1、2023年山东省济南市平阴县中考二模数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. -2019的绝对值是( )A. 2019B. C. -2019D. 2. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）A B. C. D. 3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，点A在直线上，点B在直线上，则的度数是（ ）A. B. C. D. 5. 下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 6. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结
2、论正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（）A. B. C. D. 18. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）A
3、. 5B. C. 5或1D. 或二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：x29_12. 小明向图中的小正方形组成的网格内随意一棋子，使之落在三角形内的概率是_13. 关于一元二次方程的一个根是，则另一个根是_14. 如图，在中，分别为，的中点若的长为10，则的长为_15. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为_16. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，
4、得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；按此做法进行下去，则点的坐标为_三、解答题（本大题共10个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 解不等式组：，并写出它的整数解19. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点求证：DE=BF20. 年月日，“天宫课堂”第二课开讲“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下
5、不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中_，所抽取学生成绩的中位数落在_组；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？21. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m （1）若ABD=53，求此时云梯AB的长（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在
6、该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3）22. 如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F（1）求证：；（2）若，求BE的长23. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩（1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？（
7、2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？24. 如图1，一次函数ykx3（k0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（8，1）（1）k ；m ；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）前提下，将OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到OCD，若点O的对应点O恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D的坐标25. 【情境再现
8、】甲、乙两个含角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图位置小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接，如图所示，交于E，交于F，通过证明，可得请你证明：【迁移应用】延长分别交所在直线于点P，D，如图，猜想并证明与的位置关系【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接，如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系26. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；（3）若点Q是平
9、面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由2023年山东省济南市平阴县中考二模数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. -2019的绝对值是( )A 2019B. C. -2019D. 【答案】A【解析】【详解】解：由题意得：故选：A【点睛】本题主要考查了绝对值的概念，正确把握相关的定义是解题关键2. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可【详解】解：某物体如图所示，它的主视图是：故选：D【点睛
10、】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10时，n是正整数数【详解】解：由题意可知：故选：D【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示
11、时关键要正确确定a的值以及n的值4. 如图，点A在直线上，点B在直线上，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据等边对等角求出BAC的度数，然后根据平行线的性质求出ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可【详解】解：AB=BC，BAC=C=25，ABD=1=60，2=180-C-BAC-ABD=180-25-25-60=70，故选A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出BAD和ABD的度数是解题的关键5. 下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判
12、断如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合6. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】实数，在数轴上对应点的位置可知，由此即可求解【详解】解：由题意得，选项，故
13、选项错误；选项，故选项错误；选项，故选项错误；选项，故选项正确故选：【点睛】本题主要考查利用数轴比较大小，理解数轴上实数的位置关系是解题的关键7. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为故选：B【点睛】本题考查的是用树状图法求概
14、率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键8. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论【详解】解：由题意可知，四边
15、形是矩形，又，整理得：，故选：B【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键9. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可【详解】，B=180-BAC-ACB=30，A由作图可知，平分，故选项A正确，不符合题意；B由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，故选项B正确，不符合题意；C，故选项C正确，不符合题意；D，；故选项D错误，符合题意故选：D【点睛】本题考查了线段
16、的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息10. 已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）A. 5B. C. 5或1D. 或【答案】C【解析】【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解【详解】解：比较抛物线与抛物线，发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，与轴的一个交点是，与轴有两个交点，当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，故选：C【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左
17、右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解第卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：x29_【答案】(x3)(x3)【解析】【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案为：（x+3）（x-3）.12. 小明向图中的小正方形组成的网格内随意一棋子，使之落在三角形内的概率是_【答案】【解析】【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可【详解】解：三角形面积为322=3，正方形面积为33=9，故该棋子落在三角形内的概率是：故答案为：【点睛】本题主要考查几何概率，解题的关键是掌握几何概率的计算方法计算方法
18、是长度比，面积比，体积比等13. 关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出答案【详解】解：一元二次方程，关于的一元二次方程的一个根是，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两个解分别为，则，是解本题的关键14. 如图，在中，分别为，的中点若的长为10，则的长为_【答案】10【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答【详解】解：E、F分别为BC、AC的中点，AB2EF20，ACB90，点D为AB的中点，故答案为：10【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角
19、形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键15. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为_【答案】【解析】【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，根据勾股定理可知，长方形的对角线长：故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽16. 如图，在平面
20、直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；按此做法进行下去，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平
21、移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不
22、发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，点A8的坐标为（0，-8），点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，A9的坐标为（9，1），同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，A10的坐标为（-1，11），故答案为：（-1，11）【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键三、解答题（本大题共10个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】1【解析】【分析】先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及
23、特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解【详解】解：原式=【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，是解题的关键18. 解不等式组：，并写出它的整数解【答案】不等式组的解集为：，不等式组的整数解为：，【解析】【分析】求出不等式组的每一个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，进而得出它的整数解【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：，不等式组的整数解为：，【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的解法以及确定不等式组的解集的方法是解本题的关键19. 如图，在矩形A
24、BCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点求证：DE=BF【答案】证明见试题解析【解析】【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB/CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案【详解】四边形ABCD是矩形，AB/CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，DF=BE，又AB/CD，四边形DEBF是平行四边形，DE=BF20. 年月日，“天宫课堂”第二课开讲“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），A组：，B组：，C
25、组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中_，所抽取学生成绩的中位数落在_组；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？【答案】（1）， （2）见解析 （3）估计该校成绩优秀的学生有人【解析】【分析】（1）根据组的人数以及组所占百分比求出调查总人数，进而得出答案；（2）求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；（3）由学生总人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可【小问1详解】解：本次调查的总人数为：（名），组的人数为：（名），所抽取的学生成绩的中位数是第个和第个成绩
26、的平均数，所抽取学生成绩的中位数落在组，故答案为：，；【小问2详解】组的人数为：人，补全学生成绩频数分布直方图如下： 【小问3详解】（人），答：估计该校成绩优秀的学生有人【点睛】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图等知识点，准确找出两种统计图之间的联系是解本题的关键21. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m（1）若ABD=53，求此时云梯AB的长（2）如图2
27、，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3）【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【解析】【分析】（1）在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答【小问1详解】解：在RtABD中，ABD=53，BD=9m，AB=15（m），此时云梯AB的长为15m；【小问2详解】解：在
28、该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，AE=19m，AD=AE-DE=19-2=17（m），在RtABD中，BD=9m，AB= （m），m20m，在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键22. 如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F（1）求证：；（2）若，求BE的长【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；（2）由，可得
29、，设为，可得，即可求解【小问1详解】证明：连接，平分，为切线，【小问2详解】解：由（1）得：，设为，解得：，即的长为2【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键23. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩（1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一
30、部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？【答案】（1）普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻亩产量是1200千克 （2）至少把B块试验田改亩种植杂交水稻【解析】【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论【
31、小问1详解】解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，依题意得：，解得：；经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，2x=2600=1200答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克【小问2详解】解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，依题意得：9600+600（）+1200y17700，解得：答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式24. 如图1，一次函数ykx3（k0）图象与y轴交于点B，与反比例函
32、数的图象交于点A（8，1）（1）k ；m ；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到OCD，若点O的对应点O恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D的坐标【答案】（1），8；（2）；（3）【解析】【分析】(1)将A(8,1)代入解析式中，利用待定系数法即可解决问题；(2)设C(a，a-3)(0a8)，则D(a，)，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标；(3)根据一次函数，利
33、用方程组求出点O的坐标，再根据平移规律即可求出D坐标【详解】解：(1)把点A（8，1）分别代入ykx3和中，得：18k3，1，解得：k，m8，故答案为，8；(2)设C(a，a3)（0a8），则D(a，)，CD-a+3，设A、C的横坐标分别用表示，S四边形ADOC24，即，a2+6a-160，a1-8，a22，经检验：a18，a22是原方程的解，0a8，a2，代回C点坐标中，C(2，2)，故答案为：C(2，2)；(3)由平移可知：OOAB，直线OO的解析式为yx，由，解得或(舍去)，O(4，2)，即O(0,0)通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O(4，2)，又由(2)中知D坐标为(2，4
34、)，D(2，4)往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D(6，6)，故答案为：D(6，6)【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，点的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型25. 【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图位置小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接，如图所示，交于E，交于F，通过证明，可得请你证明：【迁移应用】延长分别交所在直线于点P，D，如图，猜想并证明与的位置关系【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换
35、成含角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接，如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系【答案】证明见解析；垂直；【解析】【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；【详解】证明：，；迁移应用：，证明：，；拓展延伸：，证明：在中，在中，由上一问题可知，【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质26. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P
36、的坐标及的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【解析】【分析】(1)将，代入即可求解；(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对
37、角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ，解得，二次函数的表达式为：；(2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP，BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，此时的周长也最小，设直线AC的解析式为：，代入，解得，直线AC的解析式为：，二次函数的对称轴为，代入，得到，P点坐标为(1,2)，此时的周长最小值=；(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，分类讨论：情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，由菱
38、形对角线互相垂直知：， ，解得，P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；情况二：AP菱形对角线时，另一对角线为CQ，同理有：，解得或，P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)； 情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，同理有：，解得或，P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)； 纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键