1、2023年湖南省永州市道县中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 2. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒数3000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 若，则点(a，b)在（
2、）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列判断正确的是（）A. 高铁站对旅客的行李的检查应采取抽样调查B. 一组数据5、3、4、5、3的众数是5C. “掷一枚硬币正面朝上概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上D. 甲，乙组数据平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据更稳定6. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形的对角线、相交于点，且，则不正确的结论是（ ）A. 是等边三角形B. C. D. 四边形8. 如图，是圆的直径，点，在圆上，若，则（ ）A. B.
3、 C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四个人参加“学科综合素养”选拔赛，两人出线参加决赛在比赛结果揭晓后，四个人有如下说法：甲：两名出线者在乙、丙、丁中乙：我没有出线，丙出线了丙：甲、乙两个人中有且只有一个人出线丁：乙说得对已知四个人中有且只有两个人的说法是正确的，则两名出线者为（ ）A. 甲、丁B. 乙、丙C. 乙、丁D. 甲、丙10. 如图，直线y=-x+m交双曲线y=(x0)于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AHx轴于点H，连结BH，若OH：HC=1：5，SABH=1，则k值为（）A. 1B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. 一个数的立
4、方根是2，则这个数是_12. 若，则的值为_13. 一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角380，则1+2_14. 如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_16. 阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”如图所示的的正方形网格，图中格点多边形的面积是21问题解决：已知一个
5、格点多边形面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则_三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17. 计算：|（3.14）02sin60+（）118. 解不等式组：并写出它最大整数解19. 如图，菱形中，分别以、为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧在的两侧分别交于点、，作直线交于点，交于点，连接，求的度数20. 某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如下统计图（均不完整）请根据统计图，回答下列问题：（1）这次抽样调查的总人数为_人（2）在扇
6、形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为_（3）若该校共有1500名学生，则最想参加“唱歌”的约有_人（4）活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率21. 若x满足(x4) (x9)6，求(x4)2+(x9)2的值解：设x4a，x9b，则(x4)(x9)ab6，ab(x4)(x9)5，(x4)2+(x9)2a2+b2(ab)22ab522637请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(x2)(x5)10，求(x2)2 + (x5)2的值(2)已知正方形A
7、BCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE1，CF3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积22. 如图是某小区益智健身点中的“侧摆器”及其示意图锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动（1）摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为最高点位置，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差（精确到厘米，）；（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小
8、时？23. 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，的延长线交于点，（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长24. 有依次排列的3个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推整式串n中各整式的和记为（1）直接写出整式串2；（2）求；（3）若的值为0，求x的值25. 如图，抛物线经过坐标原点O及点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点（1）求抛物线的解析式；（2）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；（3）
9、是否存在x轴上一动点H和平面内相应点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点H和相应点N的坐标，若不存在，请说明理由2023年湖南省永州市道县中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算算术平方根，再根据相反数的定义解答即可【详解】，又3的相反数为，的相反数是故选A【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，相反数的定义掌握算术平方根的定义和只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键2. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺比如下列
10、图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误故选C【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3. 我国自主研发的“北斗系统
11、”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒数3000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义即可得【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法则故选：C【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键4. 若，则点(a，b)在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答详解：由题意得，a+3=
12、0，b2=0，解得a=3，b=2，所以,点P的坐标为(3,2)，在第二象限.故选B.点睛：点的坐标； 非负数的性质：偶次方, 非负数的性质：算术平方根.5. 下列判断正确的是（）A. 高铁站对旅客的行李的检查应采取抽样调查B. 一组数据5、3、4、5、3的众数是5C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上D. 甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据更稳定【答案】D【解析】【详解】A，高铁站对旅客的行李的检查应采用普查，故错误；B，数据5、3、4、5、3的众数是5和3，故错误；C，“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每掷硬币2次
13、不一定有1次正面朝上，故错误；D，甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=4.3，S乙2=4.1，则乙组数据稳定，故正确；故选D6. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法逐项分析判断即可求解【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键7. 如图，在四边形中，我们把这种两
14、组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形的对角线、相交于点，且，则不正确的结论是（ ）A. 是等边三角形B. C. D. 四边形【答案】D【解析】【分析】由“筝形”的性质可得，可证是等边三角形，故正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故正确；由等腰三角形的性质可以判定正确，由三角形的面积公式判定错误，即可求解【详解】解，是等边三角形，故正确；，故正确；，故正确；，故错误，故选：D【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键8. 如图，是圆的直径，点，在圆上，若，则（ ）A. B. C. D.
15、 【答案】B【解析】【分析】先利用邻补角求得，再根据圆周角定理即可求解【详解】解，故选 B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行计算是解决本题的关键9. 甲、乙、丙、丁四个人参加“学科综合素养”选拔赛，两人出线参加决赛在比赛结果揭晓后，四个人有如下说法：甲：两名出线者在乙、丙、丁中乙：我没有出线，丙出线了丙：甲、乙两个人中有且只有一个人出线丁：乙说得对已知四个人中有且只有两个人的说法是正确的，则两名出线者为（ ）A. 甲、丁B. 乙、丙C. 乙、丁D. 甲、丙【答案】C【解析】【分析】本题主要抓住乙、丁的说法是一样的这一特点，则乙、丁的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不
16、符先假设乙、丁的说法正确，则甲、丙的说法不正确，可推出矛盾，故乙、丁的说法不正确，则甲、丙的说法正确，再分析可得出出线的是乙和丁【详解】解：由题意，可知：乙、丁的说法是一样的，乙、丁的说法要么同时正确，要么同时不正确假设乙、丁的说法正确，则甲、丙的说法不正确，根据乙、丁的说法，丙出线，甲、丁中必有一人出线；这与丙的说法不正确相矛盾故乙、丁的说法不正确，乙、丁的说法不正确，则甲、丙的说法正确，甲、丙的说法正确，乙必出线乙、丁的说法不正确，甲的说法正确，丙没有出线，丁出线从而出线的是乙和丁故选：C【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果本题属中档题10. 如图，直线y=-
17、x+m交双曲线y=(x0)于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AHx轴于点H，连结BH，若OH：HC=1：5，SABH=1，则k的值为（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设 OH=a，则HC=5a，求得m=3a，n=a，k=a2，再解方程组，得到A点坐标为（a，a），B点坐标为（5a，a），根据SABH=a（5a-a）=5a2，SABH=1，即可得到k的值【详解】解：设 OH=a，则HC=5a，C（6a，0）代入 y=-x+m，得m=3a，设A点坐标为 （a，n） 代入 y=-x+m，得 n=-a+3a=a，A（a，a），代入 y=得，k=a2，y=，解方程
18、组，可得：，A点坐标为（a，a），B点坐标为（5a，a），AH=a，SABH=a（5a-a）=5a2，SABH=1，5a2=1，即a2=，k=故选B【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. 一个数的立方根是2，则这个数是_【答案】【解析】【分析】根据立方根的定义即可求解【详解】解：，所以这个数是，故答案为：【点睛】本题考查了立方根的定义掌握立方根的定义是解答本题的关键12. 若，则的值为_【答案】【解析】【分析】将代
19、数式根据完全平方公式因式分解，将代入进行计算即可求解【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键13. 一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角380，则1+2_【答案】130【解析】【分析】由等边三角形和直角三角形可得1+=120，2+=90，且3=+=80，可求得1+2【详解】如图，由等边三角形和直角三角形可得1+=120，2+=90，1+2+=90+120=210，且3=+，+=80，1+2=210-80=130，故答案为130【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用、
20、得到3和1、2之间的关系是解题的关键14. 如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_【答案】【解析】【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求【详解】解：连接点A，B，设直线AB的解析式为点，点解得直线AB的解析式为当时，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由于m的值不能确定，故应分和两种情况进行讨论【详解】解：当时，原方程可化为，解得；当时，关于
21、x的方程有实数根，解得：，m的取值范围是：，故答案为.【点睛】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论16. 阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”如图所示的的正方形网格，图中格点多边形的面积是21问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则_【答案】32【解析】【分析】根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解【详解】解：根据题意可得，解得，故答案为
22、：32【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17. 计算：|（3.14）02sin60+（）1【答案】3【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案【详解】解：原式 ，3【点睛】本题考查了绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数、负指数幂，解题的关键是熟练掌握这些运算法则18. 解不等式组：并写出它的最大整数解【答案】3【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集【详解】由得，由得，不等式组的解集
23、为，最大整数解是3【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19. 如图，菱形中，分别以、为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧在的两侧分别交于点、，作直线交于点，交于点，连接，求的度数【答案】 【解析】【分析】根据菱形的性质，以及垂直平分线的性质，求出，再利用角的和差定义即可解决问题【详解】解：四边形菱形，由作图可知，垂直平分线段，【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等角对角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键20. 某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”
24、“演讲”“书法”四项活动策划阶段，学生会随机调研了若干名学生参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如下统计图（均不完整）请根据统计图，回答下列问题：（1）这次抽样调查的总人数为_人（2）在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为_（3）若该校共有1500名学生，则最想参加“唱歌”的约有_人（4）活动结束后，学生会从参加“演讲”学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率【答案】（1）120 （2） （3）600 （4）【解析】【分析】（1）利用演讲的人数
25、和所占的百分比求解即可；（2）用360乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；（3）用1500乘以参加“唱歌”的人数所占的百分比，即可求解；（4）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解【小问1详解】（人），这次抽样调查的总人数为120人，故答案为：120；【小问2详解】，“书法”所在扇形的圆心角度数为，故答案为：；【小问3详解】（人），最想参加“唱歌”的约有600人；【小问4详解】列表如下：男1男2女1女2男1（男2，男1）（女1，男1）（女2，男1）男2（男1，男2）（女1，男2）（女2，男2）女1（男1，女1）（男2，女1）（女2，女1）女2（男1，女2）（男2，女2）（女
26、1，女2）由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，选取的两人恰为一男一女的概率【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键21. 若x满足(x4) (x9)6，求(x4)2+(x9)2的值解：设x4a，x9b，则(x4)(x9)ab6，ab(x4)(x9)5，(x4)2+(x9)2a2+b2(ab)22ab522637请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(x2)(x5)10，求(x2)2 + (x5)2的值(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE1，CF3，
27、长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积【答案】(1)29 ；(2)16【解析】【分析】（1）设，根据已知等式确定出所求即可；（2）根据题意可知正方形ABCD的边长为x，进而表示出MF、DF，根据题意求出阴影部分面积即可【详解】（1）设，则，（2）根据题意可知正方形ABCD的边长为x，EMFD是长方形，MFED， ， ,设，则S长方形EMFD，得S阴影部分MF2DF2，即S阴影部分故阴影部分的面积是16.【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析22. 如图是某小区益智健身点中的“侧摆器”及其
28、示意图锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动（1）摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为最高点位置，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差（精确到厘米，）；（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【答案】（1）踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米 （2）小杰原计划锻炼1小时完成【解析】【分析】（1）过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义
29、求出的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答【小问1详解】解：过点作垂足为，由题意得：，在中，（），（），踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为厘米【小问2详解】解：设小杰原计划小时完成锻炼，由题意得 解得：经检验：都是原方程的根，但不合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼小时完成【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键23. 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，的延长线交于点，（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，
30、求的长【答案】（1）是的切线，理由见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，由四边形内接于，可得，由，可得可求再证可得推出（2）设，则在中，由勾股定理，得，解得，利用弧长公式求即可【小问1详解】解：是的切线，理由如下：连接，四边形内接于，是的半径，是的切线【小问2详解】解：在中，设，则由勾股定理，得解得，长为【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，圆的切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，圆的弧长公式，掌握圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，圆的切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，圆的弧长公式是解题关键24. 有依次排列的3个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式
31、减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推整式串n中各整式的和记为（1）直接写出整式串2；（2）求；（3）若的值为0，求x的值【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】（1）直接根据操作进行整式的加减即可得解；（2）先求出整式串2和整式串3，再代入即可得解；（3）先找出规律得，进而根据的值为列方程求解即可【小问1详解】解：第一次操作后的整式串为：，共个整式，第二次操作后的整式串为，共个整式，整式串为：；【小问2详解】解：第二次操作后的整式串为，共个整式，第一次操作后的整式串为：，共个
32、整式，整式串的和为：，整式串为，共个整式，整式串的和为，；【小问3详解】解：第一次操作后的整式串为：，共个整式，整式串的和为，第次操作后所有整式串的和为，解得【点睛】本题考查整式的加减，数字的规律型以及一元一次方程的应用，从所给的式子分析出所存在的规律是解题关键25. 如图，抛物线经过坐标原点O及点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点（1）求抛物线的解析式；（2）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；（3）是否存在x轴上一动点H和平面内相应点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点H和相应点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）； （
33、2）或； （3）存在，或，或，或，【解析】【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先计算出，再求出解析式，设出点坐标，根据三角形面积公式即可求解；（3）分类讨论，分别当、为对角线时，画出图形即可求解【小问1详解】把，、代入，得：，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】、，设直线的表达式为，将点、代入得：，解得，的表达式为设点的坐标为，解得或，当时，当时，点的坐标为或；【小问3详解】存在一点，使以点、为顶点的四边形是菱形，理由如下：当为菱形的对角线时，如图所示，由（2）可知，菱形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，如图所示，当为菱形对角线时，、关于轴对称，点坐标为，点坐标为；当为对角线时，如图所示，点的坐标为，点坐标为，或点的坐标为，点坐标为，综上所示，点、H的坐标为：，或，或，或，【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题