1、2023年江西省景德镇市中考二模数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）A. B. C. D. 2. 年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）A. B. C D. 3. 我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）A. B. C. D. 4. 将两本相同的书
2、进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ）A. B. C D. 5. 如图，是的弦，长为6，是上一个动点（不与、重合）过点作于点，于点，则的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是（ ）A. a0，b0B. a0，b0C. a0，b0D. a0，b0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 因式分解：_8. 正多边形的一个内角等于144，则该多边形是正_边形9. 化学元素钉（）是除铁（）、钻（）和镍（）以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素钉（）的原子半径约将用科学记数
3、法表示为_10. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的发明，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位，十位，百位，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小，若将个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是_11. 已知，是方程的两个根，则的值为_12. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是_三
4、、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：；（2）解方程：14. 2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：流浪地球2，满江红，无名甲、乙两人分别从中任意选择一部观看（1）甲选择满江红电影是_事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）15. 先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数求值16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：（1）在上找一点D，使；（2）在上找一点E
5、，使平分17. 如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，连接交于点，且（1）求证：（2）若，求的长四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 2022年12月7日，国务院发布10条防疫政策，宣告我国3年疫情开始全面放开，但个人卫生防护依然不能放松，为加强学生自我防护意识，学校购进一批酒精消毒瓶如图11所示，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）（1）求点D转动到点路径长；（2）求点D到直线的距离（结果精确到）（参考数据：，）19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，并与轴交于点点是
6、线段上一点，与的面积比为（1）求一次函数与反比例函数的表达式，及点的坐标；（2）若将绕点顺时针旋转，得到，当点正好落在轴正半轴上时，判断此时点是否落在函数的图象上，并说明理由20. 广大青少年的身体和心理健康已经成为社会关注的话题，而学生的身体和心理健康教育需要学校和家庭共同承担某校在八、九年级家长中进行了“青少年身心健康知识”调查活动，并将调查结果用计算机折合成分数（百分制），从八、九年级的家长调查卷中各随机抽取了10名家长的折合分数，数据整理如下：（分数用表示，共分成四组：A，B，C，D）八年级10名家长的分数是：95，84，99，89，99，86，100，80，89，99九年级10名家长
7、的分数在组中的数据是：93，90，91抽取的八、九年级家长分数统计表：年级平均数中位数众数方差八年级929248.2九年级92100411根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述，的值：_，_，_，（2）该校八、九年级分别有500名、400名家长参加了此次调查活动，请估计两个年级分数低于90分的家长总人数；（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更好？请说明理由（写出一条理由即可）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，内接于，为直径，过点作，交的延长线于点，交于点，为上一点，连接，其中（1）求证：是的中点；（2）求证：是
8、的切线；（3）如果，求弦长22. 如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段拋物线其中米，米（轨道厚度忽略不计）（1）求抛物线的函数关系式；（2）在轨道距离地面米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了1米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直坚直支架、，且要求已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？六、解答题（本大题1小题，共12分）23. 课本再现（1）
9、如图1，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明将沿中位线裁剪后，把绕点旋转180得到四边形，则四边形的形状是_类比迁移（2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、，且如图2，若四边形是正方形，、之间的数量关系为_；如图3，若四边形是平行四边形，中的结论是否成立，请说明理由；方法运用（3）图4，在四边形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，求的长2023年江西省景德镇市中考二模数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据无理数和有理数的定义进行判断即可【详解】解：是无理
10、数；是有理数；是无理数；是无理数，故选：B【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键2. 年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答【详解】解：A不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是中心对称图形，故本选项符合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别把一个图形绕某一点旋转，如果
11、旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键3. 我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若设买甜果个，买苦果个，甜果苦果买九十九个，可列方程为，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，九十七文钱，可列方程为，由此即可求解【详解】解：设买甜果个，买苦果个，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，九十七文钱，
12、列方程组得，故选：【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，理解题目中的数量关系列方程是解题的关键4. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，即可得到答案【详解】解：从左边看是两个长方形，上面的长方形靠左，下面的长方形靠右，故选C【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形就是左视图5. 如图，是的弦，长为6，是上一个动点（不与、重合）过点作于点，于点，则的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理得出，再根据三角形的中位线推出，代
13、入求出即可【详解】解：，由垂径定理得：，是的中位线，故选：C【点睛】本题考查了垂径定理应用，熟练掌握垂径定理及三角形中位线的性质是解题的关键6. 用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是（ ）A. a0，b0B. a0，b0C. a0，b0D. a0，b0【答案】A【解析】【分析】由图象可知，当x0时，y0，再由当x=-b时，函数值不存在，可得b0，即可求解【详解】解：由图象得，当x0时，y0，a0；当x=-b时，函数值不存在，-b0，b0故选：A【点睛】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键二、填空题（本
14、大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】先提出公因式，之后利用完全平方公式即可分解因式详解】解： 故答案为：【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键8. 正多边形的一个内角等于144，则该多边形是正_边形【答案】十【解析】【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案【详解】解：设正多边形是边形，由题意得解得，故答案为：十【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式9. 化学元素钉（）是除铁（）、钻（）和镍（）以外，在室温下具有独特磁性的第四
15、个元素钉（）的原子半径约将用科学记数法表示为_【答案】；【解析】【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点放在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点放在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键10. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的发明，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位，十位，百位，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）
16、代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小，若将个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是_【答案】623；【解析】【分析】根据下珠一粒表示1，个位表示1，十位上一粒表示10，百位一粒表示100；一粒上珠表示5，个位表示,5，十位上一粒表示50，百位一粒表示500；依次计算即可【详解】个位往上拨3粒下珠，表示的数是3；十位往上拨2粒下珠，表示的数是20；百位往上拨1粒下珠，代表100，往下拨1粒上珠，表示的数500，百位上表示的数是；这个数是，故答案为：【点睛】本题考查了算盘的运算原理，熟练掌握数字与数位的关系是解题的关键11. 已知，
17、是方程的两个根，则的值为_【答案】【解析】【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到，再把进行通分得到，再利用整体代入进行计算即可【详解】解：转化为一般式为：，根据题意可得：，故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到，是解题的关键12. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是_【答案】，或，或，【解析】【分析】利用待定系数法求出函数关系式，再分两种情况讨论：当时，当时，分别求
18、出点坐标即可；【详解】解：由题意，得：，解得：，抛物线的解析式为：；由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，当时，则，解得：（舍去）或4，即点的坐标为，当时，解得：，综上所述，满足条件的点坐标为，或，或，；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、特殊角的正切值、化简绝对值，再计算二次根式的混合运算即可得；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所
19、求的方程的解进行检验即可得【详解】解：（1）原式；（2），方程两边同乘以，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，经检验，是原分式方程的解，故方程的解为【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的正切值、解分式方程，熟练掌握各运算法则和分式方程的解法是解题关键14. 2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：流浪地球2，满江红，无名甲、乙两人分别从中任意选择一部观看（1）甲选择满江红电影是_事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）【答案】（1）随机事件 （2）画图见解析，【解析】【分析】（1）根据事件的分类进行判断即
20、可求解随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（2）根据画树状图法求概率即可求解【小问1详解】甲选择满江红电影是随机事件故答案为：随机小问2详解】流浪地球2，满江红，无名分别用A、B、C表示，画树状图得：共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，甲、乙2人选择同1部电影的概率为【点睛】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键15. 先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数求值【答案】；当时，原式【解析】【分析】将分式化简，解出不等式组取整数解，注意分式有意义的情况，代入求值即可解答【详解】解：原式，解不等
21、式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为：，该不等式组的整数解为：，0，当x只能取，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，注意分式是否有意义是解题的关键16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：（1）在上找一点D，使；（2）在上找一点E，使平分【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）取格点T，连接交于点D，构建，得到，点D即为所求；（2）取格点P，连接，得到，取的中点Q，连接交于点E，利用等腰三角形的性质得到平分，则点E即为所求【小问1详解】解：如图，点D即为所求
22、；【小问2详解】解：如图，点E即为所求【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型17. 如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，连接交于点，且（1）求证：（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，由于，可得，利用即可证明（2）由（1）得，可得到对应边成比例，代入即可求出的长【小问1详解】解：四边形是平行四边形，又，；【小问2详解】解：，【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键四、解答题（本大题共3小题，每小题8分
23、，共24分）18. 2022年12月7日，国务院发布10条防疫政策，宣告我国3年疫情开始全面放开，但个人卫生防护依然不能放松，为加强学生自我防护意识，学校购进一批酒精消毒瓶如图11所示，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）（1）求点D转动到点的路径长；（2）求点D到直线的距离（结果精确到）（参考数据：，）【答案】（1） （2）【解析】分析】（1）由，求出，从而可得，根据弧长公式即可求得结果；利用锐角三角函数分别求得 、，即可求出结果（2）过D作于G，过E作于H，【小问1详解】解：，点D转动到点的路径长为；【小问2详解】解：过D作于G
24、，过E作于H，如图：中，中，点D到直线的距离约为【点睛】本题考查圆的弧长公式及解直角三角形的应用，熟练掌握弧长公式和三角函数解直角三角形是解题的关键19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，并与轴交于点点是线段上一点，与的面积比为（1）求一次函数与反比例函数的表达式，及点的坐标；（2）若将绕点顺时针旋转，得到，当点正好落在轴正半轴上时，判断此时点是否落在函数的图象上，并说明理由【答案】（1）； （2）点不在函数的图象上，理由见解析【解析】【分析】（1）将代入，求得，代入，得出，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据与的面积比为，得出，进而得出，即点的纵坐标为
25、4，代入直线解析式，即可求解（2）勾股定理求得，过点作轴，垂足为，等面积法求得，进而在中，得出的横坐标，进而即可得出结论【小问1详解】解：将代入，得，将代入，得，如图1，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，与的面积比为，又点的坐标为，即点的纵坐标为4，把代入中，得，；【小问2详解】由题意可知，如图2，过点作轴，垂足为，由一次函数可知，即，在中，的坐标为，点不在函数的图象上【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键20. 广大青少年的身体和心理健康已经成为社会关注的话题，而学生的身体和心理健康教育需要学校和家庭共同承担某校在八、九年级家
26、长中进行了“青少年身心健康知识”调查活动，并将调查结果用计算机折合成分数（百分制），从八、九年级的家长调查卷中各随机抽取了10名家长的折合分数，数据整理如下：（分数用表示，共分成四组：A，B，C，D）八年级10名家长的分数是：95，84，99，89，99，86，100，80，89，99九年级10名家长的分数在组中的数据是：93，90，91抽取的八、九年级家长分数统计表：年级平均数中位数众数方差八年级929248.2九年级9210041.1根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述，的值：_，_，_，（2）该校八、九年级分别有500名、400名家长参加了此次调查活动，请估计两个年级分数低于9
27、0分的家长总人数；（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更好？请说明理由（写出一条理由即可）【答案】（1）40，99，92 （2）320人 （3）九年级家长，理由见解析【解析】【分析】（1）观察数据，按要求求出所需值即可；（2）分别让总人数乘以两个年级分数低于90分的占比，相加即可解答；（3）从中位数和方差的角度分析即可求解【小问1详解】解：八年级测试成绩99出现了3次，次数最多，；九年级类有3人，所以类占总人数的，则类占，所以，九年级的中位数为：；故答案为：40，99，92；【小问2详解】解：八年级有（人），九年级有（人），八九年共有（人）答：估计
28、两个年级分数低于90分的家长总人数为320人；【小问3详解】解：九年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更好，理由如下：平均数和中位数相同的情况下，九年级测试成绩的众数更高，且方差小于八年级，即九年级家长的分数更稳定且满分更多，所以九年级家长了解的更好【点睛】本题主要考查了众数，中位数，方差及用样本估计总体，熟练掌握相关概念是解题的关键五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，内接于，为直径，过点作，交的延长线于点，交于点，为上一点，连接，其中（1）求证：是的中点；（2）求证：是的切线；（3）如果，求弦的长【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】
29、（1）由圆周角定理得出，有直角三角形的性质得出，得出，则可得出最后结论；（2）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则，则可得出最后结论；（3）由，得出，利用，求出，即可求出的长【小问1详解】证明：为的直径，在中，是的中点；【小问2详解】证明：连接，是的切线；【小问3详解】，在中，【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，正确作出辅助线，是解答本题的关键22. 如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段拋物线其中米，米（轨道厚度忽略不计）（1）求抛物线的函数关系式；（2）在轨道距离地面米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平
30、行于地面向前运动了1米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直坚直支架、，且要求已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【答案】（1） （2）11米 （3）当米，米时造价最低，最低造价为64000元【解析】【分析】（1）由题意可知：点E为抛物线的顶点，且点E的坐标为，于是可设抛物线的解析式为，然后把点F的坐标代入求出a即可；（2）把代入抛物线，通过解方程求出点P、G的坐标，进而可
31、得的长，即求得抛物线由抛物线向右平移个单位，求得，令，进一步计算即可求解；（3）设OA=m，则OB=3m，再利用二次函数的性质求解即可【小问1详解】解：由图象可知，顶点E的坐标为，设抛物线解析式为，把代入，得：，抛物线的函数关系式为：；【小问2详解】解：当时，解得：，抛物线的形状与抛物线完全相同，抛物线由抛物线向右平移个单位，抛物线为：，令，则，解得：（舍），离出发点的水平距离最远为11米；【小问3详解】解：设OA=m，则OB=3m，当时，总长度最短，最短为8，（元）当米，米时造价最低，最低造价为64000元【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关
32、键六、解答题（本大题1小题，共12分）23. 课本再现（1）如图1，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明将沿中位线裁剪后，把绕点旋转180得到四边形，则四边形的形状是_类比迁移（2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、，且如图2，若四边形是正方形，、之间的数量关系为_；如图3，若四边形是平行四边形，中的结论是否成立，请说明理由；方法运用（3）图4，在四边形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，求的长【答案】（1）平行四边形；（2），理由见解析；成立，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形；（2）如图2，延长，交于
33、点，证明，得到，再证明垂直平分，得到，即可证明；如图2延长、交于点，证明，得到，再证明垂直平分，得到，即可证明；（3）如图2，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，证明，得到，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得【详解】解：（1）是平行四边形，理由如下：由旋转的性质可得，D是的中点，又，四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2），理由如下：如图2，延长，交于点，为中点，四边形是正方形，在和中，垂直平分，即；（2）中结论仍然成立，理由如下：如图2延长、交于点，为中点，四边形是平行四边形，在和中，垂直平分，即；（3）如图2，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，为中点，在和中，为等腰直角三角形，垂直平分，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，熟知全等三角形的“倍长中线”模型是解题的关键