1、2023年江苏省淮安市淮安区中考一模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 2. 下列式子中，计算正确的是（ ）A. a3+a3a6B. （a2）3a6C. a2a3a6D. （a+b）2a2+b23. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )A. B. C. D. 5. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在O中，BOC130，点A在上，则BAC度数为（）A 55B. 65C. 75D. 1307.
2、 下列命题是真命题的是（ ）A. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形B. 平行四边形的对角线互相垂直C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D. 对顶角相等8. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）A. B. C. 1D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 光的传播速度大约是300 000 000米/秒，用科学记数法可表示为_米/秒10. 9的算术平方根是_11. 因式分解：_12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是_13. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是_14. 比较大小：_（填“”，
3、“”或“” 15. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为_16. 如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_三、解答题（本大题共11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算（1）；（2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和18. 解方程19. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边
4、BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明20. 某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A音乐；B体育；C美术：D阅读；E人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了_名学生；补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；扇形统计图中圆心角_度：（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（
5、阅读）的学生人数21. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率（用树状图或列表的方法求解）22. 如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间公路进行改建如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC80千米，A45，B30，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米(结果精确到1千米)？(参考数据：1.4，1.7)23. 如图，在
6、ABC中，ABAC，以AB为直径作O，O交BC于点D，交CA的延长线于点E过点D作DFAC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若AB4，C30，求劣弧的长24. 如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标25. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元（1）用含x的代数式表示：每件商品的
7、销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？26. 综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆该小组继续利用上述结论进行探究提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上探究展示：如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则AEC+D180（依据1）BDAEC+B180点A，B，C，E四点在
8、同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）点A，B，C，D四点在同一个圆上（1）上述探究过程中“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1： ；依据2： （2）如图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为 拓展探究：（3）如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE求证：A，D，B，E四点共圆；若AB2，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由27. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0）
9、，B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由2023年江苏省淮安市淮安区中考一模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义进行求解即可【详解】解：，的倒数是，故选A【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数2.
10、下列式子中，计算正确的是（ ）A. a3+a3a6B. （a2）3a6C. a2a3a6D. （a+b）2a2+b2【答案】B【解析】【分析】各式计算得到结果，即可作出判断【详解】A、原式2a3，不符合题意；B、原式a6，符合题意；C、原式a5，不符合题意；D、原式a2+2ab+b2，不符合题意故选：B【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键3. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可【详解】解：A的主视图是矩形，不
11、满足条件B的主视图是矩形，不满足条件C的主视图是三角形，满足条件D的主视图是矩形，不满足条件故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可【详解】解：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，点关于原点对称的点的坐标是故选：A【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律5. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
12、C【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得 从而可得答案【详解】解：如图，由题意可得： ， 故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键6. 如图，在O中，BOC130，点A在上，则BAC的度数为（）A. 55B. 65C. 75D. 130【答案】B【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案【详解】解： BOC130，点A在上， 故选B【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键7. 下列命题是真命题的是（ ）A. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形B. 平行四边形的对角线
13、互相垂直C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D. 对顶角相等【答案】D【解析】【分析】根据不能证明三角形全等即可判断A；根据平行四边形的性质即可判定B；根据外心是线段垂直平分线的交点即可判断C；根据对顶角相等即可判断D【详解】解：A、三角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，原命题是假命题，不符合题意；B、平行四边形的对角线不一定互相垂直，原命题是假命题，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，三角形外心的定义，平行四边形的性质，对
14、顶角相等等等，熟知相关知识是解题的关键8. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，设另一根为，则，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键第卷（非选择题 共126分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）9. 光的传播速度大约是300 000 000米/秒，用科学记数法可表示为_米/秒【答案】【解析】【详解】试
15、题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式，所以用科学记数法表示300000000=3108考点：科学记数法10. 9的算术平方根是_【答案】3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出【详解】，9算术平方根为3故答案为：3【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键11. 因式分解：_【答案】【解析】【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）故a2+2a=a（a+2）故答案是a（a+2）12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是_【答案】5【解析】【分析】根据圆锥的侧面积，列出
16、方程求解即可【详解】解：圆锥的侧面积为，底面半径为5，解得：，故答案为：5【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解13. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是_【答案】5【解析】【分析】根据众数的定义求解即可【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5，故答案为：5【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数熟练掌握众数的定义是解题的关键14. 比较大小：_（填“”，“”或“” 【答案】【解析】【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得【详
17、解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了实数的大小比较，灵活运用平方将无理数转化为可比较大小的有理数是解题的关键15. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为_【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的性质求出，计算即可【详解】解：根据题意得：，即点D，之间的距离为故答案为：【点睛】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键16. 如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度
18、的最小值为_【答案】#2.4【解析】【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度【详解】解：，四边形APCQ是平行四边形，POQO，COAO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线，,，则PQ的最小值为，故答案：【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题三、解答题（本大题共11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.
19、 计算（1）；（2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和【答案】（1）3 （2），3【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，乘方和绝对值，再计算加减法即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再把整数解求和即可【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解为，0，1，2，3，所有整数解的和【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算方法是解题的关键18 解方程【答案】【解析】【分析】根据解分式方程的步骤求解
20、即可【详解】解：，去分母得：，解得：，检验：当时，是原方程的根【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验19. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明【答案】（1）作图见解析 （2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可
21、以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论【小问1详解】解：如图，【小问2详解】解：证明如下：四边形ABCD是矩形，EF为AC的垂直平分线，【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质20. 某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A音乐；B体育；C美术：D阅读；E人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了_名学生；补全条形统计图（要
22、求在条形图上方注明人数）；扇形统计图中圆心角_度：（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数【答案】（1）200；见解析；54 （2）1120【解析】【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得样本容量；由总人数减去除C组的人数即可得到C组的人数，可补全图形用乘以C组人数所占比例即可；（2）用样本中D组所占比例乘以总人数即可求解【小问1详解】解：此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）；故答案为：200；C组人数为（名），故答案为：54；【小问2详解】解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名），答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人【点睛】本题考查条形统计图、扇形统
23、计图，样本估计总体，求扇形统计图的圆心角，解题的关键是明确题意，将条形统计图和扇形统计图相关联21. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生概率（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率（用树状图或列表的方法求解）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可【小问1详解】解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、
24、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是【小问2详解】列表如下：甲乙丙丁甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，所以一定有乙的概率为：【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键22. 如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现
25、开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC80千米，A45，B30，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米(结果精确到1千米)？(参考数据：1.4，1.7)【答案】汽车从A地到B地比原来少走为27千米【解析】【分析】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD的长度和AC的长度，在直角CBD中，解直角三角形求出BD的长度，再求出AD的长度，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程【详解】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，ABCD，sin30，BC80千米，CDBCsin308040(千米)，AC=56.4（千米），cos30=，BC=80（千米），BD=
26、BCcos30=80=40（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=40（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.227（千米）答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27千米【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线23. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，O交BC于点D，交CA的延长线于点E过点D作DFAC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若AB4，C3
27、0，求劣弧的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明OD/AC，可得ODDF，即可证得结论；（2）根据外角的性质可得：EAB=B+C= 60，可得圆心角EOB= 2EAB= 120，然后根据弧长公式可求得结果【小问1详解】解：证明：如图，连接OD，AB=AC，B=C，OB=OD，B=ODB，C=ODB，OD/ AC，DFAC，DFOD，DF为O的切线；【小问2详解】解：如图，连接OE，B=C=30，EAB=B+C=60，EOB=2EAB=120，的长=【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等24. 如图，矩形的两边的长分别为3
28、，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标【答案】（1）；（2）（0，14）或（0，-2）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；（2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标；【详解】解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，AD=BC=8，CD=AB=3，E为AD中点，DE=AE=4，
29、CF=6，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），E，F两点在反比例函数的图象上；-4a=-6（a-3），解得a=9，E（-4，9），k=-49=-36，反比例函数的解析式为；（2）a=9，C（0，6），点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），PC=|6-y|y=14或-2；点P的坐标为（0，14）或（0，-2）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k25. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上
30、涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2） ；（3）当售价为53元时，可获得最大利润2645元【解析】【分析】（1）根据题意分别表示每件商品的销售价以及每件商品的利润和每周的商品销售量；（2）利用每件利润每周销量=总利润，进而得出答案；（3）利用公式法求出二次函数最值进而得出答案【详解】解：（1）每件商品的销售价为
31、：元，每件商品的利润为：元，每周的商品销售量为：件；（2）所求函数关系式为：即；（3）在中，当时，y有最大值且最大值为：（元），当售价为53元时，可获得最大利润2645元【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键26. 综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆该小组继续利用上述结论进行探究提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上探究展示：如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则
32、AEC+D180（依据1）BDAEC+B180点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）点A，B，C，D四点同一个圆上（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1： ；依据2： （2）如图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为 拓展探究：（3）如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE求证：A，D，B，E四点共圆；若AB2，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请
33、说明理由【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）45； （3）见解析8【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）根据轴对称的性质得到，进而得到，证明结论；连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【小问1详解】解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；【小问2详解】解：，点四点在同一个圆上，故答案为：45；【小问3详解】证明：，点与点关于的对称，A，D，B，E四点共
34、圆；解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接，点与点关于的对称，A，D，B，E四点共圆，A，B，F，C四点共圆，【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键27. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线的解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在，或（3，4） （3）存在，
35、【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PMx轴，垂足为M，PM交AB于点N过点B作BEPM，垂足为E可得，设，则由，解方程求得的值，进而即可求解；（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值【小问1详解】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以抛物线的解析式为【小问2详解】设直线AB的解析式为，将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以直线AB的解析式为过点P作PMx轴，垂足为M，PM交AB于点N过点B作BEPM，垂足为E所以因为A（4，0），B（1，4），所以因为OAB的面积是PAB面积的2倍，所以，设，则所以，即，解得，所以点P的坐标为或（3，4）【小问3详解】记CDP，CPB，CBO的面积分别为，则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，设直线AB的解析式为设，则整理得时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键