1、2023年北京市房山区中考一模数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 四棱锥C. 三棱柱D. 正方体2. 中国立足本国国情、粮情，实施新时期国家粮食安全战略，走出了一条中国特色粮食安全之路2022年我国全年粮食产量68653万吨，比上年增加368万吨，增产将686530000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 3. 如图是由射线，组成的平面图形，则的值为（ ）A. B. C. D. 4. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足，下列结论中正确的是（ ）A. B.
2、C. D. 5. 直尺和三角板如图摆放，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 下列图形中，直线为该图形的对称轴的是（ ）A. B. C. D. 7. 同时抛掷面值为1角，5角，1元的三枚质地均匀的硬币，则三枚硬币都正面向上的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为因变量，使得，符合如图2所示的函数关系（ ）A. 的面积B. 的周长C. 的面积D. 的周长二、填空题（共16分，每题2分）9. 若在实数范围内有意义，则实数取值范围是 _10. 分解因式：_11. 计算的结果是_12. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例
3、函数的图象上，则_（填“”“=”或“”“=”或“”）【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的增减性比较即可【详解】解：，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大13. 如图，中，平分，交于点若，则_【答案】【解析】【分析】因为，可得，由相似三角形对应边对应成比例即可求解【详解】解：平分，设，则，即，故答案为：【点睛】本
4、题主要考查相似三角形的判定和性质，根据平行线，角平分线的关系找出线段，掌握平行线分线段成比例是解题的关键14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数，的值：_，_【答案】 . 1 . 4【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a与c的关系，再写出一组符合题意的值即可【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，符合题意的一组值可以为，故答案为：1，4（答案不唯一，满足且即可）【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根15. 某校要在张平和李波两位跳
5、远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是米，并将两位同学的测试数据制成了折线图如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择_（填“张平”或“李波”）【答案】李波【解析】【分析】平均数相同的情况下波动小的发挥稳定【详解】解：平均数相等的情况下波动小的发挥稳定，李波波动小，更稳定，故选李波，故答案为：李波.【点睛】本题考查对数据的波动的理解，需要学生对折线统计图的理解16. 为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督
6、指导居民对垃圾进行分类某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲6：00-8：0016：00-18：00乙6：30-7：3017：00-20：00丙8：00-11：0018：00-19：00丁7：00-10：0017：30-18：30已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为_小时，最长为_小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）【答案】 . 13 . 14【解析】【分析】先列表表示上午值守时
7、间安排，下午值守时间安排，再结合每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，分析得出答案即可【详解】解：上午值守时间如下表，甲甲甲甲甲乙乙乙丙丙丙丙丁丁丁丁丁下午值守时间安排如下表：甲甲甲甲乙乙乙乙乙乙丙丙丙丁丁丁任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，下午的值守同时安排甲，乙，丙值守，则丁不能参与，所以下午值守的最短时长为甲，乙值守时，共（小时），每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，上午丙，丁必安排值守，而甲必值守，总时长为：（小时），该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为（小时）；当下午同时安排甲，乙，丙值守，最长总时
8、长为（小时），上午可先安排甲，丙，丁值守，总时长为（小时），上午值守时间最长为小时，该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最长为（小时）；故答案为：13；14【点睛】本题考查的是逻辑推理，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 计算：【答案】【解析】【分析】先求出特殊角的三角函数值、幂的运算并对绝对值、二次根式化简，再进行计算即可【详解】解：.【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值
9、和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是解答本题的关键18. 解不等式组：【答案】【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键19. 已知，求代数式的值【答案】【解析】【分析】先根据已知条件式得到，然后根据单项式乘以多项式计算法则和完全平方公式去括号化简所求式子，再把整体代入化简结果中求解即可【详解】解：，【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键20. 下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种
10、方法，选择其中一种完成证明等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）方法一：已知：如图，中，平分求证：，方法二：已知：如图，中，点为中点求证：，方法三：已知：如图，中，求证：，【答案】证明见解析【解析】【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论【详解】证明：方法一：平分，在和中，即，；方法二：点中点，在和中，即，；方法三：，在和中，【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键21. 如图，中，对角线、交于点，在上截取（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求证：平分【答
11、案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形；（2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，；四边形是矩形；【小问2详解】证明：四边形是矩形，四边形是正方形，又四边形是平行四边形，四边形是菱形，平分【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键22. 在平面直角坐标系中，点在直线上，直线过点（1）求的值及直线的表达式；（2）当时，对于的每一个值
12、，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围【答案】（1），直线的表达式为； （2）【解析】【分析】（1）点和点，分别代入各自的函数表达式，即可求解；（2）求得过点时，k的值，再求得两直线平行时k的值，根据函数图象即可解答【小问1详解】解：点在直线上，直线过点，直线的表达式为；【小问2详解】解：函数，当时，即直线恒过点，当时，即直线过点，将点代入，得，解得，当两直线平行时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，如图，【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键23. 如图，中，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点（1）求证：；（2）若，
13、求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）由等边对等角，以及三角形内角和定理推出，再由圆周角定理推出，据此即证明结论；（2）设，则，证明，利用相似三角形的性质即可求解【小问1详解】证明：，为的直径，；【小问2详解】解：为的直径，设，则，连接，则，为的直径，为的切线，【点睛】本题考查了切线性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定和三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题24. 2023年国际数学日的主题是“给每一个人的数学”在数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取20名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下
14、面给出部分信息a两校学生得分的数据的频数分布直方图如下：（数据分成4组：，）b其中乙校学生得分在这一组的数据如下：68 68 69 73 74 74 76 76 77 78 79c两组样本数据的平均数、中位数如下表所示：学校平均数中位数甲校69乙校根据所给信息，解答下列问题：（1）写出表中的值：_；（2）一名学生的成绩为70分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是_（填“甲校”或“乙校”）学生；（3）在这次数学知识竞赛中，你认为哪个学校的学生表现较好，为什么？【答案】（1） （2）甲校 （3）甲校的成绩更好，理由见解析【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；（2
15、）根据题意可知此学生的成绩大于其所在学校的中位数，由此即可得到答案；（3）从平均数和低分，高分的人数进行描述即可【小问1详解】解：把乙校学生的得分按照从小到大排列，处在第10名和第11名的成绩为74，74，乙校学生得分的中位数为，即，故答案为：；【小问2详解】解：成绩为70分超过了该校一半以上被抽取的学生的成绩，70分大于此学生所在学校的中位数，该学生是甲校的，故答案为：甲校；【小问3详解】解：甲校的成绩更好，理由如下：从平均数看，甲校的平均数大于乙校的平均数，由统计图可知甲校的低分人数少于乙校的低分人数，但是高分人数与乙校几乎相同，甲校的成绩更好【点睛】本题主要考查了中位线和平均数，熟知中位
16、数和平均数的定义是解题的关键25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离23681012竖直高度45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系（2）一段时间后，公园重新维修拱门新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新
17、拱门”的跨度为，则_填“”、“”或“”）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由表格得当时，当时，从而可求顶点坐标，即可求解；（2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可【小问1详解】解：由表格得：，顶点坐标为，解得：，【小问2详解】解：由表格得当时，原拱门中：（）；新拱门中：当时， 解得：，（），故答案：【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键26. 已知抛物线经过点（1）用含的式子表示及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】（1），抛物线的顶点坐标为； （2）或【解析】【分析】（1）把点代入计算可求得含的式子表示
18、的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当时，代入计算，解不等式即可求解【小问1详解】解：抛物线经过点，抛物线的顶点坐标为；【小问2详解】解：，抛物线的对称轴为直线，又抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且，当时，即，或，解得或【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力27. 如图，正方形中，点是边上的一点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于点，连接，取中点，连接（1）依题意补全图形；用等式表示与的数量关系，并证明；（2）若，用等
19、式表示线段与的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形见解析，理由见解析 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）补全图形如图所示，连，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得证；（2）作结合等腰直角三角形的性质和判定与已知可得出，然后用等角的三角函数相等可得出与的关系，从而可得出答案【小问1详解】补全图形如下：，理由如下：连，四边形为正方形将射线绕点 A 逆时针旋转 交的延长线于点 F 在和中，在和中【小问2详解】，理由如下：过G作于点N，设与交于M由（1）知由（1）知：四边形为平行四边形为的中点即【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角函数的性质
20、等知识点的应用，熟练掌握其性质是解决问题的关键28. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，将点关于轴对称点称为点关于直线的“平移对称点”（1）如图，已知直线为点坐标为，则点关于直线的“平移对称点”坐标为_；在直线上是否存在点，使得点关于直线的“平移对称点”还在直线上？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由（2）已知直线，若以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上，直接写出的取值范围【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据“平移对称点”的定义进行求解即可；先求出点B关于直线l
21、的“平移对称点”坐标，再把“平移对称点”的坐标代入直线l解析式中进行求解即可；（2）设，则点P关于直线“平移对称点”为，由点P在以点为圆心，1为半径的圆上，得到，则，即可推出点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，则当与直线有交点时满足题意；如图所示，当直线与相切于点H时，当直线与相切于点G时，求出两种临界情况下t的值即可得到答案【小问1详解】解：由题意得，点向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度的对应点为，点关于y轴对称的点为，点关于直线的“平移对称点”坐标为，故答案：；设点B的坐标为，则经过平移后点B的对应点坐标为，点B关于直线的“平移对称点”的坐标为，点关于直线的“平移对称点”还在直线上，；【小问2详解】解：设，则点P关于直线的“平移对称点”为，点P在以点为圆心，1为半径的圆上，点到点的距离为1，点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，当与直线有交点时满足题意；不妨设，设直线与x轴，y轴分别交于N，M，如图所示，当直线与相切于点H时，；同理可求出当直线与相切于点G时，当时，直线与有交点，即以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换平移和轴对称，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键