1、2023年广东省揭阳市榕城区中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果表示向东走，那么表示（ ）A 向东走B. 向西走C. 向东走D. 向西走2. 我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）A. B. C. D. 4.
2、 若有意义，则（）A. B. 且C. D. 且5. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码平均每天销售数量（件）该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 117. 如图，在矩形中，对角线、交于点若，则的长为（ ）A. 8B. C. D. 48. 如图，某书店拿取高处书籍的登高梯靠书架放置，顶端恰好放在书架
3、第七层的项端已知米，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）A 米B. 米C. 米D. 米9. 如图，在中，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1010. 如图，点是轴负半轴上一点，点在反比例函数的图象上，交交于点，若，则的面积为（ ）A. B. C. 6D. 9二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 若、是方程两个实数根，则的值为_12. 因式分解：=_13. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为_14. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交
4、于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，则的周长为 _ 15. 如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，当最短时，的长为_三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16. 计算：17. 先化简，再求值：，其中18. 如图，将的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，求证：四边形DEBF是平行四边形四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A聆听航天科普讲座；B参加航天梦想营；C参观航天科技展；D制作航天火箭模型每位同学从
5、中随机选择一项参加（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”概率是_；（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率20. 为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需元（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共副，且支出不超过元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？21. 已知等边，其中点D、E是过顶点B一条直线l上两点（1）如图1，求证：（2）如图2，求A
6、D的长五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点直线经过、两点（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如图2，将位于轴下方的抛物线沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位得到直线当直线与“”图象有两个交点时，求的取值范围23. 欧几里德，古希腊著名数学家被称为“几何之父”他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：连接，作线段的中点；以为圆心
7、，以为半径作圆，与圆交于两点和；连接、，则、是圆的切线（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；（3）如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，求圆的半径2023年广东省揭阳市榕城区中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果表示向东走，那么表示（ ）A 向东走B. 向西走C. 向东走D. 向西走【答案】D【解析】【分析】正数与负数即意义相反的两个数，表示向东走，那么则表示向西走【详解】
8、表示向东走，那么表示向西走故选：D【点睛】此题考查相反意义的量，解题关键是表示意义相反的量，表示向东走，那么表示反方向走，即向西走2. 我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可【详解】解：53亿；故选D【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）A.
9、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】俯视图即从上往下看，直接选择即可【详解】的俯视图为故选：B【点睛】此题考查三视图，解题关键是空间想象能力4. 若有意义，则（）A. B. 且C. D. 且【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案【详解】解：根据题意得：，解得，且，故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键5. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码平均每天销售数量（件）该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影
10、响该店主决策的统计量是（ ）A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数【答案】C【解析】【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数故选：C【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【详解】过点作于，交于，故选：A【点睛】本
11、题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键7. 如图，在矩形中，对角线、交于点若，则的长为（ ）A. 8B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】先证明是等边三角形，然后根据的直角三角形三边关系直接求解即可【详解】，在矩形中，对角线、交于点，是等边三角形，中，故选：B【点睛】此题考查矩形的性质和勾股定理，解题关键是根据一个角为的等腰三角形即为等边三角形，然后根据勾股定理直接求解8. 如图，某书店拿取高处书籍的登高梯靠书架放置，顶端恰好放在书架第七层的项端已知米，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】【分析】在中利
12、用的余弦求解即可【详解】解：在中，米，故选D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题9. 如图，在中，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】由题意推出，在中，即可求出的长，进而可求出的长【详解】解：，平分， P点是的中点，故选：B【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键在于根据已知推出10. 如图，点是轴负半轴上一点，点在反比例函数的图象上，交交于点，若，则的面积为（ ）A. B. C. 6D. 9【答案】C
13、【解析】【分析】过点B作轴于点D，设，则根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示设，则，即，则，故选：C【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 若、是方程的两个实数根，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解【详解】解：、是方程的两个实数根，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，掌握一元二次方程根与系数的关系是解
14、题的关键12. 因式分解：=_【答案】x(x+1)(x1)【解析】【详解】解：原式= =x(x+1)(x1)，故答案:x(x+1)(x1)13. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为_【答案】16【解析】【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，直径为52cm， ，故答案为：16【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键14. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点
15、、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，则的周长为 _ 【答案】【解析】【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解【详解】由题意得：，故答案为：【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键15. 如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，当最短时，的长为_【答案】【解析】【分析】根据旋转得到全等，然后将最短转化为最短，即取垂线段最短，然后构造直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可【详解】过作交于，取中点，连
16、接，是等边三角形，绕点逆时针旋转得到，同理可得，最短时，即最短时，即时，最短，等边的边长为8，在中，在中，在中，故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是根据旋转得到全等三角形，难点是灵活构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16. 计算：【答案】【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合运算法则直接求解即可【详解】【点睛】此题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是任意非零实数的零次幂等于，17. 先化简，再求值：，其中【答案】原式，当时，原式【解析】【分析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把m的值代入求解即可【详解】解：原
17、式，当时，原式【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算18. 如图，将的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，求证：四边形DEBF是平行四边形【答案】详见解析【解析】【分析】法一：连接BD与AC交于点O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论；法二：先证明，然后证明DAEBCF得到，即可证明且，从而可以推出四边形DEBF为平行四边形【详解】法一：证明：连接BD与AC交于点O，四边形ABCD是平行四边形，即，四边形DEBF为平行四边形法二：证明：四边形ABCD平行四
18、边形，且，即，在与中，且，四边形DEBF为平行四边形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A聆听航天科普讲座；B参加航天梦想营；C参观航天科技展；D制作航天火箭模型每位同学从中随机选择一项参加（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是_；（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根
19、据概率公式直接求解即可；（2）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，故答案为：【小问2详解】解：列表如下，内容有四项：A聆听航天科普讲座；B参加航天梦想营；C参观航天科技展；D制作航天火箭模型共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键20. 为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级已知购买2副乒
20、乓球拍和1副羽毛球拍共需元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需元（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共副，且支出不超过元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？【答案】（1）1副乒乓球拍元，1副羽毛球拍的价格元 （2）【解析】【分析】（1）设两个未知数，列出二元一次方程组直接求解即可（2）设一个未知数，列出三个不等式组求解集，然后取最大值即可【小问1详解】设1副乒乓球拍的价格为，1副羽毛球拍的价格为，由题意可得：，解得， 答：1副乒乓球拍的价格为元，1副羽毛球拍的价格为元；【小问2详解】设购买副羽毛球拍，则乒乓球拍买副，由题可知：，解得，答：最多能够购买副羽毛球
21、拍【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式求解21. 已知等边，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点（1）如图1，求证：（2）如图2，求AD的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证，即得出；（2）分别作，且角的顶点落在直线l上由（1）可知，即得出，设，则在中，利用锐角三角形函数可求出，从而可求出再在中，利用锐角三角形函数可得出，即可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出的长【小问1详解】证明：为等边三角形，；【小问2详解】如图，分别作，且角的顶点落在直线l上由（1）可知，设，则在中，在中，即，解得
22、：，【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等知识掌握三角形全等的判定定理是解题关键在解（2）时作出辅助线构造全等三角形也是关键五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点直线经过、两点（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如图2，将位于轴下方的抛物线沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位得到直线当直线与“”图象有两个交点时，求的取值范围【答案】（1）； （2）或【解析】分析】（1）先后求出坐标即可求出解析式；（2）画出平移后的图像，分析当在与之间移动时，和在上方移动时，直线与“”图象有两个交
23、点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可【小问1详解】抛物线中，令，在直线上，令，将代入，解得，故直线解析式为，抛物线的解析式为小问2详解】将直线移动到如图位置时，直线与“”图象有三个交点，平移后的，当与翻折后的抛物线只有一个交点时，翻折后的函数解析式为：，化简得，解得，当过点时，由（1）可知，将代入，解得，直线与“”图象有两个交点，或，【点睛】此题考查函数的综合应用，解题关键是取已知点代入解析式进行求解，难点是判断函数的交点个数，直接画出函数图像，找到函数有两个交点的范围，分情况讨论求解23. 欧几里德，古希腊著名数学家被称为“几何之父”他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，总结了平面几
24、何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：连接，作线段的中点；以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；连接、，则、是圆的切线（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；（3）如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，求圆的半径【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）画圆得到半径相等，然后推论出直角即可证切线；（3）根据相似得到边的数量关系，列方程求解即可【小问1详解】如图，【小问2详解】连接，是圆半径，是圆的切线，同理可得，是圆的切线【小问3详解】连接交于点，连接，、是圆的切线，是线段的垂直平分线，设圆的半径为，在中，解得（负值舍去）【点睛】此题考查圆的综合应用，解题关键是通过相似三角形得到边的数量关系，然后根据勾股定理列方程求解