1、第 1 页（共 33 页）2016 年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1设 +1=m，则（ ）A1 m2 B2m3 C3m4 D4m52若使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax 3 Bx3 Cx0 Dx33计算（2x+1） （2x1）等于（ ）A4x 21 B2x 21 C4x1 D4x 2+14下列说法中正确的是（ ）A “明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨B “抛一枚硬币，正面朝上的概率为 ”，表示每抛两次就有一次正面朝上C “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是 6 的概率为 ”，表示随着抛掷次数的增加，
2、 “抛出朝上的点数是 6”这一事件发生的概率稳定在 附近D某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖5下列计算正确的是（ ）A3a+ 2a2=5a3 B3a2a=5a C6a 22a2=3a2 D3a2a=6a6如图，在平面直角坐标系中，A（ 3，2） 、B（ 1，0） 、C（1，3） ，将ABC 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到 A 1B1C1，点 A、B、C的对应点分别 A1、B 1、C 1，则点 A1 的坐标为（ ）第 2 页（共 33 页）A （3 ， 3） B （1，1） C （3，0） D （2，1）7如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体
3、组成，其俯视图为（ ）A B C D8九年级（3）班共有 50 名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为 30 分，成绩均为整数） 若将不低于 23 分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是（ ）A80% B70% C92% D86%9如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，第三行有 4 个点，第四行有 8 个点，那么这个三角点阵中前 n 行的点数之和可能是（ ）A510 B511 C512 D513第 3 页（共 33 页）10如图，在ABC 中， C=90，点 D 是 BC 边上一动点，过点 B
4、 作 BEAD交 AD 的延长线于 E若 AC=6，BC=8，则 的最大值为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11计算 2（ 1）的结果为 12国家统计局 4 月 15 日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额为 44500 亿元， “44500 亿元” 用科学记数法表示为 元13一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于 3 的概率是 14直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图所示放置，1=40，则2= 15如图，四边形 ABCD 中，ABC=
5、ADC=90，E、F 分别是 AC、BD 的中点，BAC=15， DAC=45 ，则 的值为 16如图，抛物线 y=2x2+8x6 与 x 轴交于点 A，B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C 2 与 x 轴交于点 B，D，若直线 y=x+m 与第 4 页（共 33 页）C1，C 2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 三、解答题（共 8 题，共 72 分）17解方程：7x+2（3x3）=2018如图，B、E、C 、F 四点在同一直线上，AB DE，BE=CF ，A= D，求证：AC=DF19八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数
6、据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图请你根据上面提供的信息回答下列问题：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 （2）老师决定从选择铅球训练的 3 名男生和 1 名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率第 5 页（共 33 页）20如图，一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= （x0）的图象交于A（1 ，m） ，B（3，n）两点（
7、1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）点 P 为双曲线上 A，B 之间的一点，求当ABP 的面积最大时点 P 的坐标21如图，AB 是O 的直径，PA，PC 是O 的切线，A ，C 是切点，PB 交O于点 D（1）求证：APC=2BDC；（2）若 CDAB，求 sinBDC 的值22如图，在一面靠墙的空地商用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为 8 米；求所围成花圃的最大面积；若所围花圃的面积不小于 20 平方米，请直接写出 x 的取值范围23
8、已知正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，AB=4第 6 页（共 33 页）（1）如图 1，DE、DF 分别交 AC 于 N、M 两点，直接写出 = ，MN= ；（2）G 是 DE 上一点，且EGF=45；如图 2，求 GF 的长；如图 3，连接 AC 交 GF 于点 K，求 KF 的长24如图，A（0，2） ，B （1，0） ，点 C 为线段 AB 的中点，将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 D（1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= ，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点 P（m，n
9、）在抛物线上，且锐角POB+BCD90，求 m 的取值范围（3）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（1，1） ，点 Q 在抛物线上，且满足QOB+BCD=90 ，若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出a 的取值范围第 7 页（共 33 页）2016 年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1设 +1=m，则（ ）A1 m2 B2m3 C3m4 D4m5【考点】估算无理数的大小【分析】先依据被开方数越大，对应的算术平方根越大可求得 的大致范围，然后可求得 +1 的大致范围，故此可得到
10、 m 的范围【解答】解：134，1 22 +13，即 2m3故选：B2若使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax 3 Bx3 Cx0 Dx3【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，x+30 ，解得，x3，故选：B3计算（2x+1） （2x1）等于（ ）A4x 21 B2x 21 C4x1 D4x 2+1【考点】平方差公式【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果第 8 页（共 33 页）【解答】解：原式=4x 21，故选 A4下列说法中正确的是（ ）A “明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨B “抛一枚硬币，
11、正面朝上的概率为 ”，表示每抛两次就有一次正面朝上C “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是 6 的概率为 ”，表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的点数是 6”这一事件发生的概率稳定在 附近D某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖【考点】概率的意义【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生【解答】解：A、 “明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨错误，故本选项错误；B、 “抛一枚硬币，正面朝上的概率为 ”，表示每抛两次就有一次正面朝上错误，故本选项错误；C、 “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是
12、 6 的概率为 ”，表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的点数是 6”这一事件发生的概率稳定在 附近正确，故本选项正确；D、某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖错误，故本选项错误故选 C5下列计算正确的是（ ）A3a+ 2a2=5a3 B3a2a=5a C6a 22a2=3a2 D3a2a=6a第 9 页（共 33 页）【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式【分析】根据同类项合并、整式的除法和整式的乘法计算即可【解答】解：A、3a 与 2a2 不能合并，错误；B、3a2a= 5a，正确；C、 6a22a2=3，错误；D、3a2a=6a 2，错误；故选 B6如图
13、，在平面直角坐标系中，A（ 3，2） 、B（ 1，0） 、C（1，3） ，将ABC 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到 A 1B1C1，点 A、B、C的对应点分别 A1、B 1、C 1，则点 A1 的坐标为（ ）A （3 ， 3） B （1，1） C （3，0） D （2，1）【考点】坐标与图形变化-平移【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可【解答】解：将ABC 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到A1B1C1，点 A、B、C 的对应点分别 A1、B 1、C 1，A（3 ，2）点 A1 的坐标为（3+4，2 3） ，即（1，1） 故选 B7如图所示的几何体是由
14、 4 个相同的小正方体组成，其俯视图为（ ）第 10 页（共 33 页）A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】俯视图是从上面看到的图形，可得答案【解答】解：从上面看得到的图形第一层右边 1 个正方形，第二层是两个小正方形，故选：B8九年级（3）班共有 50 名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为 30 分，成绩均为整数） 若将不低于 23 分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是（ ）A80% B70% C92% D86%【考点】频数（率）分布直方图【分析】根据百分比的意义：利用成绩合格的人数除以总人数即可直接求解【解答】解：该班此次
15、成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是100%=92%故选 C9如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，第三行有 4 个点，第四行有 8 个点，那么这个三角点阵中前 n 行的点数之和可能是（ ）第 11 页（共 33 页）A510 B511 C512 D513【考点】规律型：图形的变化类【分析】首先由题意可知这个三角点阵中的数，从第 2 行起，每一行与它的前一行的数之比等于 2，即点阵中的数成等比数列，第 n 行有 2n1 个点根据等比数列的求和公式得出这个三角点阵中前 n 行的点数之和为 2n1，又 29=512，由此得出答案【解答】解：一个三
16、角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，1=2 0；第二行有 2 个点，2=2 1；第三行有 4 个点，4=2 2；第四行有 8 个点，8=2 3；第 n 行有 2n1 个点，这个三角点阵中前 n 行的点数之和为： =2n1，又2 9=512，2 91=511故选 B10如图，在ABC 中， C=90，点 D 是 BC 边上一动点，过点 B 作 BEAD交 AD 的延长线于 E若 AC=6，BC=8，则 的最大值为（ ）第 12 页（共 33 页）A B C D【考点】相似三角形的判定与性质【分析】过点 E 作 EFBC 于 F，推出ACDEDF，根据相似三角形的性质得到 ，当
17、OEBC 时，EF 有最大值，根据勾股定理得到 AB=10，由垂径定理得到 BF= BC=4，求得 EF=2，即可得到结论【解答】解：如图 1，过点 E 作 EFBC 于 F，C=90，ACEF，ACDEDF， ，AE BE ，A，B，E ， D 四点共圆，设 AB 的中点为 O，连接 OE，当 OEBC 时，EF 有最大值，如图 2，OEBC，EF BC，EF ，OE 重合，AC=6，BC=8，AB=10，OE=5，OEBC，BF= BC=4，OF=3， EF=2， = = ， 的最大值为 第 13 页（共 33 页）二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11计算
18、2（ 1）的结果为 3 【考点】有理数的减法【分析】根据有理数的减法法则，求出 2（ 1）的结果为多少即可【解答】解：2（1）=2+1=3，故计算 2（1）的结果为 3故答案为：312国家统计局 4 月 15 日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额为 44500 亿元， “44500 亿元” 用科学记数法表示为 4.4510 12 元【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数
19、的绝对值1 时，n 是负数第 14 页（共 33 页）【解答】解：44500 亿元=4450000000000 元，4450000000000 元用科学记数法表示为 4.451012 元故答案为：4.4510 1213一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于 3 的概率是 【考点】概率公式【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2 、3 、4、5、6 ，共有 6 种可能，小于 3 的点数有 1、2，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数小于 3 的概率【解答】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子
20、，骰子向上的一面点数共有 6 种可能，而只有出现点数为 1、2 才小于 3，所以这个骰子向上的一面点数小于 3 的概率= = 故答案为： 14直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图所示放置，1=40，则2= 85 【考点】平行线的性质【分析】由等腰直角三角形的性质得出A=45，由对顶角相等得出3=1=40，由三角形的外角性质得出 4=85 ，再由平行线的性质即可得出结果【解答】解：如图所示：ABC 是等腰直角三角形，第 15 页（共 33 页）A=45，3=1=40，4=3+A=45+40=85，l 1l 2，2=4=85故答案为：85 15如图，四边形 ABCD 中，ABC=ADC
21、=90，E、F 分别是 AC、BD 的中点，BAC=15， DAC=45 ，则 的值为 【考点】直角三角形斜边上的中线【分析】连接 BE，ED，根据ABC=ADC=90 且 E 为 AC 中点，求证BED 是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质得到EF BD，根据圆周角定理得到DEF=60，求得 EF= DE，CD= DE，于是得出结论【解答】解：连接 BE，ED，ABC=ADC=90且 E 为 AC 中点，第 16 页（共 33 页）DE= AC， BE= AC，BE=DE，F 为 BD 中点，EF BD，ABC=ADC=90，A，B，C，D 四点共圆，BAC=15
22、 ，DAC=45，BAD=60 ，BED=120，FED=60，EF= DE，CD= DE， = 故答案为： 16如图，抛物线 y=2x2+8x6 与 x 轴交于点 A，B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C 2 与 x 轴交于点 B，D，若直线 y=x+m 与C1，C 2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 3m 第 17 页（共 33 页）【考点】二次函数图象与几何变换【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2 解析式，分别求出直线y=x+m 与抛物线 C2 相切时 m 的值以及直线 y=x+m 过点 B 时 m 的值，结合图
23、形即可得到答案【解答】解：令 y=2x2+8x6=0，即 x24x+3=0，解得 x=1 或 3，则点 A（1，0） ，B（3，0） ，由于将 C1 向右平移 2 个长度单位得 C2，则 C2 解析式为 y=2（x4） 2+2（3x5） ，当 y=x+m1 与 C2 相切时，令 y=x+m1=y=2（x4） 2+2，即 2x215x+30+m1=0，= 8m115=0，解得 m1= ，当 y=x+m2 过点 B 时，即 0=3+m2，m2=3，当3 m 时直线 y=x+m 与 C1、C 2 共有 3 个不同的交点，故答案是：3m 第 18 页（共 33 页）三、解答题（共 8 题，共 72 分
24、）17解方程：7x+2（3x3）=20【考点】解一元一次方程【分析】解此方程的步骤是先去括号，再移项，最后合并同类项【解答】解：去括号得：7x+6x 6=20，移项、合并同类项得：13x=26，系数化为 1 得：x=218如图，B、E、C 、F 四点在同一直线上，AB DE，BE=CF ，A= D，求证：AC=DF【考点】全等三角形的判定与性质【分析】首先根据 ABDE，可得B=DEF ，然后有 BE=CF 可得 BC=EF，可利用 AAS 判定ABCDEF，继而可得出 AC=DF【解答】证明：ABDE，B= DEF，BE=CF，BE +EC=CF+EC，即 BC=EF，在ABC 和DEF 中
25、，ABCDEF（SAS） ，AC=DF第 19 页（共 33 页）19八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图请你根据上面提供的信息回答下列问题：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 36 度，该班共有学生 40 人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 5 （2）老师决定从选择铅球训练的 3 名男生和 1 名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率
26、【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图【分析】 （1）跳绳部分的圆心角的度数用周角乘以跳绳部分所占的百分比即可；总人数用用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数；（2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可【解答】解：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 360（150% 20%10%10%） =36 度；该班共有学生（2+5+7+4+1+1）50%=40 人；训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=5，故答案为：36，40，5（2）三名男生分别用 A1，A 2，A 3 表示，一名女生用 B 表示根据题意，可画树形图如下：第 20 页（共 33 页）由上图
27、可知，共有 12 种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件 M）的结果有 6 种，P（M）= = 20如图，一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= （x0）的图象交于A（1 ，m） ，B（3，n）两点（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）点 P 为双曲线上 A，B 之间的一点，求当ABP 的面积最大时点 P 的坐标【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 （1）把 A、B 坐标代入一次函数、反比例函数解析式列出方程组即可解决（2）根据对称性点 P 就是直线 y=x 与 y= 的交点【解答】解：（1）由题意 解得 ，点 A（1，3） ，k=3，一次函数为 y=X+
28、4，反比例函数为 y= （2）直线 y=x+4 与反比例函数 y= 的图象都是关于直线 y=x 对称的，第 21 页（共 33 页）当点 P 是直线 y=x 与 y= 的交点时，PAB 面积最大由 解得 或 ，点 P 在第一象限，点 P 坐标为（ ， ） 21如图，AB 是O 的直径，PA，PC 是O 的切线，A ，C 是切点，PB 交O于点 D（1）求证：APC=2BDC；（2）若 CDAB，求 sinBDC 的值【考点】切线的性质【分析】 （1）连接 AC、OP，交于点 E，根据切线长定理得出OAPA ，OPAC ，OPA=OPC= APC，根据圆周角定理得出BDC=BAC，即可证得结论；
29、（2）连接 AD，CB，过点 P 作 PECB 交 BC 的延长线于 E，由 PA、PC 是O 的切线，得到 PA=PC，3=5，1=2 ，由于 ABCD，得到ABC= DCE ，推出3=4，5=4，通过ADP CPE，得到 AD=CE，PD=PE ，设PE=PD=a，CE=BC=AD=b，由射影定理得 2a2=b2，由勾股定理得 PA=PC= = a，于是得到结果 sinBDC=sin5= = = 【解答】解：（1）连接 AC、OP，交于点 E，如图 1，AB 是O 的直径，PA， PC 是O 的切线，OAPA ，OPAC ，OPA=OPC= APC，AOP=EOA，AEO=PAO=90，第
30、 22 页（共 33 页）BAC=OPA= APC，APC=2BAC ，BDC=BAC，APC=2BDC；（2）连接 AD，BC，过点 P 作 PEBC 交 BC 的延长线于 E，如图 2，PA、 PC 是O 的切线，PA=PC， 3=5，1=2 ，CDAB，ABC=DCE，3=4，5=4，在ADP 与CEP 中，ADPCEP，AD=CE，PD=PE，ABCD，AD=BC，设 PE=PD=a， CE=BC=AD=b，BAP=90，由射影定理得：AD 2=PDBD，BD= = ，第 23 页（共 33 页）PB= +a， BE=2b，在 RtPBE 中， （2b） 2+a2=（ +a） 2，2a
31、 2=b2，在 RtPCE 中 PA=PC= = = asin 5= = = ，ABCD，BDC=3，3=5，sin BDC= 22如图，在一面靠墙的空地商用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为 8 米；求所围成花圃的最大面积；若所围花圃的面积不小于 20 平方米，请直接写出 x 的取值范围第 24 页（共 33 页）【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】 （1）根据面积等于长乘宽即可解决问题自变量的取值范围可以根据不等式 4x24 解
32、决问题（2）根据条件先确定自变量取值范围，再利用配方法，结合自变量取值范围，确定 x 取何值时面积最大先求出4x 2+24x=20 方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围，确定 x 的取值范围【解答】解：（1）S=x （ 244x）= 4x2+24x（0x 6）（2）S=4x 2+24x=4（x 3） 2+36由 ，解得 4x6当 x=4 时，花圃有最大面积为 32令4x 2+24x=20 时，解得 x1=1，x 2=5墙的最大可用长度为 8，即 244x8x44x523已知正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，AB=4（1）如图 1，DE、DF 分别交 AC
33、于 N、M 两点，直接写出 = ，MN= ；（2）G 是 DE 上一点，且EGF=45；如图 2，求 GF 的长；如图 3，连接 AC 交 GF 于点 K，求 KF 的长第 25 页（共 33 页）【考点】四边形综合题【分析】 （1）过点 E 作 EGBC 交 AC 于 G，根据三角形中位线定理得到EG= BC，根据平行线的性质求出 ，根据勾股定理求出 AG，计算即可；（2）连接 AF，交 ED 于 H，证明DAEABF，得到HFG 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算即可；连接 EF、AF，由（1） （2）的结论得到 AH= ，EH= ，AN= ，HN=，根据平行线的性质计算即可【
34、解答】解：（1）如图 1，过点 E 作 EGBC 交 AC 于 G，E 是 AB 的中点，EG= BC= AD=2，EGBC， = = = ，EA=EG=2，AG= =2 ，NG= ，同理，GM= ，MN=NG+MG= ，故答案为： ； ；（2）如图 2，连接 AF，交 ED 于 H，在DAE 和 ABF 中，第 26 页（共 33 页），DAE ABF，ADE= BAF ，AHDE，BF=2，AB=4，AF=DE=2 ，AH= ， HF= ，EGF=45，HFG 为等腰直角三角形，GF= HF= ；（3）如图 3，连接 EF、AF，EF 为ABC 的中位线，EF AC，由（1） （2）可知：
35、AH= ，EH= ，AN= ，HN= ，HG=HF= ，NG= = ，EN=EH+NH= ， = = ，KF= 第 27 页（共 33 页）24如图，A（0，2） ，B （1，0） ，点 C 为线段 AB 的中点，将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 D（1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= ，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点 P（m，n）在抛物线上，且锐角POB+BCD90，求 m 的取值范围（3）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（1，1） ，点 Q 在抛物线上，且满足QO
36、B+BCD=90 ，若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出a 的取值范围第 28 页（共 33 页）【考点】二次函数综合题【分析】 （1）过点 D 作 DFx 轴于点 F，先通过三角形全等求得 D 的坐标，把D、E 的坐标和 c=0 代入 y=ax2+bx+c，根据待定系数法即可求得；（2）先证得 CDx 轴，进而求得要使得POB 与BCD 互余，则必须POB= BAO ，设 P 的坐标为（x， x2+ x） ，分两种情况讨论即可求得 P 点坐标，进而得出锐角POB+BCD90时，m 的取值范围；（3）若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，则当 a0 时，抛物线交于 y 轴的负半轴，
37、当 a0 时，抛物线与直线 OQ：y= x 有两个交点，得到方程ax24ax+3a+1= x，根据根与系数的关系得出不等式，解不等式即可求得【解答】解：（1）过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图 1，DBF+ABO=90，BAO+ABO=90，DBF=BAO，又AOB= BFD=90，AB=BD，在AOB 和BFD 中，AOBBFD（AAS） ，DF=BO=1，BF=AO=2，D 的坐标是（ 3，1） ，把 D（3，1） ，E（1，1） ，O （0，0）代入 y=ax2+bx+c，第 29 页（共 33 页）得 ，解得： ，该抛物线解析式为：y= x2+ x；（2）点 A（0，2） ，B（1
38、，0） ，点 C 为线段 AB 的中点，C （ ，1） ，C 、D 两点的纵坐标都为 1，CDx 轴，BCD=ABO ，BAO 与BCD 互余，要使得POB 与BCD 互余，则必须POB=BAO ，设 P 的坐标为（x ， x2+ x） ，（）当 P 在 x 轴的上方时，过 P 作 PGx 轴于点 G，如图 2，则 tanPOB=tanBAO，即 = ， = ，解得 x1=0（舍去） ，x 2= ， x2+ x= ，P 点的坐标为（ ， ） ；（）当 P 在 x 轴的下方时，过 P 作 PGx 轴于点 G，如图 3则 tanPOB=tanBAO，即 = ，第 30 页（共 33 页） = ，解
39、得 x1=0（舍去） ，x 2= ， x2+ x= ，P 点的坐标为（ ， ） ；综上，在抛物线上是否存在点 P（ ， ）或（ ， ） ，使得POB 与BCD互余，故锐角POB+BCD 90时，m 的取值范围是： m ；（3）D（3，1） ，E（1，1 ） ，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D ，代入可得 ，解得： ，所以 y=ax24ax+3a+1分两种情况：如图 4，当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时，若满足 QOB 与BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个，则点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个（i）当点 Q 在 x 轴的下方时，直线 OQ 与抛物线有两个交点，满足条件的 Q 有2 个；（ii）当点 Q 在 x 轴的上方时，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，所以 3a+10 ，解得 a ；