1、2023年中考数学高频考点突破二次函数与最值1如图，已知抛物线(a为常数，且a0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为5(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB, 求PBD面积的最大值(3)设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？2如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）
2、（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由3如图，直线yx+4与x轴交于点A，与y交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B（1，0），(1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；(3)有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动，当点D、E两点相遇时
3、，它们都停止运动，设D，E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S，请问D，E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由；直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；在中，当t是多少时，S有最大值，并求出这个最大值.4如图，点P( x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点 当a x b时，有-1 y1 - y2 1成立，则称这两个函数在a x b上是“相邻函数”，否则称它们在a x b上是“非相邻函数”例如，点P(x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当
4、-3 x -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 x -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 y 1，所以-1 y1 - y2 1成立，因此这两个函数在-3 x -1上是“相邻函数”（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在2 x 0上是否为“相邻函数”，说明理由；（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 x 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y =与y =2x + 4在1 x 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值5如图，已知抛物线P：yax2+
5、bx+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x3212y40（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FMkDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围6如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设PAC的
6、面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由7如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3（1）求该抛物线的函数解析式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）当t=2秒时，
7、判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由8如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数的图象交x轴于另一点B（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），当
8、PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x1x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y1y2|求出9如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（1）求b、c的值；（2）如图1直线y=kx+1（k0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点求的最大值；（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10如图，抛物线y=x4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外）
9、，过P作PDAC，交BC于点D，连接CP（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求抛物线y=x4的对称轴和顶点坐标；（3）求PCD面积的最大值，并判断当PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形11如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上，OB=OC，AB=2BC=4若一条抛物线的顶点为A，且过点C，动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）求出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当
10、t为何值时，ACG的面积S最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，是否存在点M，使以C，Q，E，M为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由12如图，已知抛物线C1：y=a（x+1）24的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求点C的坐标及a 的值；（2）如图，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F求线段PF长的最大值；若PE=EF，求点P的坐标13如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A
11、在点B的左侧），与y交于点C，BAC的平分线与y轴交于点D，与抛物线相交于点Q，P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E，F，连接BE，BF（1）如图1，求线段AC所在直线的解析式；（2）如图1，求BEF面积的最大值和此时点P的坐标；（3）如图2，以EF为边，在它的右侧作正方形EFGH，点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化，当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时，求正方形EFGH的边长14如图，直线y=x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P作PCx轴于点C（1）点A的坐标
12、为 ，点D的坐标为 ；（2）探究发现：假设P与点D重合，则PB+PC= ；（直接填写答案）试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由；（3）试判断PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由15如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点在抛物线上，且抛物线交轴于另一点（1）则= ，= ；（2）已知为边上一个动点（不与、重合），连结交于点，过点作轴的平行线分别交抛物线、直线于、求线段的最大值，此时的面积为；若以点为圆心，为半径作O，试判断直线与O的能否相切，若能请求出点坐标，若不能请说明理由16如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
13、轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求 APC面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由17已知：抛物线l1：y=x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA
14、，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MNy轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值18如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m0，n0），连结PB，PD，BD，求BDP面积的最大值及此时点P的坐标参考答
15、案1(1)；(2)；(3)当F坐标为(2，)时，点M在整个运动过程中用时最少【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值；（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再确定出最大值；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF如图，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点【解析】（1）解：抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，A（-2，0），B（4，0）直线y=-x+b经过点B（4，0），-4+b=0，解得b=，直线BD解
16、析式为：y=-x+，当x=-5时，y=3，D（-5，3），点D（-5，3）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，a（-5+2）（-5-4）=3，a=抛物线的函数表达式为：；（2）解：设P（m，），BPD面积的最大值为；（3）解：如图，作DKAB，AHDK，AH交直线BD于点F，由（2）得，DN=3，BN=9，DBA=30，BDH=30，QG=DQsin30=FD，当且仅当AHDK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t=AF+QD=AF+FH，：y=-x+，=-2，F（-2，2），当F坐标为（-2，2）时，用时最少【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数
17、极值的确定方法，解（1）的关键是用待定系数法求出点D的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式建立函数关系式，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题2（1）y=x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐标为（5，4）或（5，4）或（3，4）【解析】解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）， 二次函数的表达式为y=x2+3x+4，（2）如图，由（1）有，二次函数的表达式为y=x2+3x+4，令y=0，得x=4，或x=-1，B（-1，0）连接AC，PA，PC，要使四边形的面积最大，当且仅当的面积最大时，点P在
18、平行于直线AC，且该直线与抛物线只有一个交点时，SPAC最大，即：S四边形AOCP最大；A（4，0），C（0，4），直线AC解析式为，设与直线AC平行的直线解析式为，则，点P（2，6），连接PO，过点P作PDy轴，PGx轴，则PD=2，PG=6，（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，理由：以AB为边时，CQAB，CQ=AB过点C作平行于AB的直线l，C（0，4），直线l解析式为y=4，点Q在直线l上，设Q（d，4），CQ=|d|，A（4，0），B（1，0），AB=5，|d|=5，d=5，Q（5，4）或（5，4），以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点
19、也是CQ的中点，A（4，0），B（-1，0），线段AB中点坐标为（，0），C（0，4），直线CQ解析式为y=-x+4，设点Q（m，-m+4），m=0（舍）或m=3，Q（3，4），即：满足条件的点Q的坐标为（5，4）或（5，4）或（3，4）3(1)(2)10(3)不存在DEOC；当0t1时，S3t2；当1t2时，S；当2t时，S；当t时，S有最大值，最大值为【分析】（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）根据抛物线的解析式可求出M点的坐标，由于四边形OAMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形OAMC分成
20、一个直角三角形和一个直角梯形来求解（3）如果DEOC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t本题要分三种情况进行讨论：当E在OC上，D在OA上，即当0t1时，此时S=OEOD，由此可得出关于S，t的函数关系式；当E在AC上，D在OA上，即当1t2时，此时S=ODE点的纵坐标由此可得出关于S，t的函数关系式；当E，D都在CA上时，即当2t相遇时用的时间，此时S=S，由此可得出S，t的函数关系式；综上所述，可得出
21、不同的t的取值范围内，函数的不同表达式根据的函数即可得出S的最大值（1）解：对于一次函数yx+4，当x0时，y4，当y0时，x3，A（3，0），C（0，4），设二次函数关系式为yax2+bx+c，把A（3，0），C（0，4），B（1，0）代入得： ，解得： ，二次函数的关系式为；（2）解：由得：抛物线的顶点M的坐标为（1，），过点M作MNx轴于点N，则ON1，MN，A（3，0），C（0，4），OC4，AN312，答：四边形AOCN的面积为10（3）解：不存在DEOC，假设DEOC，则D在OA上，E在AC上，且1t2，此时，OD，AD3，CE4t4，AE94t，DEOC，即，解得：tt2，不存在
22、DEOC，当0t1时，S3t2；当1t2时，S；当2t时，S；由S，得：S，0，当t时，S有最大值，最大值为【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法4（1）是“相邻函数”，理由见解析；（2）；（3）的最大值是2，的最小值1【分析】（1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1y1，进而判断即可；（2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a-1ya，进而判断即可；
23、（3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2y，进而判断最值即可【解析】解：（1）是“相邻函数”理由如下：，构造函数 在上随着x的增大而增大，当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1y1-y21即函数在是“相邻函数” （2）构造函数顶点坐标为(1，a-1)又抛物线开口向上，当时，函数有最小值，当或时，函数有最大，即，函数与在“相邻函数”，即， （3）一次函数y1=-2x+4在1x2上是减函数，当x=1时，y1=2；当x=2时，y1=0，当x=1时，y2=a；当x=2时，y2=-1y1-y21，有，解
24、得：1a2若函数y=与y=-2x+4在1x2上是“相邻函数”，a的最大值为2，a的最小值为1【点评】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的最值问题，根据题意正确理解“相邻函数“的定义是解题关键5(1)A（2，0），B（4，0），C（0，4）；(2)SDEFG=12m6m2（0m2）；(3)k且k0【解析】试题分析：（1）根据图表可以得到，抛物线经过的四点的坐标，根据待定系数法，设y=ax2+bx+c,把其中三点的坐标代入，就可以求得函数解析式进而可以求出A、B、C的坐标；（2）表示出矩形的长和宽是解决问题的关键，先证ADGAOC，AD=2m，根据相似三角形的对应边的比相等，就
25、可以用m表示出DG的长，再根据BEFBOC，就可以表示出BE，进而得到OE，于是ED就可以表示出来因而S与m的函数关系就可以得到；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值则矩形的四个顶点的坐标就可以求出，根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标，根据FM=kDF，就可以表示出M的坐标，把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程，求出k的值，判断是否满足函数的解析式即可试题解析：（1）根据待定系数法，设y=ax2+bx+c（a0），任取x，y的三组值代入，求出解析式为y=x2+x4，令y=0，求
26、出x1=4，x2=2；令x=0，得y=4，A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（4，0），C（0，4）（2）由题意，ADGAOC，所以，而AO=2，OC=4，AD=2m，故DG=42m，又BEFBOC，所以，EF=DG，得BE=42m，DE=3m，SDEFG=DGDE=（42m）3m=12m6m2（0m2），故S=12m6m2（0m2）；（3）如下图，连接DF并延长，SDEFG=12m6m2（0m2），m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，2），F（2，2），E（2，0），设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=，y=x，又可求
27、得抛物线P的解析式为：y=x2+x4，令x=x2+x4，可求出x=设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有=，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0考点：二次函数综合题6（1）抛物线y=x22x+3；点P的坐标为（，）；（3）M（0，1）【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出a，b，c，即可求解；（2）用S=SAOP+SCOPSAOC计算即可；（3）设M（0，m）先判定AOMMFD，求出m即可试题解析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3），抛物线y=x22x+3；（2）如图所示，设P（
28、x，x22x+3），（3x0），OA=3，OC=3，S=SAOP+SCOPSAOC= OA|yP|+OA|xP|OAOC=3（x22x+3）+3（x）33=x2x=（x+）2+，当x=时，S最大=，（）22（）+3=，点P的坐标为（，），（3）如图所示，当ADM是等腰直角三角形，只能AMD=90，设M（0，m），过D作DFx轴，F（0，4），OM=m，PM=4m，DF=1，AOMMFD，OM=DF=1，PM=OA=3，m=1,4-m=3，m=1，M（0，1）考点：二次函数综合题7（1）y=（x2）2+4；（2）点P不在直线ME上；S存在最大值；【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a
29、（x2）2+4，则有0=4a+4，a=1，抛物线的解析式为：y=（x2）2+4；（2）y=（x2）2+4，当y=0时，（x2）2+4=0，x1=0，x2=4，E（4，0），设直线ME的解析式为：y=kx+b，则，解得：，直线ME的解析式为：y=2x+8，当t=2时，P（2，2），当x=2时，y=4=4，当t=2时，点P不在直线ME上S存在最大值理由如下：点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，OA=AP=t点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，t2+4t），AN=t2+4t（0t3），ANAP=（t2+4t）t=t2+3t=t（3t）0，PN=t2+3t；（）当PN=0，即t=0或t=3时，以
30、点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，S=DCAD=32=3（）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形，PNCD，ADCD，S=（CD+PN）AD= 3+（t2+3t）2=t2+3t+3=（t）2+，其中（0t3），由a=1，03，此时S最大=综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为说明：（）中的关系式，当t=0和t=3时也适合考点：二次函数综合题8（1）；（2）；（3）F（，0），E（0，）【解析】试题分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
31、（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为n+5，D点的坐标为D（n，），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点M1，可得点M1的坐标；连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可
32、求点F、E的坐标试题解析：（1）直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，A（1，0），C（0，5），二次函数的图象过A，C两点，解得： ，二次函数的表达式为；（2）如图1，点B是二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的表达式为得，点B的坐标B（5，0），设直线BC解析式为y=kx+b，直线BC过点B（5，0），C（0，5），解得： ，直线BC解析式为y=x+5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为n+5，D点的坐标为D（n，），则d=|（n+5）|，由题意可知：n+5，d= （n+5）= ，当n=时，线段ND长度的最大值是 ；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），
33、点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1（2，9），作点M（4，5）关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1（4，5），连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，直线H1M1过点M1（4，5），H1（2，9），根据题意得方程组：，解得： ，点F，E的坐标分别为（，0），（0， ）考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；综合题9（1）b=2，c=3（2）（3）（，）或（，）【解析】试题分析：（1）将点A、B的坐标带入到抛物线解析式中
34、，得出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）作DNCF交CB于N，由DNCF可得出DENFEC，根据相似三角形的性质得出，由（1）可得出抛物线的解析式，令抛物线解析式中x=0则可得出点C的坐标，由点B、C的坐标可得出直线BC的解析式，设出点D的坐标，则可得出点N的坐标，由直线DF的解析式可得出点F的坐标，从而得出DN、CF的长度，由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论；（3）假设存在符合题意的点Q设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标，由此得出对称轴的解析式，结合直线BC的解析式可得出点M的坐标，结合点G的坐标可知PM=GM，由
35、此得出满足题意的点Q为“过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点”，由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点G与BC平行的直线的解析式，联立直线与抛物线解析式得出关于x、y的二元二次方程组，解方程即可得出结论试题解析：（1）将点A（1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：，解得：（2）作DNCF交CB于N，如图1所示DNCF，DENFEC，抛物线的解析式为y=x2+2x+3，点C的坐标为（0，3）直线BC的解析式为y=x+3令直线y=kx+1中x=0，则y=1，即点F的坐标为（0，1）设点D的坐标为（m，m2+2m+3），则点N的坐标为（m，m+3），DN=m2+3m，CF=31=2
36、，=，DN=m2+3m=的最大值为，的最大值为（3）假设存在符合题意的点Q设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示抛物线的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=x+3，M的坐标为（1，2），点G的坐标为（1，0），PM=GM=2，过点G与BC平行的直线为y=x+1联立直线与抛物线解析式得：，解得：或点Q的坐标为（，）或（，）故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等，点Q的坐标为（，）或（，）考点：1、待定系数法求函数解析式，2、相似三角形的判定及性质，3、二次函数的性质，4、二
37、元二次方程组10（1）A（4，0）、B（2，0）、C（0，4）（2）（1，）（3）不是菱形【解析】试题分析：（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标（2）抛物线：y=x2-x-4=（x-1）2-，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-）（3）设P（x，0）（-2x4），由PDAC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PAPD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形试题解析：
38、（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）（2）抛物线：y=x2-x-4= （x-1）2-，抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-）（3）设P（x，0）（-2x4），PDAC，解得：PD= （x+2），C到PD的距离（即P到AC的距离）：d=PAsin450= （4-x），PCD的面积S=PDd= （x+2）（4-x）=- x2+x+，S=-（x-1）2+3，PCD面积的最大值为3，当PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，PD= （x+2）=2，因为PAPD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形 考点：二次函数综合题11（1）A（1，4），y=x22x+3；（
39、2）t=2时，S的最大值为1；（3）t=208或t=【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2；最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SAEG+SCEG=（t2）2+1，由二次函
40、数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上解：（1）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上，OB=OC，AB=2BC=4，A（1，4）得C（1，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，把C（1，0）代入得：a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）2+4，即y=x22x+3；（2）A（1，4），C（1，0），可求直线AC的解析式为y=2x+2点P（1，4t）将y=4t代入y=2x+2中，解得点E的横坐标为x=1+点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4GE=（4）（4t）=t又点A到GE
41、的距离为，C到GE的距离为2，即S=SAEG+SCEG=EGx +xEGx（2）=x2x（t）=（t2）2+1当t=2时，S的最大值为1；（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据APEABC，知=，即=，解得t=208；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2t，MQ=42t则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2t）2+（42t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）综上所述，t=208或t=考点：二次函数综合题12（1）a=1；顶点
42、C为（1，4）（2）当x=时，PF有最大值为；P（，）【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质即可直接求得顶点C的坐标，把B的坐标代入函数解析式即可求得a的值；（2）C2的顶点坐标是C关于x轴的对称点，且二次项系数互为相反数，据此即可求得C2的解析式，然后根据平移的性质求得C3的解析式利用待定系数法求得直线CE的解析式，则PF的长即可利用x表示出来，然后根据二次函数的性质求得PF的最大值；PE=EF则P和F关于x轴对称，即纵坐标互为相反数，据此即可列方程求解解：（1）顶点C为（1，4）点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+1）24，解得，a=1；（2）C2与C1关于x轴对称，抛物线C2的
43、表达式为y=（x+1）2+4，抛物线C3由C2平移得到，抛物线C3为y=（x3）2+4=x2+6x5，E（5，0），设直线CE的解析式为：y=kx+b，则，解得，直线BC的解析式为y=x，设P（x，x2+6x5），则F（x，x），PF=（x2+6x5）（x）=x2+x=（x）2+，当x=时，PF有最大值为；若PE=EF，PFx轴，x轴平分PF，x2+6x5=x+，解得x1=，x2=5（舍去）P（，）考点：二次函数综合题13（1）；（2）当x=1时，SBEF的最大值=P（1，0）；（3）顶点G在线段BC上时，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，正方形的边长为【解析】试题分析：（1）由抛物线解析式求得点A、C的坐标，然后根据待定系数法来求直线AC的直线方程即可；（2）如答图2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的长度；过点D作DIAC于点I，构建全等三角形ADIADO（SSA）和RtCDI，利用全等三角形的性质可以设DI=DO=m，则DC=OCOD=4m所以根据勾股定理列出关于m的方程，借助于方程解题即可求得点D的坐标；然后利用待定系数法求得直线AD方程，由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求BEF面积的最大值和此时点P的坐标；（3）需要分类讨论：当顶点G在线段BC上时，如答图3设P（t，0），则由一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质推知，所以