1、数学试卷共 6 页第 1页2023 年大连市高三适应性测试年大连市高三适应性测试数 学数 学本试卷共 6 页.考试结束后，将答题卡交回注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第卷一一.单项选择题：本题
2、共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1已知集合，MN，满足=M MN，则AMNBNMCNMDMN2已知复数i2iz，i为虚数单位，则 z 的共轭复数为A12i55B12i55C21i55D21i553设命题000:0,sin1 cos,则为pxxxpA0,sin1 cos xxxB0,sin1 cos xxxC0,sin1 cos xxxD0,sin1 cos xxx4向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋
3、转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量,ABx y，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosAPxyxy，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点1,2A，点12,22 2B，把点B绕点A沿顺时针方向旋转4后得到点P，则点P的坐标为A2,1B4,1C()2,1-D0,1数学试卷共 6 页第 2页5某产品的宣传费用x(万元）与销售额y(万元）的统计数据如表所示：宣传费用x(万元）2345销售额y(万元）24304250根据上表可得回归方程9yxa，则宣传费用为 6 万元时，销售额最接近A55 万元B60 月元C62
4、 万元D65 万元6几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，3AOD则异面直线SA与BD所成角的余弦值为A13B24C64D637已知函数()f x的定义域为 R，值域为(0,)，且2()()()f xy f xyfx，1()22f，函数()()()g xf xfx的最小值为 2，则61()2kkfA12B24C42D1268 已知向量a与b的夹角为120，且2 a b，向量c满ca(1)b(01)，且a cb c，记向量c在向量a与b方向上的投影数量分别为,x y.现有两个结论：若1
5、3，则2ab；22xyxy的最大值为34.则正确的判断是A不成立，成立B成立，不成立C成立，成立D不成立，不成立二二.多项选择题多项选择题：（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.）9某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”则下列结论正确的是AA与C是互
6、斥事件BB与E是互斥事件，且是对立事件CB与C不是互斥事件DC与E是互斥事件数学试卷共 6 页第 3页10已知抛物线2:4C yx的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于11(,)P x y，22(,)Q xy两点，点 P 在 l 上的射影为1P，则下列结论正确的是A若126xx，则8PQ B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切C设(0,1)M，则1|2PMPPD过点(0,1)M与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条11已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M 为1DD的中点，N 为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有A若2MN，则线段MN
7、中点 P 的轨迹所围成图形的面积为B若 N 到直线1BB与到直线DC的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线C若直线1D N与AB所成的角为3，则点 N 的轨迹为双曲线D若直线MN与平面ABCD所成的角为3，则点 N 的轨迹为椭圆12甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：0000(ee(ee22(ee)(e2)e2xxxxxxxxXYbx taYXay tbxabt，其中正实数0X，0Y分别为甲、乙两方初始实力，t 为比赛时间；x t，y t分别为甲、乙两方 t 时刻的实力;正实数 a，b 分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数规定当甲、乙两方任何一方实力为 0 时比赛结束，另一方
8、获得比赛胜利，并记比赛持续时长为 T则下列结论正确的是A若00XY且ab，则 0 x ty ttT B若00XY且ab，则00001lnXYTaXYC若00XbYa，则甲比赛胜利D若00XbYa，则甲比赛胜利数学试卷共 6 页第 4页第卷三三.填空题填空题:（本大题共（本大题共 4 小小题题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分,把答案填在答卷纸的相应位置上把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知随机变量X(6,)Bp，且()3E X,则(1)P X _14已知0,xy 且221,xxy则22xy的最小值为15定义：对于各项均为整数的数列 na，如果iai(1,2,3,in)均为完全平方数，
9、则称数列 na具有“P性质”；不论数列 na是否具有“P性质”，如果存在数列 nb与 na不是同一数列，且 nb满足下面两个条件：（1）123,.,nb b bb是123,.,na a aa的一个排列；（2）数列 nb具有“P性质”，则称数列 na具有“变换P性质”.给出下面三个数列：数列 na的前n项和2(1)3nnSn；数列 nb：1，2，3，4，5；数列 nc：1，2，3，4，5，6.具有“P性质”的为_；具有“变换P性质”的为_.（第一空 2 分，第二空 3 分）16已知O为坐标原点，1F、2F是双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，双曲线C上一点P满足220OPOF
10、F P ，且2122PFPFa，则双曲线C的渐近线方程为_ 点A是双曲线C上一定点，过点(0,1)B的动直线l与双曲线C交于,M N两点，AMANkk为定值，则当2a 时实数的值为_（第一空 2 分，第二空 3 分）四四.解答题：解答题：(本大题共本大题共 6 小题小题,共共 70 分分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知函数()sin()(0,0)2f xx 的最小正周期为，3是函数()f x一个零点（）求，；（）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3()22Af，2a，求ABC面积的最大值数学试
11、卷共 6 页第 5页18.(本小题满分 12 分)某大学有 A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近 100 天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）,A A,A B,B A,B B甲30 天20 天40 天10 天乙20 天25 天15 天40 天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率（I）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率；（II）记 X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求 X 的分布列和数学期望E X；（III）假设 M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件
12、“某学生去 A 餐厅就餐”，0P M，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：P M NP M N19.（本小题满分 12 分）在35a，963S；2103aa，27S；13a，8619SS这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答已知等差数列 na的前 n 项和为nS，_，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且22ba(I)求数列 na和 nb的通项公式；(II)数列 na，nb的所有项按照“当n为奇数时，nb放在前面；当n为偶数时，na放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列 nc；1b，1a，2a，2
13、b，3b，3a，4a，4b，求数列 nc的前43n项和43nT数学试卷共 6 页第 6页20.（本小题满分 12 分）已知四棱锥TABCD的底面是平行四边形，平面与直线AD，TA，TC分别交于点P，Q，R且APTQCRxADTACT，点M在直线TB上，N为CD的中点，且直线/MN平面.（I）设TAa，TBb，TCc，试用基底,a b c表示向量TD；（II）证明:四面体TABC中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（III）证明:对所有满足条件的平面，点M都落在某一条长为52TB的线段上.21.（本小题满分 12 分）已知圆222:(1)16Fxy，定点1(1,0)F，M是圆2
14、F上的一动点，线段1FM的垂直平分线交半径2F M于点P（I）求P的轨迹Q的方程；（II）若过12,F F的直线12,l l分别交轨迹Q与,A C和,B D,且直线12,l l的斜率之积为34，求四边形ABCD面积的取值范围22.（本小题满分 12 分）（I）非零实数x，满足：11x.证明不等式：11111xxxx（II）证明不等式：1011000.99990.990.9999数学答案共 11 页第 1页20232023 年大连市高三年大连市高三适应性适应性测试参考答案与评分标准测试参考答案与评分标准数学数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主
15、要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一一.单项选择题：单项选择题：1(B)2(B)3.(C)4(D)解：由题意可知2,2 2AB，把点B绕点A逆时针方向旋转74，得到点P，设,P x y，则77772cos2 2sin,2sin2 2cos1,34444AP ，所以1123xy ，解得0
16、x，1y ，所以点P的坐标为()0,1-，故选：D.5(B)解:3.5,36.5xy，由回归方程过点(),x y，故36.59 3.5a，得5a，即95yx当6x 时，9 6559y ，所以最接近的是 60，故选：B6(C)解：如图，连接,AD BC AC SC.因为O为,AB CD中点，且ABCD，所以四边形ADBC为矩形，所以/DBAC，所以SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为 1，则2SASC.因为3AOD，所以3ADO.在直角DAC中，2CD，得3AC.所以222(2)(3)(2)6cos4223SAC，数学答案共 11 页第 2页所以异面直线SA与BD所成角的余
17、弦值为64.故选：C.7(D)解：方法一令0 x，有2()()(0)fy f yf，因为()()2()()2(0)f xfxf x fxf，所以(0)1f，因为2()()()f xy f xyfx，所以()()()()f xyf xf xf xy，所以135()()()(1)(3)2222135(0)(1)()()()222ffffffffff，所以61()248 1632641262kkf，故选 D方法二：抽象出特殊函数()4xf x，快速求得答案61()248 1632641262kkf，故选 D.8(A)解：由cos1202 a bab，解得：4ab，当13时，1233cab，由a cb
18、 c得：12123333aabbab，即2212123333 aa ba bb，由2 a b得：22122333ab，因为4ab，假设2ab，则可求出2b，2 2a，代入22122333ab中，等号不成立，故错误；设OA a，OB uuu rb，OC c，因为 101cab，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设,a c，则,120b c，因为a cb c，所以coscos 120acbc，即coscos 120ab，故a在c方向的投影等于b在c方向的投影相等，故点C满足OCAB，又cosxc，cos 120yc，所以222222223coscos120coscos 1204xyxyc
19、ccc，其中13sin1204324 ABOSab，而数学答案共 11 页第 3页要想保证c最大，只需AB最小，由余弦定理可得：222222cos12042412ABaba baba b，当且仅当ab时，等号成立，所以AB最小值为2 3，所以c最大值为21ABOSAB，故22234xyxyc的最大值为34，正确.故选：A.二二.多项选择题：多项选择题：9(BC)解:事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，包含为订甲报纸，订乙报纸，订甲乙两种报纸，事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”AA与C不互斥不对立事件，所以A与C是
20、互斥事件，不正确；BB与E是互斥事件，且是对立事件，正确；CB与C不互斥不对立事件，所以B与C不是互斥事件正确；DC与E既不互斥也不对立事件所以C与E是互斥事件不正确；10(ABC)解析：对于选项 A，因为2p，所以122|xxPQ，则8PQ，故 A 正确；对于选项 B，设N为PQ的中点，设点N在l上的射影为1N，点Q在l上的射影为1Q，则由梯形中位线的性质可得111=222PPQQPFQFPQNN，故 B 正确；对于选项 C，因为(1,0)F，所以1|2PMPPPMPFMF，故 C 正确；对于选项 D，显然直线0 x，1y 与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为1(0)ykxk，联立21
21、4ykxyx，消去y并整理，得22(24)10k xkx，令0，则1k，所以直线1yx与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 D 错误.故选 ABC.11.(BC)解：对于 A，2MN，1MD，所以223DNMNMD，则MN的中点到MD中点的距离为32，MN中点P的轨迹为以MD中点为圆心，32为半径且平行于平面ABCD的圆，其面积为233()24，故 A 错误；对于 B，1BB 平面ABCD，NB即为N到直线1BB的距离，在平面ABCD内，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点N的轨迹就是以B为焦点，DC为准线的抛物线，故 B 正确；对于 C，如图，建立空间直角坐标系
22、，设,0N x y，10,0,2D，2,0,0A，2,2,0B，所以1,2D Nx y，0,2,0AB ，1221|2|1cos602|42D N AByD NABxy ，数学答案共 11 页第 4页化简得2234yx，即221443yx，所以N的轨迹为双曲线，故 C 正确；对于 D，MN与平面ABCD所成的角为MND，所以3MND，则33DN，所以点N的轨迹为以D为圆心，33为半径的圆，故 D 错误故选：BC12(ABD)详解:对于 A，若00XY且ab，则 0000coshsinhcoshsinhx tXatYaty tYatXat，即 0000eeee22eeee22atatatatat
23、atatatx tXYy tYX，所以 00eatx ty tXY，由00XY可得 000eatx ty tXY，即 A 正确；对于 B，当ab时根据 A 中的结论可知 x ty t，所以乙方实力先为 0，即 00eeee220atatatatyYXt，化简可得0000eeatatXYXY，即20000eatXYXY，两边同时取对数可得0000ln2XYatXY，即000000001l1ln2nXYXYtXXYaYa，所以比赛持续时长为00001lnXYTaXY，所以 B 正确；对于 C，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，设甲方实力为 0 时所用时间为1t，乙方实力为 0 时所
24、用时间为2t，即 10101coshsinh0bx tXabtYabta，可得100200e0abtbXYabYXa同理可得200200e0abtaYXbaXYb数学答案共 11 页第 5页即00000000baXYYXabbaYXXYab，解得0022XbYa又因为00,Y a bX都为正实数，所以可得00XbYa，甲方获得比赛胜利；所以可得 C 错误，D 正确.故答案为：ABD.三三.填空题填空题:13.3321451215.;解：对于，当2n时，21nnnaSSnn，10a，2nann2(1iaiii，2，3，)为完全平方数数列na具有“P性质”；对于，数列 1，2，3，4，5，具有“变
25、换P性质”，数列 nb为 3，2，1，5，4，具有“P性质”，数列na具有“变换P性质”；对于，6，1 都只有与 3 的和才能构成完全平方数，1，2，3，4，5，6，不具有“变换P性质”故答案为：；16.yx;2 63 解：（1）根据220OPOFF P ，可知21OPOFOF，即12PFF为直角三角形.设12,PFm PFn，依题意有222mnamna，解得31,31ma na，根据勾股定理得2224mnc，解得22,cab ab，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为yx.（2）当2a 时，双曲线C：222xy，设直线1122:1,(,),(,)l ykxM x yN xy，联立方程组222,1y
26、kxxy，化简得2210()23kxkx，22210,412(1)0kkk，12122223,11kxxx xkk1212211212(1)()(1)()()()AMANynynkxn xmkxn xmxmxmxm xkkm 1212212122(1)()22()kx xmkn xxmmnx xm xxm 数学答案共 11 页第 6页22222222262(1)(22)(1)11132(1)111kkmknmmnkkkkmkmkkkk 22222(42)(22)23mnkn kmmnm kmkm 因为AMANkk为定值，所以法一：2222(42)(22)23mnkn kmmnm kmkm 22
27、2()(422)2230mnm knmkmmnm 22042202230mnmnmmmnm，解得2 63 法二：222422223mnnmmnmmm，解得2 63 四四.解答题：解答题：17.(本小题满分 10 分)解：（）2=因为=，所以2，2 分()32+=kkZ因为2，且0，所以3=，4 分（）因为3()22Af，所以3sin(),32A5 分因为(0,),A所以,3A=6 分由余弦定理得224=bcbc，7 分因为222,bcbc所以44bcbcbc（当且仅当时，有最大值），8 分因为13sin24ABCSbcAbc=，9 分所以ABC面积的最大值为3.10 分18.(本小题满分 12
28、 分)解：（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，因为 100 个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为 30，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为 40，数学答案共 11 页第 7页所以 300.3100P C，400.4100P D 3 分（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为 0.1，乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为 0.2，记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为 1、2，所以10.3 0.20.1 0.40.1P X，2110.9P XP X，5 分所以X的
29、分布列为：X12P0.10.9所以X的数学期望1 0.12 0.91.9E X 7 分（3）由题知P N MP N M，即1P NMP NMP NP NMP MP MP M，即P NMP NP M，9 分即P NMP N P NMP NP MP N P NM，即 P NMP NP NP NM，即 P NMP NMP NP N，即P M NP M N12 分19.（本小题满分 12 分）解：(1)设等差数列 na的公差为d，选择35a，963S，可知199599632aaSa，所以57a 又35a，所以数列 na的公差53112daa，所以3312naann；4 分选择2103aa，27S，可知
30、2238aad，212227Saaad，则21,4,da所以2212naann；4 分选择13a，8619SS，可知8687121319SSaaad，则11,3,da所以1112naann 4 分又因为224ba，所以数列 nb的通项公式为2nnb 6 分(2)由题意4311223344212122212122nnnnnnnnTbaabbaabbaabbaa 12342122112342122122nnnnnnnbbbbbbbaaaaaaaa211222 1 2221 22nnaan124295nnn12分数学答案共 11 页第 8页20.（本小题满分 12 分）（I）CDBATATB ，而T
31、DTCCD ，TDTCTATBabc ，所以TDabc.3 分（II）不妨设AB是四面体最长的棱，则在ABT，ABC中，ATTBAB，ACCBAB，2ATTBACCBAB，即 2ATACTBBCAB，故ATAC，TBBC至少有一个大于AB，不妨设ATACAB，AT，AC，AB构成三角形.6 分（III）设TAa，TBb，TCc，由（1）知TDabc.又APTQCRxADTACT，有TQxa，1TRx c，()()APxADx TCTBx cb ，TPAPATx cbaaxcxb ，1QPTPTQaxcxbxax axcxb ，11QRTRTQx cxaxax c ，设TMTBb，又111122
32、22TNTCTDabc 11112222NMTMTNbabcabc 9 分因为/NM 平面PQR，所以存在实数y，z使得：NMyQPzQR ，111122abcyx ayxbyxczxazx cyxyzx ayxbyxzxz c12121yxyzxyxyxzxz ，消元：24143210 xx 在xR有解.当14 时，1202x，即14x；当14 时，2434 41 210，解得5544.综上，有5544.所以对所有满足条件的平面，点M都落在某一条长为52TB的线段上.12 分21.（本小题满分 12 分）数学答案共 11 页第 9页解:（I）因为线段1FM的垂直平分线交半径2F M与点P，所
33、以1|PMPF，所以122|4PFPFMF,2 分所以2,1,3acb，所以P的轨迹Q的方程22143xy4 分（II）解法一设11,A x y，22,C xy由已知得：直线1l的方程为1xky；设33,B xy，44,D xy由已知得：直线2l的方程为1 1341,43 xmymk mk由221143xkyxy得223(1)4120kyy，即2236049kyky，所以2223636(34)144(1)kkk，122634kyyk，122934x xk6 分故22221212122121|11434kACkykyyyy yk7 分同理可得2236049mymy，所以21144(1)m，故34
34、3434222121434myyyymyy设12,d d分别为点,B D到直线1l的距离，则1212ABCDCABCADSSSAC dd又,B D到直线AC在异侧，则234334122222424|()111121334111kkmyxkyxkymkddkkymkkg229161kk9 分所以212222222916)(1)96161|)23416341ABCDkSACddkkkkkkg（，10 分令234,4kt t，221111492 34()32 34()816ABCDtttS数学答案共 11 页第 10页所以7 3(6,2ABCDS12 分解法二00,23xxyy设22004xy所以，
35、设圆心为O，因为直线12,l l的斜率之积为34，所以121222133kkkk，6 分设直线A C 方程(1),yk x2,1kOA Cdk 点到的距离为7 分22212 4-2 3+,11kA Ckk 所以8 分222112 4-2 4-,111kB Dkk 同理9 分,A B C DS 设四边形面积为221112(4-)(3+),211SA CB Dkk 则10 分21,(0,1),1ttk令则221492(4-)(3+)2-+122(),24Sttttt 所以4 3,7,S所以（2,3ABCDSSS 设四边形面积为因为7 36,.2S 所以（12 分22.（本小题满分 12 分）证明：
36、（I）显然：111101+00 xxxxx且且数学答案共 11 页第 11页111ln 1ln 101 ln 1ln 101 ln 1ln 1xxxxxxxxxxxx原不等式时，时，2 分 1 ln 1ln 1110f xxxxxx 令且 221ln 111+311111+1fxxxx xfxxxxx 则 1,001,000,100,10 xfxfxfxxfxfxfx 当时，在递增，时，在递减，1.00,11,00,0,10fxfxfxfx在递减，在递减，在时，在时，6 分（II）因为100100100100101101101111010.9999111000010010011010.999911001001011011001001001019910011011110111110010010010010099101991011100100100100 原不等式等价为：即证：8 分 9910099100101100100101101100199101991011110010010010010011019999101111001001001001000.99990.990.9999 在中，令在中，令xx12 分