1、2023年吉林省长春市南关区中考一模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）A B. C. 0D. 2. 中国互联网络信息中心近期发布第51次中国互联网络发展状况统计报告显示，截止到2022年12月，我国网民规模达10.67亿将数据10.67亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）A. B. C. D. 4. 不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为6米若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为
2、（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，四边形的两边、与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交于点、下列说法不一定正确的是（ ）A B. C D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，则的值是（ ）A. 6B. 12C. 15D. 30二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 分解因式：_10. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是_11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上
3、，点在边的延长线上，则的大小为_度12. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_（结果保留）13. 如图，点为正六边形对角线上一点，阴影部分的面积和为，则正六边形的边长是_14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的任意一点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点，点的横坐标为，且，P为的中点，过点作轴的平行线分别交抛物线于、两点，则的长为_三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简，再求值：，其中16. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，
4、搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率17. 疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏某旅行社今年春节租用、两种客房，用元租到客房的数量与用元租到客房的数量相同，今年每间客房的租金比每间客房的租金多元，分别求今年该旅行社租用的、两种客房每间客房的租金18. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形图中为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹（1）在图中，作出边中线；（2）在图中，作出过、三点的所有格点平行四边形；（3）在图中，作出与相
5、似的所有格点三角形，要求所作格点三角形与有两边分别共线，且所作格点三角形与的相似比为2：119. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求菱形的面积20. 年国家统计局公布了年国民经济和社会发展统计公报公报显示，全国年至2022年货物进出口额变化情况，根据国家统计局年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：（1）从年到年，进口额最多的是_年；（2）从年到年，出口额年增长率的中位数是_；（3）货物进出口差额是衡量国家经济重要指标，货物出口额超过货物进口额的差额称为货物进出口顺差，年我国货物进出口顺差是_万亿元；（4）下
6、列结论正确的是_（只填序号）与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升年进口额增长率持续下降与年相比，年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点；（注：为1个百分点）21. 现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示（1）甲车停留前行驶时的速度是_，_；（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式；（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？22. 实践与探究（1）操作一：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为把纸片展平后
7、，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上，点的对应点为点，折痕为，连结当矩形是正方形时，是_三角形；当是等腰直角三角形时，求边与边之间的数量关系；若点、共线，求证：（2）操作二：如图，在矩形中，先将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在矩形的内部，点的对应点为点，折痕为然后沿过点的直线折叠，使点落在直线上，折痕为，点的对应点为点再将矩形沿过点的直线继续折叠，折痕为，点的对应点为点我们发现，点的位置不同，点的位置也不同当点恰好与点重合时，线段的长为_23. 如图，在中，动点从点出发，在上以每秒5个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以
8、、为邻边作平行四边形设点的运动时间为秒（1）用含的代数式表示线段的长；（2）当点在内部时，求的取值范围；（3）当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，求的值；（4）如图，点为的中点，连接，作点关于直线的对称点，当时，直接写出的值24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，且经过点点在该抛物线上，其横坐标为（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）将此抛物线上、A两点之间的部分（包括、A两点）记为图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围；（4）设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴当拋物线与矩形的边只有两个交点，
9、且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值2023年吉林省长春市南关区中考一模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可【详解】解：，故B正确故选：B【点睛】本题注意考查了实数的大小比较，求一个数的绝对值，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2. 中国互联网络信息中心近期发布第51次中国互联网络发展状况统计报告显示，截止到2022年12月，我国网民规模达10.67亿将数据10.67亿用科学记数
10、法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可【详解】解：亿；故选：C【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案【详解】解：从上面看，看到的图形分为上下两行，上面一行有2个小正方形，下面一行左边有1个小正方形，即看到的图形为：故选：D【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知俯视图是从上边看得到的图形4
11、. 不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可详解】解： 解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，故选：C【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键5. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为6米若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】【分析】过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案【详解】解：如图，过点作于点C，在中，由题意得米，米，故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的
12、实际应用，旋转的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键6. 如图，四边形的两边、与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，由、与相切，可得，再由即可求解；【详解】解：连接，、与相切，故选：B【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆切线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键7. 如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交于点、下列说法不一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据作图可得是的垂直平分线，设与的交点为O，根据三角形内角和定理即可判断C；根据等边
13、对等角和三角形外角的性质即可判断B；，证明，得到，即可判断D；根据现有条件无法证明，即可判断A【详解】解：如图，设与的交点为O，根据作图可得是的垂直平分线，故C不符合题意；，故B不符合题意；四边形是矩形，故D不符合题意；根据现有条件无法证明，故A符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键8. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，则的值是（ ）A. 6B. 12C. 15D. 30【答案】C【解析】【分
14、析】设，则，再求出，由F是的中点，得到，再由函数的图象经过点和点， 得到，由此即可求出答案【详解】解：由平移的性质可知 ，设，则，轴，F是的中点，函数的图象经过点和点， ，解得，故选C【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，平移的性质，熟知正确用a表示出点C和点F的坐标是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根
15、据一元二次方程无实数解，得出，解不等式即可求解【详解】解：关于的一元二次方程无实数解，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_度【答案】【解析】【分析】由三角板中角度的特点得到，由平行线的性质和对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得【详解】解：如图所示，设交于O，由题意得，故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中角度的特点
16、，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键12. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_（结果保留）【答案】【解析】【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，即，故答案为：【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提13. 如图，点为正六边形对角线上一点，阴影部分的面积和为，则正六边形的边长是_【答案】6【解析】【分析】连接，过作于，根据等腰三角形的性质得到，则，【详解】解：如图所示，连接，过作于
17、，设正六边形的边长为，依题意，四边形是平行四边形，则，四边形是矩形，则阴影部分的面积和为，即，解得：，负值舍去，故答案为：【点睛】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的任意一点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点，点的横坐标为，且，P为的中点，过点作轴的平行线分别交抛物线于、两点，则的长为_【答案】【解析】【分析】过A作轴于D，过B作轴于E，又，得，由点的横坐标为，得，则，可得，利用待定系数法求出直线的解析式，可求得点C的坐标， 再根据P为的中点，求出点P的
18、纵坐标，进而可求出的长【详解】过A作轴于D，过B作轴于E，轴，轴，点的横坐标为，点A的坐标为，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，P为的中点，解得，轴，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标的特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式等知识，解题的关键是求出点P的纵坐标三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简，再求值：，其中【答案】，21【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可【详解】解：原式，当时，原式【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算
19、法则是解题的关键16. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率【答案】【解析】【分析】利用画树状图（或列表）求出所有等可能的结果，找出符合题意的结果，再利用概率公式求出即可【详解】解：画列树状图为：共有种等可能结果，其中一正一负的结果有种，(一正一负)答：两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率【点睛】本题考查了用概率公式，会画树状图（或列表）求概率，掌握概率公式及会画树状图（或列表）是解题的关键17. 疫情过后，
20、今年云南旅游市场强劲复苏某旅行社今年春节租用、两种客房，用元租到客房的数量与用元租到客房的数量相同，今年每间客房的租金比每间客房的租金多元，分别求今年该旅行社租用的、两种客房每间客房的租金【答案】客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元【解析】【分析】设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元根据题意“用元租到客房的数量与用元租到客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解【详解】解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元根据题意，得解得经检验，是原方程的解，且符合题意，则元答：客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据
21、题意列出方程是解题的关键18. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形图中为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹（1）在图中，作出边的中线；（2）在图中，作出过、三点的所有格点平行四边形；（3）在图中，作出与相似的所有格点三角形，要求所作格点三角形与有两边分别共线，且所作格点三角形与的相似比为2：1【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合网格特征得出中点，即可得答案；（2）分别以、为对角线，根据平行四边形的性质，结合网格特征即可得答案；（3）结合网格特征，向、的两面分
22、别延长，使延长部分与、相等，根据两对应边成比例，且两边夹角相等的两个三角形相似即可得答案【小问1详解】解：如图，矩形的对角线相等且互相平分，点为中点，即为所求，【小问2详解】如图，平行四边形、平行四边形、平行四边形即为所求，【小问3详解】如图，向、的两面分别延长，使，同理可证：，且相似比都，、和即为所求【点睛】本题考查无刻度直尺作图、网格特征、矩形的性质、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握网格的特征、相关的性质及判定定理是解题关键19. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求菱形的面积【答案】（1）证明见解析 （2）30【解析】【分
23、析】（1）根据平行线的性质可得，利用可证明，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形，进而可得出结论；（2）根据菱形的性质及三角形中线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，利用可求出的长，即可求出的面积，即可得答案【小问1详解】解：，点是的中点，是的中点，四边形是平行四边形，四边形是菱形【小问2详解】四边形是菱形，点是的中点，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质及正切的定义，熟练掌握相关定义及判定定理是解题关键20. 年国家统计局公布了年国民经济和社会发展统计公报公报显示，全国年至2022年货物进
24、出口额变化情况，根据国家统计局年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：（1）从年到年，进口额最多的是_年；（2）从年到年，出口额年增长率的中位数是_；（3）货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口额超过货物进口额的差额称为货物进出口顺差，年我国货物进出口顺差是_万亿元；（4）下列结论正确的是_（只填序号）与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升年进口额增长率持续下降与年相比，年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点；（注：为1个百分点）【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】【分析】（1）根据折线统计图的信息进行求解即
25、可；（2）根据中位数的定义进行求解即可；（3）（4）根据折线统计图所给的信息进行求解即可【小问1详解】解：由折线统计图可知，年的进口额最多，故答案为：；【小问2详解】解：将年到年的出口额年增长率从低到高排列为：，从年到年，出口额年增长率的中位数是，故答案为：；【小问3详解】解：万亿元，故答案为：；【小问4详解】解：的进口额为万亿元，进口额的年增长率为，的进口额为万亿元，进口额的年增长率为，与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故正确；由折线统计图可知，年进口额增长率先下降再上升再下降，故错误；与年相比，年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点，故正确；故答案为：【
26、点睛】本题主要考查了折线统计图，中位数，正确读懂统计图是解题的关键21. 现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示（1）甲车停留前行驶时的速度是_，_；（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式；（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？【答案】（1）80， （2）（） （3）甲车比乙车早44分钟到达旅游景点【解析】【分析】（1）根据函数图象可知当时，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除以乙的速度，得出的值；（2）待定系数法求即可
27、求解；（3）根据题意当时，代入（2）的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，求其差即可求解【小问1详解】解：根据函数图象可得当时，甲车停留前行驶时的速度是，乙车速度为解得：，故答案为：80，【小问2详解】设，把代入，解得所以（）【小问3详解】当时，甲用的时间：乙用的时间：，即44分钟答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键22. 实践与探究（1）操作一：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为把纸片展平后，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上，点的对应点为点，折痕为，连结当矩形是正方形时，是_三角形；当是等腰直角三
28、角形时，求边与边之间的数量关系；若点、共线，求证：（2）操作二：如图，在矩形中，先将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在矩形的内部，点的对应点为点，折痕为然后沿过点的直线折叠，使点落在直线上，折痕为，点的对应点为点再将矩形沿过点的直线继续折叠，折痕为，点的对应点为点我们发现，点的位置不同，点的位置也不同当点恰好与点重合时，线段的长为_【答案】（1）等边；见解析； （2）【解析】【分析】（1）由折叠得：，从而可证，即可求解；可求，可得，从而可以求解可证，从而可求证（2）设，则有，在中，即可求解【小问1详解】解：当矩形是正方形时，如图由折叠得：，矩形是正方形，是等边三角形故答案：等边解：是等腰直角三
29、角形，由折叠得：，即：，四边形是矩形，故：边与边之间的数量关系为：证明：如图，四边形是矩形，由折叠得：，、三点共线，在和中，（）【小问2详解】解：四边形是矩形，由折叠得：，设，则有，在中，解得：，故答案：【点睛】本题考查了在矩形中的三角形折叠问题，折叠的性质，勾股定理，三角形的全等判定，矩形的性质，理解折叠的过程，掌握相关的性质及定理是解题的关键23. 如图，在中，动点从点出发，在上以每秒5个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以、为邻边作平行四边形设点的运动时间为秒（1）用含的代数式表示线段的长；（2）当点在内部时，求的取值范
30、围；（3）当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，求的值；（4）如图，点为的中点，连接，作点关于直线的对称点，当时，直接写出的值【答案】（1）或 （2）或 （3）或 （4）或【解析】【分析】(1)根据“路程=速度时间”即可表示；(2)分点落在上和点落在上两种情况讨论，分别求出临界情况下对应的时间即可；(3)分当点在上和当点在上两种情况讨论，分别把图形的面积表示出来，再根据题中的面积比为得到对应的线段倍数关系进而求解；(4)分当点在边上和点在边上，根据“点关于直线的对称点”及得到等腰三角形，进而根据等腰三角形的腰相等列方程求解【小问1详解】解：当点落在上时，；当点落在上时，【小问2详解】解：
31、如下图，当点落在上时，由于，四边形为矩形，且，代入，解得，从点运动到点所需要时间为，点落在上时，点在内部时对应的时间取值范围为：；当点落在上时，如下图所示：同理可得，解得，点落在上时，点在内部时对应的时间取值范围为；综上所述，点在内部时对应的时间取值范围为或小问3详解】解：当点在上时，如下图，当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，只需要满足：即可，又因为，解得；当点在上时，如下图，当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，只需要满足：即可，同理可得：，解得，综上所述：当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，或【小问4详解】解：当点在边上时，如下图所示：由直角三角形斜边上的中线等于斜
32、边的一半可知：，点关于直线的对称点，又，、均为等腰三角形，设，则，；当点在边上时，如下图所示：同上述过程，同理可证：、均为等腰三角形，设，则，点从点沿折线运动到点路程为，；综上所述：当时，或【点睛】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定及性质、平行线的性质等，重点考察了分类讨论的思想，属于综合题，熟练掌握各图形的性质是解决问题的关键24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，且经过点点在该抛物线上，其横坐标为（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）将此抛物线上、A两点之间的部分（包括、A两点）记为
33、图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围；（4）设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴当拋物线与矩形的边只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值【答案】（1） （2）当时，函数y的最大值为4，最小值为0 （3）或 （4）【解析】【分析】（1）根据对称轴先求出b，然后待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据二次函数的性质，确定开口方向和顶点坐标，然后求出当和时的y值，即可得到y的最大值和最小值；（3）根据图象G与直线只有一个公共点，可分成两种情况进行分析，并计算即可；（4）根据题意，分两种情况和进行分析，并计算即可【小问1详解】解：对称轴，得：把代入解得：【小问2详解】解：顶点坐标为（1，4）开口向下当时，代入，得：当时，代入，得：当时，【小问3详解】解：P坐标为，图象G与直线只有一个公共点，点P在直线下方，如图1则解得：，直线在点P下方且在点A上方，如图2则解得：或图1 图2【小问4详解】解：当时，两个交点分别为和P由，解得，（舍去）当时，两个交点分别为点F、P，由，解得，（舍去）或（答对第一个给1分，第二个给2分）【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键