法表示是（ ）A14.310 8 元 B1.4310 8 元 C1.4310 9 元 D14.310 9 元4下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
2、 ）A B C D5如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D6下列调查适合普查的是（ ）A调查 2017 年 2 月份利辛市场上某品牌饮料的质量B调查某月份长江安徽段水域的水质量情况C光明节能厂检测一批新型节能灯的使用寿命D了解某班 50 名学生的年龄情况7将一副直角三角板按如图方式放置，使直角顶点 C 重合，当 DEBC 时， 的度数是（ ）度A90 B120 C105 D1008某县以“重点整治环境卫生” 为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017 年起到 2019 年累计投入 4250 万元，已知 2017 年投入 1500 万元，设
3、投入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A1500（1+x） 2=4250B1500 （1+2x）=4250C1500 +1500x+1500x2=4250D1500（1+x）+1500（1+x） 2=425015009如图，D、E、F 分别是等腰三角形 ABC 边 BC、CA、AB 上的点，如果AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE= ，FDE=B，那么 AF 的长为（ ）A5.5 B4 C4.5 D3.510如图，RtABC 中，C=90，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 上，C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，
4、Rt ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列中能表示 y 与 x 之间的关系的是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11因式分解：ab 26ab+9a= 12函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 13如图，AB 是O 的弦，AB=6，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 14在矩形 ABCD 中有一个菱形 BEDF（点 E、F 分别在线段 AB、CD 上）记它们的面积分别为 S 矩形 ABCD 和 S 菱形 BEDF，若 S 矩形 ABCD：S 菱形 BFDE=
5、（2+ ）：2，给出如下结论：AB：BE=（2+ ）：2；AE=BE；tan EDF= ；FBC=60其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）三、解答题（本大题共 2 小题，共 16 分）15计算：4cos45 +（ 2017） 0+（1） 316观察下列式子（1）根据上述规律，请猜想，若 n 为正整数，则 n= （2）证明你猜想的结论四、解答题（共 2 小题，满分 16 分）17如图，已知 A（3， 3），B（ 2，1），C（ 1，2）是平面直角坐标系上三点（1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；（2）请画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90得到A 2B2C
6、2；（3）在（1）中，若ABC 上有一点 P（m，n），请直接写出对应点 P1 的坐标18已知，某一次函数与反比例函数相交于 A（1 ，3），B （m ，1），求：（1）m 的值与一次函数的解析式；（2）ABO 的面积五、解答题（共 2 小题，满分 20 分）19如图，AB 是O 的切线，B 为切点，圆心 O 在 AC 上，A=30，D 为的中点（1）求证：AB=BC（2）试判断四边形 BOCD 的形状，并说明理由20如图，电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆，在离电线杆 6 米的 B 处安置测角仪（点 B，E，D 在同一直线上），在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 3
7、0，已知测角仪的高 AB= 米，BE=3 米，求拉线 CE 的长六、（本题满分 12 分）21某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表成绩，单位：次，且 100x200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中 B、E 两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：测试成绩频数分布表组别 成绩 x 次 频数（人数）频率A 100x120 5B 120x140 bC 140x160 15 30%D 160x180 10E 180x200 a（1）填空：a= ，b= ，本次跳绳测试成绩的中位数落
8、在 组（请填写字母）；（2）补全频数分布直方图；（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为 185 次、195 次，现要从 E组中随机选取 2 人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少 1 人被选中的概率七、本题（满分 12 分）22某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（xh） 2+k的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、10、12，点 A
9、、B 的纵坐标分别为 16、20 2-1-c-n-j-y（1）试确定函数关系式 y=a（x h） 2+k；（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？八、本题（满分 14 分）23如图（1），P 为ABC 所在平面上一点，且 APB= BPC= CPA=120，则点 P 叫做 ABC 的费马点（1）若点 P 是等边三角形三条中线的交点，点 P （填是或不是）该三角形的费马点（2）如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC ，分
10、别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE和 BD 相交于 P 点如图（2）求CPD 的度数；求证：P 点为 ABC 的费马点2017 年安徽省亳州市利辛县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共分 40）12017 的相反数是（ ）A2017 B2017 C D【考点】相反数【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【解答】解：2017 的相反数是 2017，故选：A2下列运算正确的是（ ）A B（m 2） 3=m5 Ca 2a3=a5 D（x+y ） 2=x2+y2【考点】完全平方公式；算术平方根；同底数幂的乘法
11、；幂的乘方与积的乘方【分析】A、利用平方根定义化简得到结果，即可做出判断；B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断【解答】解：A、 =3，本选项错误；B、（ m2） 3=m6，本选项错误；C、a 2a3=a5，本选项正确；D、（x+y） 2=x2+y2+2xy，本选项错误，故选 C3据合肥市旅游局统计显示，2017 年春节 7 天长假，合肥的景区、景点以及农家乐接待游客数目共达到 265 万人次，旅游总收入达到 14.3 亿元，其中 14.3亿元用科学记数法表示是（ ）A14.310
12、 8 元 B1.4310 8 元 C1.4310 9 元 D14.310 9 元【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 14.3 亿元用科学记数法表示为 1.43109 元故选 C4下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可【解答】解：A、是轴对称图
13、形，是中心对称图形故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：A5如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形故选 B6下列调查适合普查的是（ ）A调查 2017 年 2 月份利辛市场上某品牌饮料的质量B调查某月份长江安徽段水域的水质量情况C光明节能厂检测一批新型节能灯的使用寿命D了解某班
14、50 名学生的年龄情况【考点】全面调查与抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可【解答】解：A、调查 2017 年 2 月份利辛市场上某品牌饮料的质量适合抽样调查；B、调查某月份长江安徽段水域的水质量情况适合抽样调查；C、光明节能厂检测一批新型节能灯的使用寿命适合抽样调查；D、了解某班 50 名学生的年龄情况适合普查，故选：D7将一副直角三角板按如图方式放置，使直角顶点 C 重合，当 DEBC 时， 的度数是（ ）度A90 B120 C105 D100【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质可得DCB=D=45 ，
15、再利用三角形外角的性质可得=45+60=105【解答】解：DEBC，DCB=D=45 ，B=60，=45+60=105，故选：C 8某县以“重点整治环 境卫生 ”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017 年起到 2019 年累计投入 4250 万元，已知 2017 年投入 1500 万元，设投入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A1500（1+x） 2=4250B1500 （1+2x）=4250C1500 +1500x+1500x2=4250D1500（1+x）+1500（1+x） 2=42501500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】如果设投入
16、经费的年平均增长率为 x，根据 2017 年投入 1500 万元，得出 2018 年投入 1500（1+x）万元，2019 年投入 1500（1+x） 2 万元，然后根据三年共投入 4250 万元可得出方程【解答】解：设 20172019 年投入经费的年平均增长率为 x，则 2018 年投入1500（1+x）万元，2019 年投入 1500（1+x） 2 万元，根据题意得 1500（1+x）+1500（1+x） 2=42501500故选 D9如图，D、E、F 分别是等腰三角形 ABC 边 BC、CA、AB 上的点，如果AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE= ，FDE=B，那么 AF
17、的长为（ ）A5.5 B4 C4.5 D3.5【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【分析】注意到BDF 与CED 相似，利用相似比求出 BF，然后得出 AF 的长度【解答】解：AB=AC ，B=C，FDE=B，BDF+BFD=BDF+EDC，BFD=CDE，BDFCED， ， ，BF=1.5，AF=ABBF=AC BF=AE+CEBF=4故选 B10如图，RtABC 中，C=90，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 上，C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，Rt ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列中能表示 y 与 x 之间
18、的关系的是（ ）A B C D【考点】动点问题的函数图象【分析】分类讨论：当 0x1 时，根据正方形的面积公式得到 y=x2；当1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到 y=x22（x1） 2，配方得到y=（x2） 2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断21cnj y【解答】解：当 0x1 时，y=x 2，当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图，CD=x，则 AD=2x，Rt ABC 中，AC=BC=2，ADM 为等腰直角三角形，DM=2x，EM=x （2x）=2x2，
19、S ENM = （2x2） 2=2（x1） 2，y=x 22（x1） 2=x2+4x2=（x 2） 2+2，y= 故选：B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11因式分解：ab 26ab+9a= a（b 3） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式 a，再利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：ab 26ab+9a，=a（b 26b+9），=a（b3） 212函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x1 【考点】函数自变量的取值范围【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为 0；偶次根式被开方数大于或等于 0；当一个式子中同时出现这两点时，应该
20、是取让两个条件都满足的公共部分【解答】解：根据题意得到：x10，解得 x1故答案为：x113如图，AB 是O 的弦，AB=6，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 3 【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理【分析】根据中位线定理得到 MN 的最大时，AC 最大，当 AC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值【解答】解：点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，MN= AC，当 AC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 AC 是直径时，最大，如图，ACB=D=45 ，AB=6，AD=6 ，MN= AD=3
21、故答案为：3 14在矩形 ABCD 中有一个菱形 BEDF（点 E、F 分别在线段 AB、CD 上）记它们的面积分别为 S 矩形 ABCD 和 S 菱形 BEDF，若 S 矩形 ABCD：S 菱形 BFDE=（2+ ）：2，给出如下结论：AB：BE=（2+ ）：2；AE=BE；tan EDF= ；FBC=60其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）【考点】四边形综合题；菱形的性质；矩形的性质【分析】由图可得矩形的宽和菱形的高相等，根据它们的面积关系即可得出AB：BE 的值；根据 AE：BE=（2+ ）：2，可得 AE=BE 错误；由菱形的性质得出 DEBF，DE=BE，得出
22、BFC= EDF ，由三角函数求出ADE=60，得出ADC= C=90 ，求出 EDF=30，即可得到 tanEDF 的值；根据BFC=30，即可得出FBC=60；最后得出正确的结论【解答】解：如图所示，S 矩形 ABCD：S 菱形 BFDE= =（2+ ）：2，AB：BE= （2+ ）：2，故正确；AB：BE= （2+ ）：2，AE： BE= ：2，故错误；四边形 BFDE 是菱形，DE BF， DE=BE，BFC= EDF，sin ADE= = = ，ADE=60 ，ADC= C=90，EDF=9060=30 ，tanEDF= ，故正确；DE BF，BFC=30，FBC=9030=60，故
23、正确；综上所述，正确的结论为故答案为：三、解答题（本大题共 2 小题，共 16 分）15计算：4cos45 +（ 2017） 0+（1） 3【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】原式利用特殊角的三角函数值，二次根式性质，零指数幂，以及乘方的意义计算即可得到结果【解答】解：原式=4 2 +11=016观察下列式子（1）根据上述规律，请猜想，若 n 为正整数，则 n= （n+1） + （2）证明你猜想的结论【考点】有理数的混合运算【分析】（1）根据所给的 4 个算式，可得：若 n 为正整数，则 n=（n+1） +（2）用数学归纳法证明猜想的结论即可【解答】（1）解：若 n 为正整
24、数，则 n=（n+1） + （2）证明：n=1 时，显然成立假设 n=k 时成立，则 k=（k+1） + ，那么 n=k+1 时，k+1=（ k+1） + +1=（k+2 ） +故答案为：（n+1） + 四、解答题（共 2 小题，满分 16 分）17如图，已知 A（3， 3），B（ 2，1），C（ 1，2）是平面直角坐标系上三点（1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；（2）请画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90得到A 2B2C2；（3）在（1）中，若ABC 上有一点 P（m，n），请直接写出对应点 P1 的坐标【考点】作图旋转变换；作图 轴对称变换【分析】（1）分别作出各点关于
25、 x 轴的对称点，再顺次连接各点即可；（2）根据图形旋转的性质画出A 2B2C2 即可；（3）根据关于 x 轴对称的点的坐标特点即可得出结论【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 即为所求；（2）如图，A 2B2C2 即为所求；（3）ABC 与A 1B1C1 关于 x 轴对称，P（m ，n），P 1（m，n）18已知，某一次函数与反比例函数相交于 A（1 ，3），B （m ，1），求：（1）m 的值与一次函数的解析式；（2）ABO 的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）设一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=ax+b（k0），y=（k0），将 A 坐标代入反比例解析式中求
26、出 k 的值，确定出反比例解析式，再将 B 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求出 a 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设一次函数与 x 轴交于 C 点，求出 C 坐标，三角形 AOB 的面积=三角形AOC三角形 BOC 的面积，求出即可【解答】解：（1）设一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=ax+b（k0），y= （ k0），反比例函数 y= （k0）的图象经过点 A（1， 3），k=1 3=3，反比例函数的解析式为 y= ，点 B（m，1）在反比例函数的图象上，1=m=3 ，点 B 的坐标为（3，1），一次函数
27、的图象经过点 A，B，将这两个点的坐标代入 y=kx+b，得 ，解得： ，则所求一次函数的解析式为 y=x+4；（2）设一次函数 y=x+4 的图象交 x 轴于点 C，C 点坐标为（4，0），即 OC=4，A 点的纵坐标为 3，B 点的纵坐标为 1，S AOB =SAOC SBOC = OC3 OC1= 42=4五、解答题（共 2 小题，满分 20 分）19如图，AB 是O 的切线，B 为切点，圆心 O 在 AC 上，A=30，D 为的中点（1）求证：AB=BC（2）试判断四边形 BOCD 的形状，并说明理由【考点】切线的性质；菱形的判定【分析】（1）由 AB 是O 的切线，A=30，易求得O
28、CB 的度数，继而可得A=OCB=30 ，又由等角对等边，证得 AB=BC；（2）首先连接 OD，易证得BOD 与COD 是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形 BOCD 是菱形【解答】解：（1）AB 是O 的切线，OBA=90，AOB=9030=60OB=OC，OBC=OCB ，OCB=30=A，AB=BC（2）四边形 BOCD 为菱形，理由如下：连接 OD 交 BC 于点 M，D 是 的中点，OD 垂直平分 BC在 Rt OMC 中，OCM=30，OC=2OM=ODOM=MD，四边形 BOCD 为菱形20如图，电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆，在离
29、电线杆 6 米的 B 处安置测角仪（点 B，E，D 在同一直线上），在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30，已知测角仪的高 AB= 米，BE=3 米，求拉线 CE 的长【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】过 A 作 AM 垂直于 CD，垂足为 M，根据正切的定义出去 CM，得到DE 的长，根据勾股定理计算即可www-2-1-cnjy-com【解答】解：过 A 作 AM 垂直于 CD，垂足为 M，则 AM=BD=6，CM=AMtanACM=2 ，CD=CM+MD=3 ，又 DE=3利用勾股定理得 CE= =6 米答：拉线 CE 的长 6 米六、（本题满分 12 分）21某数学兴趣
30、小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表成绩，单位：次，且 100x200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中 B、E 两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：测试成绩频数分布表组别 成绩 x 次 频数（人数）频率A 100x120 5B 120x140 bC 140x160 15 30%D 160x180 10E 180x200 a（1）填空：a= 4 ，b= 32% ，本次跳绳测试成绩的中位数落在 C 组（请填写字母）；（2）补全频数分布直方图；（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩
31、分别为 185 次、195 次，现要从 E组中随机选取 2 人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少 1 人被选中的概率【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数【分析】（1）根据 C 的人数除以 C 所占的百分比，可得总人数，进而可求出A，D 的所占百分比，则 a，b 的值可求；根据中位线的定义解答即可；（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人中至少 1 人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）由题意可知总人数=1530%=50（人），所以 D
32、 所占百分比=10 50100%=20%，A 所占百分比=550100%=10%，因为 B、E 两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，所以 5a=5051510，解得 a=4，所以 b=1650100%=32%，因为 B 的人数是 16 人，所以中位线落在 C 组，故答案为 4，32%，C；（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：（3）设甲为 A，乙为 B，画树状图为：由树状图可知从 E 组中随机选取 2 人介绍经验，则甲、乙两人中至少 1 人被选中的概率= = 七、本题（满分 12 分）22某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月份中
33、，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（xh） 2+k的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、10、12，点 A、B 的纵坐标分别为 16、20（1）试确定函数关系式 y=a（x h） 2+k；（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，16），设出抛物线的顶点式，把（
34、10，20）代入即可求出 a 的值，把 a 的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润（3）根据前 x 个月内所获得的利润减去前 x1 个月内所获得的利润，再减去 16即可表示出第 x 个月内所获得的利润，为关于 x 的一次函数，且为增函数，得到 x 取最大为 12 时，把 x=12 代入即可求出最多的利润【解答】解：（1）根据题意可设：y=a（x 4） 216，当 x=10 时， y=20，所以 a（104） 216=20，解得 a=1，所求函数关系式为：y=（x4） 216（2）当 x=9 时，y= （94） 216=9，所以前 9 个月公
35、司累计获得的利润为 9 万元，又由题意可知，当 x=10 时，y=20 ，而 209=11，所以 10 月份一个月内所获得的利润 11 万元（3）设在前 12 个月中，第 n 个月该公司一个月内所获得的利润为 s（万元）则有：s=（n 4） 216（n 14） 216=2n9，因为 s 是关于 n 的一次函数，且 20，s 随着 n 的增大而增大，而 n 的最大值为 12，所以当 n=12 时，s=15 ，所以第 12 月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是 15 万元八、本题（满分 14 分）23如图（1），P 为ABC 所在平面上一点，且 APB= BPC= CPA=120，则点
36、P 叫做 ABC 的费马点（1）若点 P 是等边三角形三条中线的交点，点 P 是 （填是或不是）该三角形的费马点（2）如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC ，分别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE和 BD 相交于 P 点如图（2）求CPD 的度数；求证：P 点为 ABC 的费马点【考点】相似形综合题【分析】（1）依据等腰三角形三线合一的性质可知：MB 平分ABC ，则ABP=30，同理BAP=30，则APB=120 ，同理可求得 APC，BPC 的度数，然后可作出判断；（2）由费马点的定义可知PAB=PBC，然后再证明PA
37、B=PBC 即可；（3）如图 2 所示：首先证明ACEABD，则1=2，由3=4 可得到CPD=5； 由CPD=60 可证明BPC=120，然后证明ADFCFP，由相似三角形的性质和判定定理再证明AFPCDF，故此可得到APF=ACD=60，然后可求得APC=120，接下来可求得 APB=120【解答】解：（1）如图 1 所示：AB=BC，BM 是 AC 的中线，MB 平分 ABC同理：AN 平分BAC，PC 平分BCAABC 为等边三角形，ABP=30，BAP=30APB=120同理：APC=120，BPC=120P 是ABC 的费马点故答案为：是（2）PAB+PBA=180 APB=60 ，PBC+PBA= ABC=60，PAB=PBC，又APB=BPC=120 ，ABPBCP（3）如图 2 所示：ABE 与ACD 都为等边三角形，BAE= CAD=60，AE=AB，AC=AD ，BAE+BAC=CAD +BAC ，即EAC= BAD，在ACE 和ABD 中，ACEABD（SAS），1= 2，3= 4，CPD=6=5=60； 证明：ADFCFP，AFPF=DFCF，AFP=CFD，AFPCDFAPF=ACD=60，APC=CPD+APF=120，BPC=120，APB=360 BPC APC=120，P 点为ABC 的费马点2017 年 4 月 21 日