1、2023年北京市西城区高三二模数学试卷一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。（1）复数的虚部为（A）（B）（C）（D）（2）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（3）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（A）（B）（C）（D）（4）在中，则（A）（B）（C）（D）（5）设，则（A）（B）（C）（D）（6）将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为若，则四面体的体积为（A）（B）（C）（D）（7）已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度则点相遇时在数轴上的坐标为（A）（
2、B）（C）（D）（8）已知函数则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（A）（B）（C）（D）（10）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处则点到达点所跳跃次数的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_（12）设等比数列的前项和为，则_；使成立的的最小值为_（13）在中，若
3、，则_（14）已知两点点满足，则的面积是_；的一个取值为_（15）已知直线和曲线，给出下列四个结论： 存在实数和，使直线和曲线没有交点； 存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点； 存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点； 对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点（）求证：平面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值（17）（本小题14分）已知函数，其中再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题（）求的值； （）当
4、时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围条件：；条件：是的一个零点；条件：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题13分）体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）对成人，若，则身体处于肥胖状态某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系）假设用频率估计概率（）该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；（）从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期
5、望；（）从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为 （）求椭圆的方程和离心率；（）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为当四边形的面积最大时，求的值（20）（本小题15分）已知函数（）求在区间上的最大值和最小值；（）若恒成立，求实数的值（21）（本小题15分）给定奇数，设是的数阵表示数阵第行第列的数，且定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中设将经过变换得到，经过变换得到，经过变换得到记数阵中的个数为（）当时，设，写出，并求；（）当时，对给定的数阵，证
6、明：是的倍数；（）证明：对给定的数阵，总存在，使得参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D（3）D（4）B（5）A （6）A（7）B（8）C（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） （14） （答案不唯一）（15） （注：选对1个给2分，选对2个给3分，全对给5分；错选0分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）连接因为分别为的中点，所以在三棱柱中，所以，四点共面1分因为，分别为的中点，所以，所以四边形为平行四边形4分所以5分因为平面，平面，所以平面6分（）由题设平面，所以，因为，所以两两垂直
7、如图建立空间直角坐标系7分所以，设平面的法向量为，则 即 令，则，于是10分设直线与平面所成角为，则13分（17）（共14分）解：选条件（）由题设1分所以2分因为， 所以3分所以4分所以5分（）由（）7分8分因为， 所以 9分于是，当且仅当，即时，取得最大值；11分当且仅当，即时，取得最小值12分又，即时， 13分所以的取值范围是14分选条件（）由题设1分整理得2分以下同选条件（18）（共13分）解：（）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，2分所以估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为4分（）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，且其中恰有人体重在以上，所以从该企业身体处于肥胖状态的员工中随
8、机抽取人，估计其体重在以上的概率为5分由题设，；的所有可能取值为 估计为； 估计为；估计为； 估计为9分所以的分布列为估计的数学期望11分（）或 13分（19）（共15分）解：（）由题设 3分解得 所以椭圆的方程为4分的离心率为5分（）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点6分由 得 7分设，则， 9分由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等所以四边形的面积为面积的倍10分又，所以12分所以13分设，则 所以 14分当且仅当，即时，所以四边形的面积最大时，15分（20）（共15分）解：（）因为，2分所以在区间上单调递增3分所以的最小值为；的最大值为5分（）的定义域为由（）知，且在上单调递增
9、，所以当时，；当时，7分设若恒成立，则当时，；当时，所以，即，解得9分下面证明：当时，恒成立此时，当时，所以在上单调递增，11分当时，设因为，所以在上单调递增又，所以存在唯一的，使得13分所以在上单调递减，在上单调递增因为，且，所以当时，恒成立综上，15分（21）（共15分）解：（）由题设，2分所以，4分（）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为所以 即是的倍数9分（）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为由（）可知，10分设当时，取得最小值，其中记每行中的个数为，则必有否则，若存在使得，则令，有，与为最小值矛盾11分在中， 若等于的个数不超过，则12分若等于的个数大于，则必存在满足，且否则，不妨设，则共有个满足，且，所以中至多有个等于，矛盾故存在满足，且 13分取，因为，所以 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为故，这与为最小值矛盾综上，对给定的数阵，总存在，使得15分