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天津市河西区2023届高三三模数学试卷(含答案解析)

1、天津市河西区2023届高三三模数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合则( )A. B. C. D. 2. 不等式“”成立,是不等式“”成立的( )A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数在区间的图象大致为( )A. B. C. D. 4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万元)1245销售额y(万元)10263549根据上表可得回归方程的约等于9,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额约为( )A. 56万元B. 57万元C. 58万元D. 59万元5. 设,则的大小关系为

2、( )A. B. C. D. 6. 若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( )A. B. C. D. 7. 已知,则( )A. B. C. 25D. 58. 已知双曲线:左右焦点分别为、,且抛物线:的焦点与双曲线的右焦点重合,点为与的一个交点,且直线的倾斜角为45则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 9. 已知函数,则下列结论中正确个数为( )著对于任意,都有成立,则若对于任意,都有成立,则当时,在上单调递增,则的取值范围为当时,若对任意的,函数在至少有两个零点,则的取值范围为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 已知是虚数单位,若复数满足,

3、则_.11. 若直线是圆的一条对称轴,则_.12. 在的展开式中,则的系数为_.13. 设a、b是正实数,且,则的最小值是_14. 现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为,则_,_15. 在平面四边形中,若,则_;若为边上一动点,当取最小值时,则的值为_16. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)求值;(2)若,(i)求的值;()求的值.17. 已知直三棱柱中,E为的中点,F为CD的中点. (1)求证:/平面ABC;(2)求平面CED与平面夹角的余弦值;(3)求点到平面的距离18. 已知椭圆的左、右焦点

4、分别为,点,直线的倾斜角为,原点到直线的距离是(1)求椭圆的标准方程;(2)已知直线与椭圆相切,切点在第二象限,过点作直线的垂线,交椭圆于,两点(点在第二象限),直线交轴于点,若,求直线的方程19. 设是各项均为正数的等差数列,是和的等比中项,的前项和为,.(1)求和的通项公式;(2)设数列的通项公式.(i)求数列的前项和;(ii)求.20. 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,讨论函数在上的单调性;(3)证明:对任意,有天津市河西区2023届高三三模数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【

5、解析】【分析】先求出集合,进而求得,由,求出即可.【详解】解:因为或,所以,又有,所以.故选:C2. 不等式“”成立,是不等式“”成立的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义判断.【详解】由,但,所以由“”不能推出“”;又,但,所以由“”不能推出“”,即不等式“”成立,是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.故选:D3. 函数在区间的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令,则,所以为奇函数,排除BD;

6、又当时,所以,排除C.故选:A.4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万元)1245销售额y(万元)10263549根据上表可得回归方程的约等于9,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额约为( )A. 56万元B. 57万元C. 58万元D. 59万元【答案】B【解析】【分析】首先求出,然后利用样本中心点在回归方程上即可求出,然后将代入回归方程即可求解.【详解】,所以,则,所以时,所以销售额约为57.故选:B5. 设,则大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出的大小关系.【详解】因为,所以.故选:D.【点

7、睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单调性,确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(2)利用对数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(3)借助于中间值,例如:0或1等.6. 若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的表面积【详解】解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心

8、,底面中心到顶点的距离为:;所以外接球的半径为:所以外接球的表面积为:故选:C【点睛】本题是基础题,考查正三棱柱的外接球的表面积的求法,找出球的球心是解题的关键,考查空间想象能力,计算能力7. 已知,则( )A. B. C. 25D. 5【答案】A【解析】【分析】由指对互换,表示出,代入原式即可.【详解】由, .故选:A.8. 已知双曲线:的左右焦点分别为、,且抛物线:的焦点与双曲线的右焦点重合,点为与的一个交点,且直线的倾斜角为45则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设双曲线焦点,可得抛物线的焦点坐标为,准线方程为,过点做,垂足为,根据题意有,可得轴,进

9、而将用表示,结合双曲线定义,即可求解.【详解】设双曲线焦点,则抛物线的准线方程为,过做,垂足为,则,又点在双曲线上,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线和抛物线的性质,应用曲线的定义是解题关键,注意几何方法的合理运用,属于中档题.9. 已知函数,则下列结论中正确个数为( )著对于任意,都有成立,则若对于任意,都有成立,则当时,在上单调递增,则取值范围为当时,若对任意的,函数在至少有两个零点,则的取值范围为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】结合三角函数的值域来处理恒成立问题;根据题干可得到函数的周期,结合三角函数的最小正周期和周期的关系进行判断;根据三角函数的单调性

10、进行求解;由于的任意性,类比至少一个周期才保证至少有两个零点.【详解】对于,若恒成立,只需要,根据正弦函数的值域可知,只需要,则,正确;对于,说明周期是,但不能说明最小正周期是,最小正周期的倍数是均符合题意,例如最小正周期是,此时,显然也成立,错误;对于,时,当,根据正弦函数在上单调递增可知,解得,正确;对于,时,当,若,有两个零点,则中至少包含一个完整的周期,即,得到,正确.综上所述故有3项正确.故选:C10. 已知是虚数单位,若复数满足,则_.【答案】【解析】【分析】先根据复数的除法算出,然后用模长公式进行求解.【详解】由题意,于是.故答案为:11. 若直线是圆的一条对称轴,则_.【答案】

11、#0.5【解析】【分析】由已知,直线过圆心即可求解.【详解】由题,直线过圆心,将代入直线方程得,解得:.故答案为:.12. 在的展开式中,则的系数为_.【答案】240【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式,令的幂指数为,求出通项中的即可求解.【详解】依题意可得,的展开式的通项为,令,解得,故项的系数为.故答案为:240【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数;考查运算求解能力;正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.13. 设a、b是正实数,且,则的最小值是_【答案】【解析】【分析】将所求式子变为,整理为符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得结果.【详解】是

12、正实数 当且仅当,即时取等号本题正确结果:【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题,关键是构造出符合基本不等式的形式,从而得到结果,属于常规题型.14. 现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为,则_,_【答案】 . , . #【解析】【分析】利用古典概型概率公式求,由条件求分布列,再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法,其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种,所以,由已知可得的取值有1,2,3,4, 所以,故答案为:,.15. 在平面四边形中,若,则_;

13、若为边上一动点,当取最小值时,则的值为_【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意可知是等边三角形,是有一个内角为60的直角三角形,又知道它们的边长,所以可以建立坐标系,将问题坐标化后进行计算求解【详解】解:平面四边形中,是边长为2的等边三角,在中,所以,又,是边的四等分点如图建立坐标系:则:,所以,再设,则,显然时,最小,此时,故答案为:,【点睛】本题考查平面向量在几何问题中的应用,涉及向量的数量积和向量夹角的余弦值,通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法,同时考查学生的转化思想和数形结合思想.16. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)求的值;(2)若,

14、(i)求的值;()求的值.【答案】(1) (2)(i);()【解析】【分析】(1)根据题意利用正弦定理运算求解;(2)(i)利用余弦定理运算求解;()根据三角恒等变换运算求解.【小问1详解】由,且C是三角形的内角,则,因为,由正弦定理得,所以.【小问2详解】(i)由余弦定理得,即,解得或.()由(1)知,由知A为锐角,得,所以,所以.17. 已知直三棱柱中,E为的中点,F为CD的中点. (1)求证:/平面ABC;(2)求平面CED与平面夹角的余弦值;(3)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,证明垂直平面的法向量即可;(2)利用空间向

15、量求出两个平面的法向量,然后用夹角公式计算;(3)利用点到面距离的向量的公式计算.小问1详解】 在直三棱柱中,平面,且,以点B为坐标原点,BC,BA,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则,.易知平面ABC的一个法向量为,则,故,又因为平面,故/平面【小问2详解】,设平面CED的法向量为,则,不妨设,因为,设平面CED的法向量为,则,不妨设则因此,平面CED与平面夹角的余弦值为.【小问3详解】因为,根据点到平面的距离公式,则即点到平面CED的距离为.18. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点,直线的倾斜角为,原点到直线的距离是(1)求椭圆的标准方程;(2)已知直线与椭圆相切

16、,切点在第二象限,过点作直线的垂线,交椭圆于,两点(点在第二象限),直线交轴于点,若,求直线的方程【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)设出直线的方程,由原点到直线的距离是,列方程解出,进而求出椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立,令,解出和切点的坐标;由已知,直线的方程为,与椭圆方程联立,可得的坐标;由于与的面积相等,且,可得,结合列方程,求出,得到直线的方程小问1详解】因为点,且直线的倾斜角为,所以直线的方程为,所以,即又原点到直线的距离是,所以,所以,所以椭圆的方程为【小问2详解】由题意知,直线的斜率存在且不为,设直线的方程为,则直线的方程为联立,消去,化简得因为直

17、线与椭圆相切,所以,即,化简得,且切点为联立,消去,得,解得,所以,因为为的中点,所以与的面积相等,又,所以,所以,即所以,即又,所以,解得因为,所以,故直线的方程为19. 设是各项均为正数的等差数列,是和的等比中项,的前项和为,.(1)求和的通项公式;(2)设数列的通项公式.(i)求数列的前项和;(ii)求.【答案】(1),;(2)(i);(ii)【解析】【分析】(1)因为,是和的等比中项,根据等比中项可求得,再根据等差数列的通项公式求出,利用与的关系,证出是以2为首项,2为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项公式;(2)根据(1)中和的通项公式,列出数列的通项公式,利用分组求

18、和法,分成奇数组和偶数组,即可求出数列的前项和;将分为奇数和偶数两种情况,当为奇数时,设,运用裂项相消法化简求出结果;当为偶数时,设,运用错位相减法求出结果;分别求解出后,相加求得的值即可【详解】(1)解:设等差数列的公差为,因为,是和的等比中项,所以,即,解得,因为是各项均为正数的等差数列,所以,故,因为,所以,两式相减得:,当时,是以2为首项,2为公比的等比数列,.(2)(i)解:,所以(ii)解:当为奇数时,设,当为偶数时,设,所以,故,所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式,以及运用分组求和法、裂项相消法和错位相减法求和,属于中档题20. 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,讨论函数在上的单调性;(3)证明:对任意的,有【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标,在由导数求得切线斜率,即得切线方程;(2)在求一次导数无法判断的情况下,构造新的函数,再求一次导数,问题即得解;(3)令,即证,由第二问结论可知在0,+)上单调递增,即得证.【小问1详解】解:因为,所以,即切点坐标为,又,切线斜率切线方程为:【小问2详解】解:因为, 所以,令,则, 在上单调递增,在上恒成立,在上单调递增.【小问3详解】解:原不等式等价于,令,即证,由(2)知在上单调递增,在上单调递增,又因为,所以命题得证.