1、2023年江西省抚州市八校中考三模数学试卷一、选择题（本题共计6小题，每小题3分，共计18分）1. ，0，中最小的数是（ ）A. B. C. 0D. 2. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，为圆O的直径，为圆O的弦，则（ ）A. B. C. D. 5. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB长度为（）A. B. C. D. 6. 如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ）A. 图象的对称轴是直线B. 当时，y随x的增大而减小C. 若图
2、象上两点为，则D. 一元二次方程的两个根是和3二、填空题（本题共计6小题，每小题3分，共计18分）7. 在函数中, 自变量的取值范围是_ .8. 因式分解：=_9. 2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为_.10. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_11. 甲、乙两同学进行跳绳训练，甲每分钟比乙每分钟多跳10个，甲跳160个所用时间与乙跳140个所用时间相等，甲、乙两人每分钟分别跳多少个？设甲每分钟跳x个，则可列分式方程为_12. 在菱形中，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点
3、，当为直角三角形时，的长度为_三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：；（2）解不等式组14. 先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x24xm0有两个相等的实数根15. 小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是_事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是_事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率16.
4、 如图，在四边形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出的边上的中线；（2）在图2中，若，画出边上的高17. 如图，是的直径，是弦，直线经过点C，于点D，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象同时经过点，两点（1）则_（2）若求反比例函数的解析式；延长AB交x轴于C点，求C点坐标19. 手机随拍已经成为旅游爱好者生活的一部分某超市计划购进甲、乙两种型号的手机支架共60个，甲型号的进价为30元/个，乙种型号的进价
5、为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况：销售时段销售数量销售收入甲种型号乙种型号第一周3个5个420元第二周5个10个800元（1）求甲、乙两种型号手机支架的销售单价（2）设该超市计划购进甲种型号手机支架x个，销售完这批手机支架所获总利润为w元，请写出w与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）（3）在（2）的条件下，若该超市要将这批手机支架的进货成本控制在2370元以内（含2370元），且甲种型号手机支架最多购进24个，则进货方案有几种，最大利润为多少？20. 中国自古就是礼仪之邦，平辈行礼，上半身前弯，晚辈行礼，上半身前弯小贤同学路遇李老师，面向李老师行了一个的作揖礼，
6、李老师面向小贤回了一个的作揖礼（如图1）现将其简化成如图2所示，已知李老师身高，上半身身高，小贤身高，上半身身高（1）求当李老师回礼时，其头部距地面的高度（2）行礼之时，人与人之间应该保持以上的距离（指头与头之间的水平距离）最为适宜行礼前，小贤距李老师，请问同时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离是否适宜？（参考数据：，）五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了2
7、0名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A，B，C，D，E），下面给出了部分信息：a甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，90，91，93b乙校20名志愿者的成绩是：81，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，93，94，100c扇形统计图如下：d两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学校平均数中位数众数方差甲92a9536.6乙92925b31.4根据以上信息，解答下列问题：（1）由上表填空： ， ， （2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可
8、）（3）若甲校有100名志愿者，乙校有200名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在95分及其以上的志愿者有多少？22. 如图，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图所示已知坡地所在直线经过点（1）的值为_；（2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；（3）若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为_；（4）若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银
9、杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由六、（本大题共1个小题，12分）23. （1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质如图（1），在中，点D，E分别是，中点，连接则与的关系是_（2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程（3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，的中点，的延长线交于点E若，则的度数是_（4）如图（3），在矩形中，点E在边上，且将线段绕点A旋
10、转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值2023年江西省抚州市八校中考三模数学试卷一、选择题（本题共计6小题，每小题3分，共计18分）1. ，0，中最小的数是（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】根据负数小于正数，负数小于0即可得出答案【详解】解：，最小的数的数是故选：B【点睛】本题考查了实数的比较大小，掌握负数小于正数，负数小于0是解题的关键2. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中
11、【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据单项式乘（除）以单项式、积的乘方及完全平方公式可进行排除选项【详解】解：A，故错误；B，故错误；C，故正确；D，故错误；故选C【点睛】本题主要考查单项式乘（除）以单项式、积的乘方及完全平方公式，熟练掌握单项式乘（除）以单项式、积的乘方及完全平方公式是解题的关键4. 如图，为圆O的直径，为圆O的弦，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，根据直径所对的圆
12、周角是直角，同弧所对的圆周角相等，得到，勾股定理求出，根据余弦的定义，进行求解即可【详解】解：连接，则：，为圆O的直径，；故选B【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及余弦的定义，是解题的关键5. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出ADE=45，进而判断出AE=AD，利用勾股定理即可得出结论【详解】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD是矩形，ADA=B=C=A=90，AD=BC=1，CD=AB，由第一
13、次折叠得：DAE=A=90，ADE=ADC=45，AED=ADE=45，AE=AD=1，在RtADE中，根据勾股定理得，DE=AD=，由第二次折叠可知，故选：A【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键6. 如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ）A. 图象的对称轴是直线B. 当时，y随x的增大而减小C. 若图象上两点为，则D. 一元二次方程的两个根是和3【答案】C【解析】【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点求法对各选项分析判断后利用排除法求解【详解】解：A、对称轴为直线，正确，故本选项不符合题意；B、对称轴是
14、直线，当时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、抛物线交x轴于，两点，一元二次方程的两个根是和3，正确，故本选项不符合题意故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键二、填空题（本题共计6小题，每小题3分，共计18分）7. 在函数中, 自变量的取值范围是_ .【答案】【解析】【详解】根据题意得：x+40；解之得： x-4.8. 因式分解：=_【答案】2（x+3）（x3）【解析】【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）故答案为：2（x+3）（
15、x3）【点睛】考点：因式分解9. 2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为_.【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数【详解】解：6亿故答案为：【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值10. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_【答案
16、】【解析】【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解【详解】解：m，n是方程的两个实数根，；故答案为【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键11. 甲、乙两同学进行跳绳训练，甲每分钟比乙每分钟多跳10个，甲跳160个所用时间与乙跳140个所用时间相等，甲、乙两人每分钟分别跳多少个？设甲每分钟跳x个，则可列分式方程为_【答案】【解析】【分析】设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个，然后根据甲跳160个所用时间与乙跳140个所用时间相等列出方程即可【详解】解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个，由题意得，故答案为：【点睛】本题主
17、要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键12. 在菱形中，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为_【答案】3或或【解析】【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得【详解】四边形为菱形，菱形四边长为4，且，,，即，E，F分别是的中点；连接，则是等边三角形；当点P在边上时；如图，当点P是的中点时，为直角三角形，此时，；当点P在边上时，如图，连接，当点P是的中点时，为直角三角形，此时，连接，是等边三角形，由勾股定理得，由勾股定理得：；当点P在边上时，连接，
18、如图，当点P是中点时，此时，为的中位线，为的中位线，为直角三角形，是等边三角形，由勾股定理得；故答案为：3或或【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13 （1）计算：；（2）解不等式组【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据乘方运算法则，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的意义，进行运算即可；（2）先求出两个不等式的解集然后再求出不等式组的解集即可【详解】解：（1）；（2）解不等式得，解不等式得，不等式组的解集为：【点睛】本题主要考查了解不等式组，实数混合运算，解题
19、的关键是熟练掌握乘方运算法则，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的意义，准确计算14. 先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x24xm0有两个相等的实数根【答案】，【解析】【分析】分式化简，首先将分式除法变更为分式乘法，再约分，将分子和分母的公因式约去，求得最简因式；再根据一元二次方程辨别式等于0，求得m的取值；将m代入最简分式，从而得到答案【详解】一元二次方程x24xm0有两个相等的实数根，b24ac16+4m0，m4将m4代入原式【点睛】本题考查了分式的除法法则、分式约分、平方差公式、完全平方公式和一元二次方程等知识点；求解本题的关键在于熟练掌握一元二次方程和分式除法的性
20、质，从而准确计算得到答案15. 小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是_事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是_事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率【答案】（1）随机；不可能；（2）【解析】【分析】（1）由随机事件、不可能事件的定义，即可得到答案；（2）画树状图得共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，由此能求出
21、正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率【详解】解：（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件；走廊的灯已坏，若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件；故答案为：随机；不可能；（2）设客厅灯亮了为事件A，楼梯灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C；则树状图如下：共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，P（客厅灯和楼梯灯都亮了）【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，以及随机事件的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意树状图的合理运用16. 如图，在四边形中，点E是中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出的边上的中线
22、；（2）在图2中，若，画出的边上的高【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分得到点M是的中点，然后连接即可；（2）连接交于，点为的中点，再连接、，它们相交于，连接并延长交于，则【小问1详解】如图，连接交于，连接，则为所求；点E是的中点，又，四边形是平行四边形，点M是的中点，连接，是的边上的中线，为所求；【小问2详解】如图，连接交于，连接、，它们相交于，接并延长交于，则即为所求，由（1）可得，点M是的中点，又点E是的中点，又，又，为的边上的高【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
23、般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质17. 如图，是的直径，是弦，直线经过点C，于点D，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据得出，推出，得出，根据切线的判定推出即可；（2）证明是等边三角形，得出，求出梯形的面积和扇形的面积，再根据【小问1详解】证明：如图，连接，是半径，是的切线；【小问2详解】解：，是等边三角形，在中，【点睛】本题考查切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积公
24、式、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象同时经过点，两点（1）则_（2）若求反比例函数的解析式；延长AB交x轴于C点，求C点坐标【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）把，代入，求出m、n，再求比值；（2）过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出A、B的坐标，再求反比例函数和直线AB的解析式，就可以求出点C的坐标【小问1详解】，在反比例函数的图象上，故答案为：.【小问2详解】过A作y轴的垂线，垂
25、足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，又，故反比例函数解析式为法一：由可知，设直线AB解析式为，将A，B两点坐标代入，得解得故当时，C点坐标为法二：延长EB交x轴于F点，故【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，构造相似三角形是解题的关键19. 手机随拍已经成为旅游爱好者生活的一部分某超市计划购进甲、乙两种型号的手机支架共60个，甲型号的进价为30元/个，乙种型号的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况：销售时段销售数量销售收入甲种型号乙种型号第一周3个5个420元第二周5个10个800元（1）求甲、乙两种型号手机
26、支架的销售单价（2）设该超市计划购进甲种型号手机支架x个，销售完这批手机支架所获总利润为w元，请写出w与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）（3）在（2）的条件下，若该超市要将这批手机支架的进货成本控制在2370元以内（含2370元），且甲种型号手机支架最多购进24个，则进货方案有几种，最大利润为多少？【答案】（1）甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为40元、60元；（2）w5x+900；（3）进货方案有三种，最大利润为790元【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号手机支架的销售单价；（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式；（3
27、）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以得到共有几种进货方案，大利润为多少【详解】（1）设甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为a元、b元，解得，答：甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为40元、60元；（2）由题意可得，w（4030）x+（6045）（60x）5x+900，即w与x的函数关系式是w5x+900；（3）由题意可得，30x+45（60x）2370，解得，x22，x24，x为整数，x22，23，24，w5x+900，当x22时，w取得最大值，此时w790，答：进货方案有三种，最大利润为790元【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
28、数的性质解答20. 中国自古就是礼仪之邦，平辈行礼，上半身前弯，晚辈行礼，上半身前弯小贤同学路遇李老师，面向李老师行了一个的作揖礼，李老师面向小贤回了一个的作揖礼（如图1）现将其简化成如图2所示，已知李老师身高，上半身身高，小贤身高，上半身身高（1）求当李老师回礼时，其头部距地面的高度（2）行礼之时，人与人之间应该保持以上的距离（指头与头之间的水平距离）最为适宜行礼前，小贤距李老师，请问同时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离是否适宜？（参考数据：，）【答案】（1）当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为 （2）行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜【解析】【分析】（1）过点C作于点P，构造直角三角
29、形求出，再加上下半身即可；（2）分别求出两人行礼时的水平长度，用减去两个水平长度，与比较大小即可.【小问1详解】解：如图，过点C作于点P由题意可知，李老师身高，上半身身高，下半身身高，答：当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为【小问2详解】解：如图，过点H作于点Q由题意可知，小贤身高，上半身身高，行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，辅助线构造直角三角形是解题关键五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动
30、，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A，B，C，D，E），下面给出了部分信息：a甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，90，91，93b乙校20名志愿者的成绩是：81，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，93，94，100c扇形统计图如下：d两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学校平均数中位数众数方差甲92a9536.6乙9292.5b31.4根据以上信息，解答下列问题：（1）由上表填空
31、： ， ， （2）你认为哪个学校志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）（3）若甲校有100名志愿者，乙校有200名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在95分及其以上的志愿者有多少？【答案】（1）92.5，96，90 （2）乙校志愿者测试成绩较好；理由见解析 （3）125人【解析】【分析】(1)根据中位数、众数的意义分别求出a、b、的值以及的值；(2)根据众数、方差的大小比较得出结论；(3)求出成绩在95分及其以上的志愿者的百分比即可【小问1详解】解：甲校在E组人数为：2045=9(人)，则第10、11个数据分别为91、93，则， 乙校：96出现4次最多，则96，甲校
32、C组：204920(5+5)=5（人），则，故答案为：92.5，96，90；【小问2详解】解：乙校志愿者较好理由如下：甲、乙两校的平均数、中位数虽然相同，但是乙校众数比甲校的大；或甲校的方差为36.6，乙校的方差是31.4，而 ，乙校的成绩较为稳定，乙校志愿者测试成绩较好；【小问3详解】解：乙校成绩在95分及其以上的志愿者共8人，根据题意得： （人），答：成绩在95分及其以上的志愿者有125人【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键22. 如图，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距
33、离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图所示已知坡地所在直线经过点（1）的值为_；（2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；（3）若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为_；（4）若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由【答案】（1）1 （2）水柱与坡面之间的最大铅直高度为米 （3） （4）水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析【解析】【分析】（1
34、）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解；（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可；（3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解；（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可【小问1详解】代入到抛物线解析式，得：； 故答案为：1；【小问2详解】设抛物线的解析式为将点代入，得抛物线的解析式为即坡地经过点的解析式为如解图，设抛物线上一点，过点P作轴
35、交于点Q，则，的长为，函数图像开口向下，d有最大值根据顶点公式当时，有最大值水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；【小问3详解】由（2）知，直线的解析式为，时，抛物线的解析式为，即，当时，要使水柱能超过点B则，解得故答案：；【小问4详解】不能；当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为将代入抛物线解析式，得，将代入直线OB解析式，得水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键六、（本大题共
36、1个小题，12分）23. （1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质如图（1），在中，点D，E分别是，的中点，连接则与的关系是_（2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程（3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，的中点，的延长线交于点E若，则的度数是_（4）如图（3），在矩形中，点E在边上，且将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值【答案】（1）且；（2）证
37、明过程见解析；（3）；（4）旋转过程中线段长的最大值为4，最小值为1【解析】【分析】（1）根据三角形中位线可直接进行求解；（2）延长至点F，使，连接，由题意可证，然后可得，进而可证四边形是平行四边形，最后问题可求证；（3）由题意易得，然后问题可求解；（4）延长至点H，使，连接，由题意易得，然后可得点F在以点A为圆心，3为半径的圆上，进而根据圆的最值问题可求解【详解】（1）且，故答案为：，；（2）证明：如图（1）延长至点F，使，连接又，四边形为平行四边形，；（3）解：点M，P分别为，的中点，点N，P分别为，的中点，故答案为：；（4）如图（2），延长至点H，使，连接，由勾股定理得，点F在以点A为圆心，3为半径的圆上（不与点E重合）当点F在线段上时，最小，最小值为；当点F在线段的延长线上时，最大，最大值为故长的最大值为4，最小值为1【点睛】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质及圆的基本性质，熟练掌握三角形中位线及圆的基本性质是解题的关键