1、湖北省十堰市2023届高三下学期四月调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1复数的虚部为（ ）A2iB2iC2D22若集合，则（ ）ABCD3的展开式中的系数是（ ）ABC30D304已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）ABCD5已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）ABCD6已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆若圆的面积为，则四面体ABCD体积的最大值为（ ）ABCD7意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：该数列的特点为前两个数
2、都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）A2024B2024C1D18若，则（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9九章算术中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，则（ ）ABC向量在向量上的投影向量为D向量在向量上的投影向量为10已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）AB直线是图象的一条对称轴C在上单调递减D是奇函数11已知函数，则下列结论正确的有（ ）A为奇函数
3、B为偶函数C，当时，D，12椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（ ）A曲线W关于直线对称B曲线W关于直线对称C曲线W上的点的横坐标的取值范围为D曲线W上的点的横坐标的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，若，则_14若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为_15已知是双曲线E：上一点，分别是双曲线E的左、右焦点，的周长为，则_，的面积为_（本题第一空3分，第二空2分）16甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数
4、为5，6，则对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列的前n项之积为，且，（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和18（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求面积的最大值；（2）若，求的周长19（12分）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球（1）求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率（2）已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为
5、证明：20（12分）中国古代数学著作九章算术中记载了一种被称为“曲池”的几何体该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，已知，E为弧的中点（1）证明：（2）若，求直线CE与平面所成角的正弦值21（12分）已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点当A为椭圆C的上顶点时，（1）求椭圆C的方程；（2）若，且，求k的取值范围22（12分）已知函数（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）当时，求证在上只有一个零点，且参考答案
6、1D ，则z的虚部为22C 因为，所以3A 的展开式中的系数是4B 由题可知解得5B 由题可知，的面积为，则当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为6B 因为圆的面积为，所以圆的半径为1，则球O的半径，则四面体ABCD体积的最大值为7C 因为，所以又，所以是首项为1，公比为1的等比数列，故8A 令，则当时，单调递减；当时，单调递增故，从而因为，所以，故9BD ，A不正确，B正确向量在向量上的投影向量为，C不正确向量在向量上的投影向量为，D正确10ACD 因为点在的图象上，所以又，所以因为图象的一个对称中心是，所以，则又，所以，则，A正确，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确当时，单
7、调递减，C正确，是奇函数，D正确11ABD 因为的定义域为R，所以为奇函数，为偶函数，A，B正确令，则，易得，则单调递增不妨令，则，则，C不正确令，则，故当时，D正确12BD 由，得因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确因为，所以曲线W关于直线对称，B正确由，得，解得或，C不正确，D正确1313 因为，所以，解得，则14 由，得，则圆C与两条坐标轴相切，故k的取值范围为15； 根据对称性，不妨设P在双曲线E的右支上，则因为，的周长为，所以，所以，在中，则，的面积为16 列出如下树形图，可知甲获胜的概率为17解：（1）由题意得，所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则当时，由，得，则，对也
8、成立，故（2）由（1）可知，所以，即数列的前n项和18解：（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，则故，即面积的最大值为（2）（解法一）因为，所以，所以，则，则由，得，故的周长为（解法二）由余弦定理，得，即由，得，整理得，分解得，解得，故的周长为19（1）解：由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率（2）证明：当时，X的取值可能是2，3，4，且，则当时，X的取值可能是0，1，2，且，则故20（1）证明：延长，并相交于点，因为，所以，连接，因为E为弧的中点，所以，为正三角形，故因为平面，所以平面又平面，所以因为，所以平面又平面，所以（2）解：以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则令，得，故直线CE与平面所成角的正弦值为21解：（1）由题可知，当A为椭圆C的上顶点时，解得，故椭圆C的方程为（2）依题意可设直线l的方程为，联立方程组消去x整理得，则，直线AP的方程为，令，得同理可得，则因为，且，所以，故22（1）解：因为，所以由在R上单调递减，得，即在R上恒成立令，则当时，单调递增；当时，单调递减故，解得，即a的取值范围为（2）证明：由（1）可知，在上单调递减，且，故，当时，单调递增；当时，单调递减因为，所以在上只有一个零点，故在上只有一个零点因为，所以要证，需证，需证因为，所以需证令，则当时，单调递增；当时，单调递减故从而，证毕