1、2021年湖南省长沙市芙蓉区中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）1的相反数是（）ABCD2如果有意义，则的取值范围是（）ABCD3下列事件中必然发生的事件是A一个图形平移后所得的图形与原来的图形不一定全等B不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度不一定相等D200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品4下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）ABCD5如图，是一个圆柱体笔筒和一个正方体箱子那么它的正视图是()ABCD6抛一枚质地均匀的硬币三次，其中“至少有两次正面朝上”的概率是（）ABCD7已
2、知关于x的方程（k2）2x2+（2k+1）x+10有实数解，且反比例函数y的图象经过第二、四象限，若k是常数，则k的值为（）A4B3C2D18一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：甲、乙两地相距1000千米；点B的实际意义是两车出发3小时后相遇；普通列车从乙地到达甲地时间是9小时；动车的速度是千米/小时，其中不正确的有（）A1个B2个C3个D4个9如图，在平面直角坐标系中，点在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的
3、坐标为()ABCD10如图，是由一连串的直角三角形演化而成，其中 OA1A1A2A7A81，若将图形继续演化，第 n 个直角三角形OAnAn+1 的面积是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置）11计算的结果是_12某校随机调查统计了20名学生某日完成教师布置的课外作业时间，列表如下：时间（分钟）35404550人数4673则这20名同学这天完成作业时间的中位数是_13计算的结果是_14若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m+4，0），该函数图像向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，
4、则n的值是_15如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，ADB=30，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当DEQ是直角三角形时，DF的长为 _16如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EGBC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB，EF2，H120，则DN的长为_三、解答题（共8小题，共72分。下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形）17先化简，再求值：，其中x218如图，A90，BD平分ABC，交AC于点D，DEBC于点E，DFAB交BC于点F（1）依题意补全
5、图形；（2）设C，ABD_（用含的式子表示）；猜想BDF与DFC的数量关系，并证明19某校开展“爱读书、读好书、善读书”的阅读活动，随机抽取了m名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图请根据图表中的信息解答下列问题：组别时间/小时频数/人数A组4B组nC组10D组18E组8F组4(1)_，_；(2)若该校有400人，试估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数；(3)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生20如图，在等腰中，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，满足
6、，（1）求证：；（2）若的面积为18，记的面积为，的面积为，求21国庆期间，为了满足群众的消费需求，某电器商场计划用190000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台）200014001000售价（元/台）240016001100若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是洗衣机台数的2倍，设该电器商场购买洗衣机台（1）电器商场至多可以购买洗衣机多少台？（2）购买洗衣机多少台时，能使电器商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？22如图，ABC中，CACB，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过D点作O的切线DE，交AC
7、于点E(1)证明：DEAC；(2)连接OE，当，SOCE6时，求O的半径23线段直线l于点B，点D在直线l上，分别以，为边向同一侧作等边和等边，直线交直线l于点F(1)当点F在线段上时，如图，求证：；(2)当点F在线段的延长线上时，如图；当点F在线段的延长线上时，如图，请分别写出线段、之间的数量关系，不需要证明；(3)当F是的中点并且时，求等边的边长24将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直线（，为常数）与
8、抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点求证：直线经过一个定点参考答案：1【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号的相反数是解：的相反数是故选：D【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是02【分析】根据二次根式的定义即可解答解：是二次根式，解得，当时，是二次根式，即当时,二次根式有意义，故选：【点评】本题考查了二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键3【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型解：一个图形平移后所得的图形与原来的图形一定全等，A是不可能
9、事件；不等式的两边同时乘以一个数0，结果不是不等式，B是随机事件；过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度一定相等，C是不可能事件；200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品，D是必然事件故选D【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中
10、心对称图形故选B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合5【分析】从正面看得到圆柱的正视图为长方形，正方体的正视图为正方形解：从正面看可得到中间有空隙的一个长方形和一个正方形的组合图形，故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图6【分析】根据随机掷一枚质地均匀的硬币三次，可以分别假设出三次情况，画出树状图即可解：随机掷一枚质地均匀的硬币三次，根据树状图可知至少有两次正面朝上的事件次数为：4，总的情况为8次，故至少有两次正面朝上的事件概率是：故选：B【
11、点评】本题主要考查了树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图7【分析】根据根判别式得（2k1）24（k2）20，及反比例函数性质得2k-30,求出不等式的解集，再取整数解即可.解：方程为一元二次方程，k20，即k2方程有实数根，0，（2k1）24（k2）20，即（2k12k4）（2k12k4）0，5（4k3）0，k.又反比例函数y=的图象经过第二、四象限，2k-30,k ,k的取值范围是k.又k是整数，k=1.故选D【点评】本题考核知识点：一元二次方程的根和反比例函数性质. 解题关键点：熟记一元二次方程的根判别式和反比例函数性质.8【分析】根据函数图像求解即可；解：由图像可得，甲乙两地相
12、距1000千米，故正确；出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发3小时后相遇，故正确；由图像可得，普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故不准确；普通列车的速度为（千米/小时），设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：，解得：，动车的速度为250千米/小时，故不准确；不正确；故答案选B【点评】本题主要考查了函数图像的应用，准确计算是解题的关键9【分析】过点D作DHy轴，交y轴于H，根据矩形和正方形的性质可得EOF=BCF=HDE=90，EF=BF=ED，BC=OA，根据角的和差关系可得FBC=OFE=HED，BFC=OEF=HDE，利用ASA可证明OFECBFHDE，可
13、得FC=OE=HD，BC=OF=HE，由点E为OA中点可得OF=2FC，即可求出FC的长，进而可得HE的长，即可求出OH的长，即可得点D坐标解：过点D作DHy轴，交y轴于H，四边形是矩形，四边形是正方形，EOF=BCF=HDE=EFB=90，EF=BF=ED，BC=OA，OFE+BFC=90，FBC+BFC=90，OFE=FBC，同理：OEF=BFC，在OEF和CFB中，BC=OF=OA，FC=OE，点E为OA中点，OA=2OE，OF=2OE，OC=3OE，点C坐标为（3，0），OC=3，OE=1，OF=2，同理：HDEOEF，HD=OE=1，HE=OF=2，OH=OE+HE=3，点D坐标为（
14、1，3），故选：D【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键10【分析】根据勾股定理分别求出OA2、AO3，根据规律求出OAn，根据三角形的面积公式计算即可解：OA1=A1A2=A2A3=A3A4=AnAn+1=1，OA2=，OA3=，OA4=，OA5=，OAn=，OAnAn+1的面积=，故选C【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c211【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案解：故答案为【点评】考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键12【分
15、析】根据中位数的定义，即可求解解：根据题意得：把这20个数据从大到小排列后，位于第10位和第11位分别为45，40，这20名同学这天完成作业时间的中位数是故答案为：【点评】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键13【分析】根据异分母分式减法运算法则计算即可解：故答案为：【点评】本题考查异分母分式的减法运算熟练掌握其运算法则是解题关键14【分析】设交点式为y（xm）（xm4），在把它配成顶点式得到yx（m+2）2+4，则抛物线的顶点坐标为（m+2，4），然后利用抛物线的平移可确定n的值解：设抛物线解析式为y（xm
16、）（xm4），yx22（m+2）x+（m+2）24x（m+2）2+4，抛物线的顶点坐标为（m+2，4），该函数图象向下平移4个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，即n4，故答案为：4.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：将求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键15【分析】分两种情况画出图形，当DQE=90时，如图2，如图3，当DEQ=90时，如图4，过点F作FMAD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=a，根据含30的直角三角形的性质即可得到结论
17、解：四边形ABCD是矩形，BAD=90，AB=2，ADB=30AD=2，点E是边AD的中点，DE=，如图2，当DQE=90时，点E是AD的中点，PEBD，ADB=30PED=60，由对称可得，EF平分PED，DEF=PEF=30，DEF是等腰三角形，DF=EF，PEBD，ADB=30，DE=，QE=，PEF=30，EF=1，DF=EF=1；如图3，PEBD，ADB=30PED=120，由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分PED，DEF=PEF=120，EFD=30，DEF是等腰三角形，PEBD，QD=QF=DF，PEBD，ADB=30DE=，QE=，QD=，DF=2QD=3；DF的长为
18、1或3；当DEQ=90时，如图4，EF平分PED，DEF=45，过点F作FMAD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=a，a+a=，a=，DF=3-，综上所述，当DEQ是直角三角形时，DF的长为1或3或3-，故答案为：1或3或3-【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，对称的性质、含30直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题16【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证，由勾股定理求得GP的值，再由三角形的中位线定理求解即可得到答案.解：延长EG交DC于P点，连接
19、GC、FH；如图所示：则CPDPCD，GCP为直角三角形，四边形EFGH是菱形，EHG120，GHEF2，OHG60，EGFH，OG，由折叠的性质得：CGOG，OMCM，MOGMCG，OGCM，MOGOMC180，MCGOMC180，OMCG，四边形OGCM为平行四边形，OMCM，四边形OGCM为菱形，CMOG，过N作NQMC于点Q，NQGP于K根据题意得：KG是三角形MNQ的中位线，MQ2KG，DN故答案为：.【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.17【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，单
20、项式乘单项式可以化简题目中的式子，然后将x2代入化简后的式子计算即可解：，当x2时，原式【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键18【分析】（1）过D画DEBC，DFAB即可；（2）根据余角的定义和角平分线的定义可得；根据角平分线定义可得ABC2ABD，再根据DEAB可得DFCABC，ABDBDF，可得DFC2BDF解：（1）如图：（2）A90，ABC90C90，BD平分ABC，ABDABC（90）45，故答案为45；DFC2BDF，证明：DFAB，DFCABCABDBDFBD平分ABC，ABC2ABDDFC2BDF【点评】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的
21、性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等19【分析】（1）根据A组的频数和百分比可求出m，用所求m值减去各组人数即可求出n（2）用E组的频数除以m，得出百分比，再乘以400，即可求出答案（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到都是女生的结果数，再根据概率公式求解即可解：（1）（人），（人）故答案为：50，6；（2），估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数占，则估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数为（名）（3）设F组的男生为A，女生为画树状图如下：由树状图可知，所有可能出现的等可能结果共有12种，恰好都是女生的结果有6种，P（恰好都是女生）【点评】本题考查了列表
22、法与树状图法、用样本估计总体、频数（率）分布表，解决本题的关键是掌握概率公式20【分析】（1）由条件可以推理得到ABE=CAF，BAE=FCA，用角边角判定；（2）由第一问全等，可以得到S1=SACF，进一步知S1+S2=SACD，由=，可知，从而求得结果（1）证明：BED=CFD=BAC，BED=BAE+ABE，BAC=BAE+CAF，CFD=FCA+CAF，ABE=CAF，BAE=FCA在ABE和CAF中，ABECAF（ASA）（2）解：ABECAF，S1=SACF，S1+S2=SACDSABC=18，=，SACD=12,S1+S2=12【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，解题关键是掌
23、握ASA定理和三角形面积的计算方法21【分析】（1）根据表格中三种家电的进价表示三种家电的总进价，小于等于190000元列出关于x的不等式，及100-3x0，x为正整数，即可解答；（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y（24002000）2x+（11001000）x+（16001400）（1003x）300x+20000，结合（1）中x的取值范围，利用一次函数的性质即可解答解：（1）根据题意，得：20002x+1000x+1400（100x2x）190000，解得：x，又100-3x0即x为正整数，x至多为33，答：商店至多可以购买洗衣机33台（2）设商店销售完这批家电后获得的利润
24、为y元，则y（24002000）2x+（11001000）x+（16001400）（1003x）300x+20000，k3000，y随x的增大而增大，x且x为正整数，当x332时，y有最大值，最大值为：30033+2000029900，答：购买洗衣机33台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为29900元【点评】此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元一次不等式的应用，不等式解集中的正整数解，以及一次函数的图象与性质，此类题常常以实际生活为情景，考查利润等热点问题，解答时要审清题中的等量关系及不等关系，从表格中提取有用的信息，达到解决问题的目的22【分析】（1）连接OD，根
25、据DE是O的切线，可得ODE90，由ACBC，可得OBDA，进而可得AODB，可得ODAC，即可证明结论；（2）连接CD，证明CDEABC，由得，设CE3x，CD5x，则DE4x，根据SOCE6可求出x的值，可得CD的长，由可得BC的长，即可得O的半径解：（1）证明：如图1，连接OD，则OD为O的半径，DE是O的切线，ODE90，OBOD，OBDODB，ACBC，OBDA，AODB，ODAC，DEC180ODE90，DEAC；（2）解：连接CD，如图2，BC为直径，BDCCDA90，CDE+EDA90，DEAC，ADE+A90，ACDE，CACB，AB，CDEABC，设CE3x，CD5x，则D
26、E4x，SOCECEDE66，x1或x1（不合题意，舍去），x1，CD5，BC，O的半径为【点评】此题主要考查了圆的切线的性质定理、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键23【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到；（2）根据（1）的方法，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图，图得到答案；（3）根据F是的中点，可知情况如如图所示，连接，根据全等三角形的性质，结合（1）中的结论，即可求解（1）解：和都是等边三角形，在和中，)；（2）如图：，证明：，都是等边三角形，如图：同理可得，（3）根据F是的中点，可知情况如如图所示，连接
27、，即有：，根据等边和等边可得：，在（1）中已证明)，即，即是等边三角形，即利用勾股定理可得：，即边的边长为【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键24【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到BDA=BOA=45，从而证出是等腰直角三角形设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点
28、，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可解：（1）抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6（2）如下图，过点A作ACx轴于点C，连接AD，是等腰直角三角形，BOA =45，又BDO=BAO=90，点A、B、O、D四点共圆，BDA=BOA=45，ADC=90-BDA=45，是等腰直角三角形，DC=A
29、C点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，抛物线的对称轴为x=2，设点A的坐标为（x，x2-4x-2），DC=x-2，AC= x2-4x-2，x-2= x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），点A的坐标为（5，3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2= -(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），点的坐标为（4，-2），综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）（3）直线（，为常数）与抛物线交于，两点，x2-kx-6=0，设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，xE+xF=k，中点M的横坐标xM=，中点M的纵坐标yM=kx=，点M的坐标为（，）；同理可得：点N的坐标为（，），设直线MN的解析式为y=ax+b（a0），将M（，）、N（，）代入得：，解得：，直线MN的解析式为y= x+2（），不论k取何值时（），当x=0时，y=2，直线经过定点（0，2）