1、第9章中心对称图形平行四边形一选择题（共15小题）1（2022秋海安市期末）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（）ABCD2（2022春海州区校级期末）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD3（2016秋鼓楼区校级期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A12B13C23D不能确定4（2022春涟水县期末）如图，将ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到ABC，此时点C在边AB上，若AB5，BC2，则AC的
2、长是（）A2B3C4D55（2022秋镇江期末）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若BAD58，则BED的度数为（）A118B108C120D1166（2016春启东市期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBR于点R，则PQ+PR的值是（）A22B2C23D837（2021秋宿城区校级期末）如图，在ABC中，AD和BE是高，ABE45，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，CBEBAD有下列结论：FDFE；AH2CD；SABC4SADF；连接HC，则EH
3、C45其中正确的有（）A1个B2 个C3 个D4个8（2022春泰州期末）如图，矩形ABCD中，P是CD的中点，点Q为AB上的动点（不与A、B重合），过Q作QMPA，垂足为M，QNPB，垂足为N，BC3，CD8，MQx，QNy，则y与x之间的函数关系式为（）Ay4.8xBy=5xCy11xDy=24x9（2022春高邮市期末）如图，将面积为8的正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形ABCD，E是AB的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（）A6B22C2+2D3+210（2022春吴中区校级期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线相等B对角线互相平
4、分C对角线互相垂直D对边相等且平行11（2022春相城区校级期末）如图RtABC中，ACB90，D是斜边AB的中点，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，点C落在CD的延长线上的E处，点B落在F处，若AC42，BC=217，则CE的长为（）A7.5B6C6.4D6.512（2022春仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A1B2C3D32-313（2022春溧阳市期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是（）A3B3-1C2-3D
5、3-314（2022春宿豫区期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（）A2-1B24C23D2-215（2022春镇江期末）如图，在ABCD中，BE，CF分别是ABC和BCD的平分线，BE，CF分别与AD相交于点E，F，AB5，BC8，则EF的长为（）A1B2C3D4二填空题（共8小题）16（2022秋鼓楼区期末）如图，在ABC中，ACB90，A54，D是AB的中点，则BCD 17（2022秋玄武区期末）如图，在RtABC中，BAC90，AB4，CD是ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AEBE，垂足为E，则BC的长
6、为 18（2022秋江都区期末）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为 19（2022秋栖霞区校级期末）如图，正方形ABCD的边长是4，点E在DC上，点F在AC上，BFE90，若CE1则AF的长为 20（2022秋海门市期末）如图，在ABC中，CAB70，将ABC绕点A逆时针旋转到AED的位置若CEAB，则BAD 21（2022秋苏州期末）如图，将RtABC绕直角边AC的中点H旋转，得到EFD若EFD的直角顶点D落在ABC的斜边AB上，EF与AC交于点G，且EGH恰好是以GH为底边的等腰三角形，则A 22（2022秋清江浦区校级
7、期末）如图，在矩形ABCD中，AD2，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 23（2022秋鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 三解答题（共7小题）24（2022秋常州期末）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，CEAB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF（1）求证：DFEF；（2）连接DE，若AC2，ED1判断DEF的形状，并说明理由；BDAB= 25（2022秋江阴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，6），B（6，0），点P为线段OB上一个动点，PDAB于点D，PEOB交AB于点
8、E，以PD、PE为边作平行四边形PDFE，点O关于AP的对称点是O（1）当点O落在AB上时，求平行四边形PDFE的面积；（2）若直线PO恰好将平行四边形PDFE的面积分成1：3的两部分，求此时OP的长26（2022秋溧水区期末）如图，在四边形ABCD中，连接BD，ABCD，且ABCD（1）求证：ABDCDB；（2）若ABBD，ABD48，求C的度数27（2022秋阜宁县期末）如图，正方形ABCD，ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60得到AN，连接EN，DM求证：ENBM28（2022秋南京期末）如图，在RtADB和RtABC中，
9、ADB90，ACB90，E是AB的中点（1）求证：DECE；（2）若CAB30，DBA40，求DEC29（2022春崇川区期末）如图，矩形ABCD中，AB8cm，BC6cmE，F分别是边DC，AB上的点，DEBF（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形的边长30（2022秋兴化市期末）如图，ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DCBF，点E是CF的中点（1）求证：DECF；（2）求证：B2BCF参考答案解析一选择题（共15小题）1（2022秋海安市期末）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的
10、是（）ABCD【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形故选：B2（2022春海州区校级期末）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意故选：C3（2016秋
11、鼓楼区校级期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A12B13C23D不能确定【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为112=12；是原正方形的面积的一半；故选：A4（2022春涟水县期末）如图，将ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到ABC，此时点C在边AB上，若AB5，BC2，则AC的长是（）A2B3C4D5【解答】解：将ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到ABC，ABAB5，BCBC2，BC3，故选：B5（2022秋镇江期末）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的中点，
12、连接BE，ED，BD，若BAD58，则BED的度数为（）A118B108C120D116【解答】解：ABCADC90，E为对角线AC的中点，EAEBECDE，DAEEDA，BAEEBA，在AED中，DECDAE+ADE2DAE，同理可得到：BEC2BAE，DEBDEC+BEC2DAE+2BAE2（DAE+BAE）258116，故选：D6（2016春启东市期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBR于点R，则PQ+PR的值是（）A22B2C23D83【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则SBCESBCP+SB
13、EP，即12BEh=12BCPQ+12BEPR，BEBC，hPQ+PR，正方形ABCD的边长为4，h422=22故选：A7（2021秋宿城区校级期末）如图，在ABC中，AD和BE是高，ABE45，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，CBEBAD有下列结论：FDFE；AH2CD；SABC4SADF；连接HC，则EHC45其中正确的有（）A1个B2 个C3 个D4个【解答】解：在ABC中，AD与BE是高，ADBAEBCEB90，点F是AB的中点，FD=12AB，FE=12AB，FDFE，故正确；CBEBAD，CBE+C90，BAD+ABC90，ABCC，ABAC，ADBC，BC2C
14、D，BADCADCBE，ABE45，AEB90，ABE是等腰直角三角形，AEBE，在AEH与BEC中，AEH=BECAE=BEEAH=EBC，AEHBEC（ASA），AHBC2CD，故正确；AEHBEC，EHEC，CEB90，CEH是等腰直角三角形，EHC45，故正确；F是AB的中点，BDCD，SABC2SABD4SADF，故正确，故选：D8（2022春泰州期末）如图，矩形ABCD中，P是CD的中点，点Q为AB上的动点（不与A、B重合），过Q作QMPA，垂足为M，QNPB，垂足为N，BC3，CD8，MQx，QNy，则y与x之间的函数关系式为（）Ay4.8xBy=5xCy11xDy=24x【解答
15、】解：如图，连接PQ，过点P作PHAB于点H，四边形ABCD是矩形，ABCD8，ABCD，DC90，ADBCPH3，SPAB=12ABPH=1283=12，QMPA，QNPB，MQx，QNy，12APx+12BPy=12，点P是CD的中点，DPCP4，APBP=AD2+DP2=32+42=5，125x+125y=12，y4.8x故选：A9（2022春高邮市期末）如图，将面积为8的正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形ABCD，E是AB的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（）A6B22C2+2D3+2【解答】解：连接OA，如图，四边形ABCD是面积为8的正方形，AB=8
16、=22，O是对角线BD的中点，OA2，正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形ABCD，ABAB22，E是AB的中点，AE=2，OEOA+AE（当且仅当E、A、O共线时取等号），OE的最大值为OA+AE，即OE的最大值为2+2故选：C10（2022春吴中区校级期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线相等B对角线互相平分C对角线互相垂直D对边相等且平行【解答】解：A因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意故选：C11（2
17、022春相城区校级期末）如图RtABC中，ACB90，D是斜边AB的中点，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，点C落在CD的延长线上的E处，点B落在F处，若AC42，BC=217，则CE的长为（）A7.5B6C6.4D6.5【解答】解：过点A作AHCE于点H，如图所示：ACB90，AC42，BC=217，根据勾股定理，得AB10，D是AB的中点，CD=12AB5，SACD=12SABC，12CDAH=14ACBC，即125AH=1442217，解得AH=4345，AC=42，根据勾股定理，可得CH3.2，根据旋转的性质，可得ACAE，点H是CE的中点，CE2CH6.4，故选：C12（2022春仪征
18、市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A1B2C3D32-3【解答】解：连接AC、AF，由旋转性质得，ACAF，CAF60，ACF为等边三角形，ACCF，AC=2AB=2，CF=2，故选：B13（2022春溧阳市期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是（）A3B3-1C2-3D3-3【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a由题意可知：AMBMDNNCa，ADDFMN2a，AEEF，EMFDNF90，FN=DF2-DN2=(
19、2a)2-a2=3a，FMMNFN（2-3）a设AEEFx，则EMAMAEax在RtEMF中，EM2+MF2EF2，（ax）2+（2-3）a2x2，x（423）a，EMa（423）a（23-3）a，EMFN=(23-3)a3a=2-3故选：C14（2022春宿豫区期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（）A2-1B24C23D2-2【解答】解：过点E作EGAC于点G，如图所示，设DE的长为x，四边形ABCD是正方形，D90，ACD45，CD1EGAC，且AE平分CAD，EGDEx在EGC中，EGC90，ECG45CEGECG45
20、，CGEGx，EC=EG2+CG2=x2+x2=2xDCDE+ECx+2x1解得x=2-1DE的长为2-1故选：A15（2022春镇江期末）如图，在ABCD中，BE，CF分别是ABC和BCD的平分线，BE，CF分别与AD相交于点E，F，AB5，BC8，则EF的长为（）A1B2C3D4【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD5，ADBC8，ADBC，BE平分ABC，ABECBE，ADBC，AEBCBE，ABEAEB，AEAB5，同理可得DFDC5，AE+DFEFAD，5+5EF8，EF2故选：B二填空题（共8小题）16（2022秋鼓楼区期末）如图，在ABC中，ACB90，A54，D是AB
21、的中点，则BCD36【解答】解：在ABC中，ACB90，A54，B36，D为线段AB的中点，CDBD，BCDB36故答案是：3617（2022秋玄武区期末）如图，在RtABC中，BAC90，AB4，CD是ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AEBE，垂足为E，则BC的长为 27【解答】解：AEBE，AEB90，点D是AB的中点，AB4，ED=12AB2，AD=12AB2，DAC90，E是CD的中点，AEDE2，ADDEAE2，ADE是等边三角形，ADE60，ACD90ADC30，AC=3AD23，BC=AB2+AC2=42+(23)2=27，故答案为：2718（2022秋江都区期末
22、）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为 3【解答】解：如图，连接AE，ABEC，ABEC2，四边形AECB是平行四边形，AEBC，AD=32+42=5，DE5，ADDE5，DAEDEA，AEBC，DAEDOC，DEADCO，DOCDCO，DODC3，故答案为：319（2022秋栖霞区校级期末）如图，正方形ABCD的边长是4，点E在DC上，点F在AC上，BFE90，若CE1则AF的长为 322【解答】解：过点F作FGCD于点G，交AB于点H，如图所示：则EGFFHB90，GEF+GFE90，在正方形ABCD中，BCDABC90，
23、ACDCAB45，四边形BCGH是矩形，CGBH，GCA45，CGF90，GFC45，CGGF，GFBH，BFE90，GFE+HFB90，HFBGEF，在GFE和HBF中，GEF=HFBEGF=FHBGF=HB，GFEHBF（AAS），FHGE，CAB45，AHF90，HFA45，AHFH，设AHFHx，正方形的边长为4，AB4，则GEx，HB4x，CGHB，x+14x，解得x=32，AHFH=32，在RtAFH中，根据勾股定理，得AF=AH2+FH2=322，故答案为：32220（2022秋海门市期末）如图，在ABC中，CAB70，将ABC绕点A逆时针旋转到AED的位置若CEAB，则BAD4
24、0【解答】解：CEAB，ACBCAB70，ABC绕点A逆时针旋转到AED，ACAE，BACDAE，CAE18070240，CAE+CADDAE，DAB+CADBAC，DABCAE40故答案为：4021（2022秋苏州期末）如图，将RtABC绕直角边AC的中点H旋转，得到EFD若EFD的直角顶点D落在ABC的斜边AB上，EF与AC交于点G，且EGH恰好是以GH为底边的等腰三角形，则A36【解答】解：RtABC绕直角边AC的中点H旋转，得到EFD，AH=EH=CH=DH=12AC，AE，AADH，GHEA+ADH2A，EGH恰好是以GH为底边的等腰三角形，EGHEHG2A，EGH+EHG+E180
25、，2A+2A+A180，A36故答案为：3622（2022秋清江浦区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AD2，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 2或3【解答】解：如图，当ABAD时，满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，P1BC，P2BC是等腰直角三角形，P3BC是等腰直角三角形（P3BP3C），则ABAD2当ABAD，且满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，易知P2是AD的中点，P1BC是等腰三角形，BP1BC，同理：BCCP3，只有P2BC是等边三角形时，PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，BCBP1BP2CP2CP3，BP
26、2=12+AB2=1+AB2，又BP1BC，1+AB2=2，AB=3当ABAD时，直线AD上只有一个点P满足PBC是等腰三角形故答案为：2或323（2022秋鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 18【解答】解：直角三角形斜边上的中线是6，斜边长2612，直角三角形斜边上的高是3，这个直角三角形的面积=1212318，故答案为：18三解答题（共7小题）24（2022秋常州期末）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，CEAB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF（1）求证：DFEF；（2）连接DE，若AC2，ED1判断DEF的形状，并说明理由；
27、BDAB=12【解答】（1）证明：CEAB，ADBC，AEC90，ADC90，在RtAEC中，AEC90，F是AC中点，EF=12AC，在RtADC中，ADC90，F是AC中点，DF=12AC，EFDF；（2）解：等边三角形，理由如下：连接DE，由（1）知，EF=DF=12AC=1，ED1，EDEFDF，DEF是等边三角形；由（1）得EFAF，AEFEAF，同理可证：CDFDCF，DEF是等边三角形，BED+AEF120，BDE+CDF120，BED+EAF120，BDE+DCF120，BED+EAF+BDE+DCF240，B+BED+BDE180，BED+BDE180B，B+EAF+DCF1
28、80，EAF+DCF180B，180B+180B240，B60，在RtADB中，BAD30，AB2BD，BDAB=12故答案为：1225（2022秋江阴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，6），B（6，0），点P为线段OB上一个动点，PDAB于点D，PEOB交AB于点E，以PD、PE为边作平行四边形PDFE，点O关于AP的对称点是O（1）当点O落在AB上时，求平行四边形PDFE的面积；（2）若直线PO恰好将平行四边形PDFE的面积分成1：3的两部分，求此时OP的长【解答】解：（1）过点D作DHPE，垂足为H，设OPa，则PB6a，点O关于AP的对称点是O点O落在AB上时OPOPPD
29、a，在RtPBD中，PB=2PD，即6a=2a，a62-6，S平行四边形PDEFPEHD（1262）12-622=108722；（2）直线PO恰好将平行四边形PDFE的面积分成1：3的两部分，PO与FD交于点G，延长FD交x轴于H，得FHx轴，过A作ANy轴，NMx轴，FHMN，MNPHGP，设OPa，则PH=12PB，EPGPFDPBa，在RtPGH中，tanHGP=PHGH=PHPB=12，tanMNPtanHGP=12，在RtPMN中，tanMNP=PMMN=12，PM3，PN=PM2+MN2=35，APONAP，APOAPN，NAPAPN，ANPN35，OMAN35，OPOMPM35-
30、3如图，当PO交EF于点G，且EGFG时没满足条件延长FD交PB于点H，则DHPB，PH=12PB=12EPDH，故点G作GQx轴于点Q交PD于点R，则PQ=14PB，GQ=54PB，由PM6=PMMN=PQGQ=15，PM=65，PN=PM2+MN2=(65)2+62=6526，OPOMPMANPMPNPM=6526-6526（2022秋溧水区期末）如图，在四边形ABCD中，连接BD，ABCD，且ABCD（1）求证：ABDCDB；（2）若ABBD，ABD48，求C的度数【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCD中，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是平行四边形ADCB在ABD与CDB中，A
31、B=CDAD=CBBD=DB，ABDCDB（SSS）；（2）解：ABBD，ABD48，AADB=180-482=66由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，CA6627（2022秋阜宁县期末）如图，正方形ABCD，ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60得到AN，连接EN，DM求证：ENBM【解答】证明：ABE是等边三角形，BAE60，BAEA，将线段AM绕点A逆时针旋转60得到AN，MAN60，AMAN，BAEMAN，EANBAM，四边形ABCD是正方形，BADA，BAMDAM45，EADA，EANDAM，在EAN和DAM中，EA
32、=DAEAN=DAMAN=AH，EANDAM（SAS），ENDMAC是正方形ABCD的对称轴，BMEN28（2022秋南京期末）如图，在RtADB和RtABC中，ADB90，ACB90，E是AB的中点（1）求证：DECE；（2）若CAB30，DBA40，求DEC【解答】（1）证明：在RtADB和RtABC中，ADB90，ACB90，E是AB的中点，DE=12AB，CE=12AB，DECE；（2）解：在RtADB和RtABC中，ADB90，ACB90，CAB30，DBA40，DAB90DBA50，ABC90CAB60，在RtADB和RtABC中，ADB90，ACB90，E是AB的中点，DE=12
33、ABAE，CE=12ABBE，ADEDAB50，ECBABC60，DEA180DABADE180606060，CEB180ECBCBA180505080，DEC180DEACEB18060804029（2022春崇川区期末）如图，矩形ABCD中，AB8cm，BC6cmE，F分别是边DC，AB上的点，DEBF（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形的边长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DEBF，CDDEABBF，即CEAF，四边形AFCE是平行四边形；（2）解：四边形AFCE是菱形，AECEAFCF，设AECEx，则DE8x，在RtADE中，由勾股定理得：AD2+DE2AE2，即62+（8x）2x2，解得：x4.25，即AECECFAF4.25，所以菱形AFCE的边长是4.2530（2022秋兴化市期末）如图，ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DCBF，点E是CF的中点（1）求证：DECF；（2）求证：B2BCF【解答】证明：（1）连接DF，AD是边BC上的高，ADB90，点F是AB的中点，DF=12ABBF，DCBF，DCDF，点E是CF的中点DECF；（2）DCDF，DFCDCF，FDBDFC+DCF2DFC，DFBF，FDBB，B2BCF