1、昌平区2022-2023学年高三年级第二次统一练习数学试卷第一部分 (选择题 共 40 分)一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。(1)已知集合,则集合(A) (B) (C) (D)(2)在的展开式中,的系数为 (A) (B) (C) (D)(3)已知复数满足,则的值为(A) (B) (C) (D)(4)已知函数为奇函数,且当时,则(A) (B) (C) (D)(5)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减(6)已知点在直线上,点,则的最小值为(A) (B) (C) (D)(
2、7)已知双曲线的一个焦点坐标为,则双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) (8) 对于两个实数,设 则“”是“函数的图象关于直线对称”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知等比数列的前项和为,则下列结论中一定成立的是(A)若,则 (B)若,则 (C)若,则 (D)若,则(10)某市一个经济开发区的公路路线图如图所示,粗线是大公路,细线是小公路,七个公司分布在大公路两侧,有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站,中转站到各公司(沿公路走)的距离总和越小越好,则这个中转站最好设在(A)路口 (B)路口 (C)路口 (
3、D)路口第二部分 (非选择题 共 110 分)二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。(11)三个数中最大的数是_ .(12)已知抛物线的焦点为,点在上,且在第一象限,则点的坐标为_ ;若,点到直线的距离为_ .(13)若函数的最大值为,则_ ,的一个对称中心为_ . (14)已知点在圆上运动,且,若点的坐标为,则的取值范围是_ .(15)如图,在长方体中,动点,分别在线段和上.给出下列四个结论:;不可能是等边三角形;当时,;至少存在两组,,使得三棱锥的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是_ . 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过
4、程。(16)(本小题13分)在中,.()求;()若,求的面积.(17)(本小题13分)在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且 平面,分别是的中点,是上一点,且.()求证:平面;()再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值. 条件:;条件:.注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答记分.(18)(本小题14分)2023年9月23日 至 2023年10月8日,第19届亚运会将在中国杭州举行. 杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛,其中1班,2班,3班,4班报名人数如下: 班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加
5、竞赛,每位参加竞赛的同学从预设的10 个题目中随机抽取4个作答,至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.()求各班参加竞赛的人数;()2班的小张同学被抽中参加竞赛,若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对,记他答对的题目数为,求的分布列及数学期望;()若1 班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为,求1班参加竞赛的同学中至少有 1位同学获得奖品的概率. (19)(本小题15分)已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为,且右焦点为 ()求椭圆的方程;()设分别为椭圆的左、右顶点,点为椭圆上一点(不与重合),直线分别与直线相交于点.当点运动时,求证:以为直径的圆截轴所得的弦
6、长为定值. (20)(本小题15分) 已知函数()当时,求曲线在点处的切线方程; ()若函数在上有最小值,求的取值范围;()如果存在,使得当时,恒有成立,求的取值范围. (21)(本小题15分)若数列满足(),则称数列为数列.记.()写出一个满足,且的数列; ()若,证明:数列是递增数列的充要条件是;()对任意给定的整数,是否存在首项为的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.参考答案及评分标准一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)C (2)A (3)D (4)A (5)D(6)B (7)C (8)C (9)D (10)B二、填空题(共5小题,每小题5
7、分,共25分) (11) (12) (13)(答案不唯一) (14) (15) (第12题、第13题第一空分,第二空分;第15题答对一个给2分,答对两个给3分,答对三个给5分,错答得零分。)三、解答题(共6小题,共85分)(16)(共13分)解:()由正弦定理及, 1分得. 2分因为, 3分所以. 4分因为, 5分所以或. 7分(II)因为, 所以,即. 8分所以. 9分由余弦定理,得. 10分所以或. 11分当时,; 12分当时,. 13分(17)(共13分)解:(I)在四棱锥中,因为分别是的中点,所以. 1分因为平面,平面, 2分所以平面. 4分(II)因为底面是菱形,所以. 5分因为平面
8、,所以.如图建立空间直角坐标系.6分选条件:.因为底面是边长为的菱形,所以,. 7分则因为是上一点,且,所以. 8分所以 9分设平面的法向量为.则即令,则,于是 11分设直线与平面所成角为,则 13分选条件:.因为底面是边长为的菱形,所以.所以.所以,. 1分以下同选条件. (18)(共14分)解:(I)由题意知,抽出的100名学生中,来自1班,2班,3班,4班的学生分别有30名,40名,20名,10名,根据分层抽样的方法,1班,2班,3班,4班参加的人数分别为3,4,2,1. 4分(II)根据题意,随机变量的所有可能取值为1,2,3,4.且 5分;. 9分所以随机变量的分布列为1234 故随
9、机变量的数学期望11分(III)由题意知,1班每位同学获得奖品的概率为. 13分 所以1班参加竞赛的同学中至少有 1位同学获得奖品的概率为14分(19)(共15分)解:(I)由题设,解得 4分 所以椭圆的方程为 5分()解法一:由题意可知,.设,则 6分 直线的方程为. 7分令,得点的纵坐标为,则. 8分直线的方程:. 9分令,得点的纵坐标为,则. 10分设以为直径的圆经过轴上的定点,则. 由得. 11分由式得,代入得. 12分解得或. 13分所以以为直径的圆经过轴上的定点和. 14分所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 15分 解法二:由题意可知,.设,则 6分因为, 7分设直线的方程为.令
10、,得点的纵坐标为,则. 8分则直线的方程为. 9分令,得点的纵坐标为,则. 10分 设以为直径的圆经过轴上的定点,则. 11分由得. 12分可得,解得或. 13分所以以为直径的圆经过轴上的定点和. 14分所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 15分解法三:由题意可知,.设,则 6分 直线的方程为. 7分令,得点的纵坐标为,则. 8分直线的方程:. 9分令,得点的纵坐标为,则. 10分所以.则的中点为. 11分所以以为直径的圆的方程为 12分令则由可得 所以所以或 13分所以以为直径的圆恒过点 14分所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 15分 (20)(共15分)解:(I)当时, 所以 1分因
11、为 3分所以曲线在点处的切线方程为 4分(II)函数定义域. 5分因为 6分法一:因为所以 7分 当时,在上单调递增,所以函数在上无最小值,即不合题意. 8分当时,令则 当时,在上单调递增; 当时,在上单调递减. 9分所以函数在上有最小值.所以函数在上有最小值时的取值范围为 10分法二:因为 6分令,则. 7分 当时,所以当时, 即在上单调递增,所以函数在上无最小值,即不合题意. 8分当时, 当时,在上单调递增; 当时,在上单调递减. 9分所以函数在上有最小值.所以函数在上有最小值时的取值范围为 10分(III)设 由题意,存在,使,恒有,即,恒有成立. 11分因为 12分设.当时,函数的对称
12、轴为,即当时,所以。所以在上单调递减.所以,即,恒有成立. 13分当时,令.因为,所以.因为当时,所以在上单调递增.所以,不合题意. 14分综上可知当时,存在,使,恒有. 15分(21)(共15分)解:(I).(答案不唯一 .) 3分(II)必要性:因为数列是递增数列,所以(). 4分所以数列是以为首项,公差为的等差数列.所以. 5分充分性:因为,所以 6分所以,.所以,即. 7分因为,所以. 8分所以().即数列是递增数列. 9分综上,结论得证. ()令,则. 10分 所以, . 所以 . 11分因为,所以为偶数.所以为偶数.所以要使,即,必须使为偶数. 12分即整除,因为,所以或.当时,数列的项满足时,有; 13分当时,数列的项满足时,有; 14分当或时,不能被整除,此时不存在数列,使得. 15分