1、第12章二次根式一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1代数式有意义时，直线一定不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2化简二次根式得（）A B C D3设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（ ）A B C D4在二次根式，中，最简二次根式有（）A1个 B2个 C3个 D4个5由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示， ，且点M在线段上若，则的长为（）A9 B C D6下列正确的个数是（）；A1个 B2个 C3个 D4个7在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为26，
2、则较小的正方形面积为（）A11 B10 C9 D88对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（）；，则；对任意大于3的正整数，有A0 B1 C2 D39在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数设，记，则的值为（）A B C100 D505010某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式小组成员利用有理化因式，分别得
3、到了一个结论：甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；丙：；丁：已知，则；戊：.以上结论正确的有（）A甲丙丁B甲丙戊C甲乙戊D乙丙丁二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11将、0按从小到大的顺序排列，用“”连接起来：_.12设x，y均为实数，且，则的值为_13若表示不超过的最大整数，则_14观察下列各式：；根据这些等式反映的规律，若，则_15如图，半径为7的扇形中，为半径上一点，过作于点，以为边向右作等边，当点落在上时，_16某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为_17如果，并且表示当时
4、的值，即， ，那么的值是 _18如图，直线l：y2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角AOB，点B（2，2）将AOB向右平移得到DEF，连结BE交直线l于点G当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（1）计算：；（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：解：第1步 第2步第3步第4步任务：上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为_（用字母表示）；上述解答过程，从第_步开始出错，具体的错误是_；计算的正确结果为_20（8分）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，
5、点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，(1)_，_；(2)请化简21（10分）（1）已知a2+，b2-，计算：的值（2）若y2，计算的值（3）估算的整数部分和小数部分分别是多少？22（10分）已知三个实数：，(1)计算：+(2)在算式“+”中，表示“”、“”中的某个运算符号，请通过计算说明当表示哪种运算符号时，算式的结果较大23（10分）我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界例如生活经验：（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（ba0），
6、再往杯中加入m（m0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，用数学关系式可以表示为 ；ABC请证明你选择的数学关系式是正确的（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，用数学关系式可以表示为 ；ABC请证明你选择的数学关系式是正确的（友情提示：，）24（12分）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k(1)求点的“倾斜系数”k的值；(2)若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；(3) 如图，边
7、长为2的正方形ABCD沿直线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围参考答案1D【分析】根据，结合图像分布规律判断即可解：代数式有意义，直线经过第一、二、三象限，故直线一定不经过第四象限，故选D【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图像分布，熟练掌握图像分布规律是解题的关键2C【分析】先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论解：二次根式有意义，故选C【点拨】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键3A【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到，代入计算即可求出的平方根解：，是有理数，且
8、，满足等式，解得：，的平方根是，故选A【点拨】本题考查了实数的运算，二元一次方程组的应用，代数式求值，平方根的定义，掌握实数的性质构造二元一次方程组是解题关键4B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可解：，最简二次根式有：、，共2个，故B正确故选：B【点拨】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键5C【分析】由，根据解直角三角形可得，同理即可求得的长解：由题意得：，同理，故选：C【点拨】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，直角三角形的性质，找出图形
9、的变化规律是解决本题的关键6B【分析】分析可知：计算正确，计算错误解：；计算正确，故符合题意；计算错误，正确计算为：，故不符合题意；计算错误，两者不能合并，故不符合题意；计算错误，正确计算为：，故不符合题意；计算错误，两者不相等，故不符合题意；，计算正确，符合题意；综上：计算正确故选：B【点拨】本题考查积的乘方，负整数次幂，完全平方公式，合并同类项，二次根式的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点7B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积解：观察
10、可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，重叠部分也为正方形，空白部分的面积为26， 一个空白长方形面积=，大正方形面积为12，重叠部分面积为3，大正方形边长=，重叠部分边长=，空白部分的长=，设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，小正方形面积=10，故选：B【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键8C【分析】将代入即可判断，解方程，即可判断，分别计算， ，即可判断，同理分别求得，找到规律，进而即可判断解：当时，故错误，即解得：，经检验是原方程的解，故正确；， ，故正确；，故错误，故选：C【点拨】本题考查了
11、代数式求值，解分式方程，二次根式的运算，数字类规律题，掌握以上知识是解题的关键9C【分析】先计算，的值，找出规律，然后求解即可解：，故选：C【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键10B【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解解：甲：，正确；乙：设有理数a，b满足：，则，故乙错误；丙：，故丙正确；丁：，则，故丁错误；戊：，故戊正确故选：B【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键11【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解：，又，；又0大于一切负数
12、，一切正数大于0故答案为：【点拨】此题主要考查了实数的大小的比较，考查了实数的大小比较注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小12【分析】先根据二次根式的定义求出和的值，然后再将和的值代入要求得式子即可；解：由二次根式的性质可得：，将代入中得：，将，代入上式得：原式故答案为：【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根式有意义的条件的运用是解题关键13【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到解：，那么，故答案为：【点拨】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数也考查了分母
13、有理化和零指数幂141【分析】根据等式得出规律：若，则，进而解决此题解：由题意得：若，则，故答案为：1【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题关键是理解题干找出规律15【分析】连接设证明，利用勾股定理构建方程求解即可解：如图，连接设，是等边三角形， （负根已经舍去），故答案为：【点拨】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型16【分析】先利用矩形的周长的一半减去矩形的宽得到矩形的长，即这块草地的长为，去括号合并得到矩形的长为，然后根据矩形的面积公式得到这块草地的面积，再进行二次根式的乘法运算解：这块草地的长，所以这块草地的
14、面积故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法17【分析】根据已知表达式，求出，进而求得，再进一步求解原式值解：， 又故答案为：【点拨】本题主要考查根据已知条件求代数式值、分式运算及规律探索；解题的关键在于分式运算法则的熟练运用及规律探索18【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求
15、出直线CD的关系式，然后将两个直线关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案解：ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），AO=4，点A（0，4），则，解得设直线AB的关系式为y=kx+b，得，解得，直线AB的关系式为y=-x+4当y=0时，x=4，点E（4，0），点D（4，4），将点D坐标代入y=2x+b，得4=8+b，解得b=-4，所以直线CD的关系式为y=2x-4.将两个直线关系式联立，得，解得，则点G，【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键19（
16、1）；（2）；三，计算错误；【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；（2）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可解：（1）原式；（2）根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，故答案为：；上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误，故答案为：三，计算错误；，计算的正确结果为，故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键20(1)，；(2)【分析】（1）由勾股定理求出OA=OM=，OB=ON=，根据点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，即可得答案；（2）根据二次根式的性质，当a0时，当a0
17、时，当a=0时，化简即可（1）解：由勾股定理可知：OA=OM=，OB=ON=，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，；（2）， 【点拨】本题考查了勾股定理和二次根式的性质，解题的关键是根据勾股定理求出a、b的值21（1）4；（2）；（3）的整数部分为6，小数部分为【分析】（1）先进行提公因式，然后代入求解即可；（2）根据二次根式有意义的条件得出x=4，然后确定y的值，代入求解即可；（3）由无理数的估算方法得出，即可确定其整数部分与小数部分解：（1），当a2+，b2-时，原式；（2）y2，x=4，当x=4时，y=-2，；（3）36373+【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；（2）
18、由点的“倾斜系数”，由=2或=2求解即可；由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；（3）当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，此时，=，则，求得a=+1；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，此时，则，求得：a=3+；即可求得时，a的取值范围（1）解：由题意，得，3，点的“倾斜系数”k=3；（2）解：a=2b或b=2a，点的“倾斜系数”，当=2时，则a=2b；当=2时，则b=2a，a=2b或b=2a；的“倾斜系数”，当=2时，则a=2b，2b+b=3，b=1，a=2，P(2，1)，OP=；当=2时，则b=2a，a+2a=3，a=1，b=2，P(1，2)OP=；综上，OP=；（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，此时，=，则，解得：a=+1；则;当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，此时，则，解得：a=3+，,则;综上，若P的“倾斜系数”，则a3+【点拨】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值