1、山东省济宁市2023届高三三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1若集合，则集合中的元素个数为（ ）A0B1C2D32若复数为纯虚数，则实数（ ）ABC6D3若，则（ ）ABCD4若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）ABCD5若，且，则（ ）ABC5D66如图，在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，三点重合于点，则三棱锥的外接球体积为（ ） ABCD7已知为双曲线：的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于，两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD8已知函数，满足，若，函数，则（ ）A3036B3
2、034C3032D3030二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）ABC点是的一个对称中心D函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称10已知函数，则对任意实数，下列结论中正确的是（ ）AB函数在处的切线方程为C的单调递减区间为D的值域为11甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球。先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以
3、表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是（ ）A事件，是两两互斥的事件B事件与事件为相互独立事件CD12已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于，两点，为线段中点，分别为，在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ）A的坐标为BC，四点共圆D直线的方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则_14在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_15在中，分别为，的中点，交于点若，则_16若对任意的，总存在三个不同的，使得方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤17（本小题满分10分）已知锐角的内角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围18（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，点、分别在线段、上，且，（1）证朋：；（2）若，且平面将直三棱柱的体积平分求二面角的余弦值20（本小题满分12分）某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问
5、题相互独立。记甲答对题的个数为，乙答对题的个数为（1）求甲、乙恰好答对2个问题的概率；（2）若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由21（本小题满分12分）已知椭圆：的焦距为4，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交椭圆于，两点，的周长为12（1）记直线的斜率为，直线的斜率为证明：为定值；（2）记的面积为，的面积为，求的最大值22（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，是函数的两个极值点证朋：参考答案及评分标准一、单选题：每小题5分，共40分1C 2D 3B 4B 5B 6A 7D 8A8解：因为，所以，则所以由得：所以故选A
6、二、多选题：每小题5分，共20分全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9AC 10ABD 11ACD 12BCD12解析：的坐标为，故A错过点作垂直于，为垂足，如图所示（点在第一象限时）设则所以，直线的方程为同理（点在第二象限时）：直线的方程为故D正确由题意可知：，所以故B正确因为所以又因为，所以，即：又因为所以，四点共圆，故C正确所以选BCD三、填空题：每小题5分，共20分1314151616解：因为，所以又当时，令，所以，所以在上单减，在上单增，在上单减，如图为函数在上的图象，又，所以要使与有三个交点，需使，又对任意的，总存在三个不同的，使得方程成立，所以，所以，解得：所以的取
7、值范围是四、解答题：本题共6小题，共70分17（1）解：由得：即：化简得：所以 所以（2）因为为锐角三角形，且所以，所以，所以的取值范围为18解：当时，当时，因为 所以，即：又因为，满足上式所以（2）当为奇数时，；当为偶数时，综上所述：或19解：（1）在直三棱柱中，因为， 所以平面因为所以 所以平面因为平面所以（2）过点作交于点，连接，显然平面平面，且，由平面将直三棱柱的体积平分可知：即：解得： 所以以点为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示则，设平面的法向量则即：令，则，所以同理可得平面的一个法向量所以所以二面角的余弦值为20解：（1）设“甲、乙恰好答对2个问题的概率”为事件
8、，则（2）由已知得：所有可能的取值为1，2，3，所以的分布列为123所以由已知得：，所以，因为所以选择甲同学参赛21解：（1）由椭圆：的焦距为4可知：由的周长为12可知：，所以所以椭圆的方程为：设，直线的方程为：联立得：所以，所以，即：则所以为定值（2）由题意可知：令则又在上单调递增所以当，即时，取得最大值为所以的最大值为1022解：（1）由得：或当即时，恒成立函数在上单调递增；当即时，由得或；由得此时函数在和上单调递增；在上单调递减；当即时，由得或；由得此时函数在和上单调递增；在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，在和上单调递增；在上单调递减（2）因为有两个极值点，则方程，得：，且，所以所以令，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以所以