1、2023年山东省临沂市临沭县中考一模数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 2. 如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 1003. 2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年）A. B. C. D. 4. 如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为（
2、）A. B. C. D. 5. 某物体如图所示，它俯视图是（ ）A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 版义务教育新课程标准指出，从年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程小明同学制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A. 2023B. 2022C. 2020D. 20199. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分
3、别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若CAB65，则ADC的度数为（）A. 25B. 35C. 45D. 6511. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们日常生活中通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当
4、于1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有A，B，C，D四名网友对的理解如下，其中理解错误的网友是（ ）A. 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数B. 等于C. 我知道，所以我估计比大D. 的个位数字是812. A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A. 甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是B. 甲出发后被乙追上C. 甲比乙晚到D. 甲车行驶或，甲，乙两车相距二、填空题（本大题共4个小题
5、，每小题4分，共16分）13. 比较大小：_（填“、”）14. 方程的解是 _15. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标为_16. 如图，在O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为_三、解答题（本大题共7个小题，共68分）17. （1）计算：；（2）解方程组：18. 某校初2020级1600名学生进行了一次体育测试（满分：50分）测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：甲班20
6、名同学的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47乙班20名同学的测试成绩统计如下：组别40424244444646484850频数1169其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班47548.5乙班47.549（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；（2）你认为甲乙两个班哪个班的学生体育测试成绩较好，请说明理由；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初20
7、20级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人.19. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，米，求、两点之间的距离（参考数据：，）20. 小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究（1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是_；列表：如下表62103461003179532描点：点已描出，如图所示连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象（2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题：该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是_；该函数图象可以看成是由的图象平
8、移得到的，其平移方式为_；结合函数图象，请直接写出时的取值范围_21. 如图，在中，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的长22. 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系（1）当时，求这条抛物线的解析式（2）当时，求运动员落水点与点的距离（3）图中米
9、，米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围23. 已知正方形，为对角线上一点【建立模型】（1）如图1，连接，判断与数量关系 ；（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，交于点判断的形状并说明理由；若为的中点，且，求的长；（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，交于点，请写出与之间的数量关系，并说明理由2023年山东省临沂市临沭县中考一模数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数轴得到点A表示的数为，再求的相反数即可【详解】解：点A表示的数为，
10、的相反数为2，故A正确故选：A【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键2. 如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 100【答案】B【解析】【分析】根据证得，即可求得；【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，平行线性质的灵活运用是解题关键3. 2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小
11、的为（ ）（单位：年）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数【详解】解：亿0.04亿=20.26亿=2026000000=2.026109，故选：D【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数解题关键是正确确定a的值以及n的值4. 如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意求出的
12、度数，再由等边三角形的性质可知，据此可得出结论【详解】解：五边形是正五边形，是等边三角形，故选：B【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质，掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键5. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据俯视图是从上往下看得到的视图判断即可【详解】解：根据俯视图的定义可知，它的俯视图是：，故选：C【点睛】本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，树立空间观念，准确识图6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先解不等式得到不等式
13、的解集，然后再在数轴上表示不等式的解集即可【详解】解：，移项得：，解得：，所以原不等式得解集：把解集在数轴上表示如下：故选：A【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键7. 版义务教育新课程标准指出，从年秋季开始，劳动课成为中小学的一门独立课程小明同学制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据概率的统计方式树状图得到概率总数及出现“劳动”
14、两个字的结果，再利用概率的定义即可解答【详解】解：总共有可能的结果有种，产生劳动的结果有种，这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是：，故选：C【点睛】本题考查了概率的统计方式及概率的定义，掌握概率的统计方式是解题的关键8. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A. 2023B. 2022C. 2020D. 2019【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，再将其代入中即可求出结论【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出“，”是解题的关键9
15、. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：由图可知，、乙、丁在反比例函数图像上，根
16、据题意可知优秀人数，则，即乙、丁两所学校优秀人数相同；，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键10. 如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若CAB65，则ADC的度数为（）A. 25B. 35C. 45D. 65【答案】A【解析】【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定ACB=90，然后根据CAB=65求得
17、ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可【详解】解：AB是直径，ACB=90，CAB=65，ABC=90-CAB=25，ADC=ABC=25，故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大11. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有A，B，C，D四名网友对的理解如
18、下，其中理解错误的网友是（ ）A. 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数B. 等于C. 我知道，所以我估计比大D. 的个位数字是8【答案】D【解析】【分析】根据有理数的乘方运算，即可一一判定【详解】解：A、 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数，正确，故该选项不符合题意；B、，正确，故该选项不符合题意；C、，故正确，该选项不符合题意；D.，的个位数字以2，4，8，6循环，的个位数字是6，故该选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的性质是解题的关键12. A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行
19、驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A. 甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是B. 甲出发后被乙追上C. 甲比乙晚到D. 甲车行驶或，甲，乙两车相距【答案】D【解析】【分析】根据图像可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是；根据图像可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时甲，乙两车相距，进行求解判断即可【详解】解：由图可得，甲车行驶的速度是，根据图像可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，即乙车行驶的速度是，故选项A，B正确；由图可得，当乙到达地
20、时，甲乙相距，甲比乙晚到，故选项C正确；由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则,解得；当乙车到达地后时，解得，甲车行驶或，甲，乙两车相距，故选项D错误故选D【点睛】本题主要考查了函数的图像、能从函数图像的获取准确信息和灵活利用数形结合思想解答是解题的关键二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 比较大小：_（填“、”）【答案】【解析】【分析】首先用减去，求出它们的差是多少，然后根据差的正负，即可判断出与的大小关系，从而得出与的大小关系【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查实数大小比较的方法解答此题的关键是判断出与的大小关系14. 方程的解是 _【答案】【解析】【分析】将
21、分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可得出结果【详解】解：去分母，得：，移项，合并，得：；经检验，是原方程的解；故答案为：【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程需要验根15. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标为_【答案】【解析】【分析】先求出点的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，即可得出答案【详解】解：，每旋转4次为一个循环，即第2023次旋转结束时，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，的位置如图所示，过点作轴于点，连接
22、，由旋转可得，点的坐标为，四边形是正方形，四边形是菱形，点的坐标为，点的坐标为，故答案：【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质，旋转的性质，图形与坐标，找到旋转的规律是本题的关键16. 如图，在O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为_【答案】【解析】【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RTOCD中，斜边为定制，则当OC最小的时，CD最大，而当OCAB时最小，此时的CD为最大，即为所求.方法二：作OHAB，延长DC交O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出BCDECA得出CDCE=BCAC，易得CD=
23、，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值，又OC2+CD2=OD2,当OC最小的时，CD最大，当OCAB时最小，此时的CD为最大，CD=AB=.方法二：作OHAB，延长DC交O于E，如图，AH=BH=AB=，CDOC，CD=CE，ABD=DEA，BCD=ECA，BCDECA，CDCE=BCAC，CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，CD=，当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为故答案为【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对
24、的弧也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键三、解答题（本大题共7个小题，共68分）17. （1）计算：；（2）解方程组：【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据负指数幂的运算法则进行计算，化简二次根式，并将特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）根据加减消元法进行计算即可得到答案【详解】解：（1）；（2），得， 将代入得，该方程组的解为.【点睛】本题考查负指数幂的运算、二次根式化简和特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则以及解方程组的步骤.18. 某校初2020级1600名学生进行了一次体育测试（满分：5
25、0分）测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：甲班20名同学的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47乙班20名同学的测试成绩统计如下：组别40424244444646484850频数1169其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班47.548.5乙班47.549（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；（2）
26、你认为甲乙两个班哪个班的学生体育测试成绩较好，请说明理由；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2020级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人.【答案】（1）3，48，50； （2）甲班的成绩好.理由见解析 （3）估计该校初2020级参加此次测试的学生中优秀的学生有760人【解析】【分析】（1）总人数减去其他组别的人数即得的值；中间两个数的平均数即为的值；出现次数最多的数据即为的值；（2）通过两个班级的平均数、中位数、众数比较即可；（3）用总人数乘以两个班级总的优秀率即可.【小问1详解】解：；总人数为20人，中位数为第10个与第11个的平均数，位于4648之间，高于46，但不超过48分
27、的成绩如下：47，48，48，47，48，48第10个与第11个数据为：48，48，甲成绩中出现次数最多的数据为50，故，故答案为：3，48，50；【小问2详解】解：甲班的成绩好.理由：甲乙两班的平均数相等，甲班的中位数和众数都比乙班的大；【小问3详解】解：1600760（人）， 答：估计该校初2020级参加此次测试的学生中优秀的学生有760人【点睛】本题考查了数据的分析，具体有求中位数、众数，用数据分析比较，用样本估计总体等知识点，数据的准确分析是解题关键19. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，米，求、两点之间的距离（参考数据：，）【答案】、
28、两点之间的距离约为94米【解析】【分析】过点作，垂足为点，分别解，求得的长，进而根据即可求解【详解】如图，过点作，垂足为点，在中，米，（米），（米），在中，米，（米），（米）.答：、两点之间的距离约为94米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键20. 小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究（1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是_；列表：如下表62103461003179532描点：点已描出，如图所示连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象（2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列
29、问题：该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是_；该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为_；结合函数图象，请直接写出时的取值范围_【答案】（1），函数图像见详解；（2）（2，1），右移2个单位，上移1个单位，或【解析】【分析】（1）根据分母不能为零得到自变量的取值范围，根据图表，描点，连线画出函数图像即可；（2）根据函数的关系式和函数图像的形状和性质，可得出对称中心的坐标和平移方式，根据图像可得出时的取值范围【详解】解：（1）根据分母不能为0，可得函数的自变量的取值范围是；函数图像如下图所示，（2）该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，函数的对称中心的坐标是（
30、2，1）；根据平移的性质可得，函数的图像由的图象往右移2个单位，上移1个单位；根据函数图像，可知当时的取值范围是：或 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题21. 如图，在中，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的长【答案】（1）见解析 （2），【解析】【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案【小问1详解】证明：如图，作，垂足为H，连接，D是中点，又，BDC=2
31、FAC，即是的平分线，O在上，与相切于点E，且是的半径，AC平分FAB，OHAF，是的半径，是的切线【小问2详解】解：如（1）图，在中，可设，则，设半径为r，则，即，则，在RtAOE中，AO=5，OE=3，由勾股定理得，又，在中，由勾股定理得：【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明22. 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板
32、距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系（1）当时，求这条抛物线的解析式（2）当时，求运动员落水点与点的距离（3）图中米，米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围【答案】（1）y=-（x-3）2+4 （2）5米 （3）【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，将点A（2，3）代入可得；（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x-
33、3）2+k，中，当米，y0，当时，y=0，解不等式，即可求解【小问1详解】解：如图，根据题意得：抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，3=a（2-3）2+4，解得：a=-1，抛物线解析式为：y=-（x-3）2+4；【小问2详解】由题意可得：当y=0时， 0=-（x-3）2+4，解得：x1=1，x2=5，抛物线与x轴交点为：（5，0），当k=4时，运动员落水点与点C的距离为5米；【小问3详解】解：根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）2+k，将点A（2，3）代入得：a+k=3，即a=3-k，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，当时，即，解得
34、：，当时，即，解得：，跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，k的取值范围为【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键23. 已知正方形，为对角线上一点【建立模型】（1）如图1，连接，判断与数量关系 ；（2）【模型应用】如图2，延长线上一点，交于点判断的形状并说明理由；若为的中点，且，求的长；（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，交于点，请写出与之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）； （2）为等腰三角形，理由见解析； （3）理由见解析【解析】【分析】（1）先判断出，进而判断出，进而得出结论；（2）根据（1）证明出；过点F作于H，先求出，进而求出,最后用勾股定理即可求出答案；（3）先判断出，由（1）知，由（2）知，,即可判断出结论【小问1详解】证明：是正方形的对角线，；故答案为：【小问2详解】解：为等腰三角形，理由：四边形是正方形，由（1）知，是等腰三角形；如图，过点F作于H，四边形为正方形，点G为的中点，由知， ，在与中，在中，；【小问3详解】解：，在中，由（1）知，由（2）知，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键