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天津市河西区2023届高三二模数学试卷(含答案解析)

1、天津市河西区2023届高三二模数学试题参考公式:如果事件A与事件B互斥,那么如果事件A与事件B相互独立,那么球的表面积公式,其中R表示球的半径一选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合S=x|x2,T=x|x2+3x40,则(RS)T=()A. (2,1B. (,4C. (,1D. 1,+)2. 设命题:,则为( )A. ,B. ,C. ,D. ,3. 函数在的图像大致为A B. C. D. 4. 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17

2、,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 185 已知,则( )A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为A. B. C. D. 7. 在三棱锥中,平面,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 8. 已知函数,则下列结论中正确个数为( )函数为偶函数函数的最小正周期为函数在区间上的最大值为1函数的单调递增区间为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

3、9. ,若有且只有两个零点,则实数m的取值范围是( )A. 或B. 或C. 或D. 或二填空题;本大题共6小题,每小题5分,共30分 10. 若复数满足,则的虚部为_.11. 若的展开式中的系数为7,则实数_.12. 写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程_.13. 已知,则的最小值为_14. 设甲乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,则随机变量的数学期望为_;设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”

4、,则事件发生的概率为_.15. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图l是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2,正八边形ABCDEFGH中,若,则的值为_;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则的取值范围是_三解答题:本大题共5小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(1)求角A的值;(2)若,()求的值;()求的值17. 如图,在直三棱柱中,M为棱中点,(1)求证:平面AMC;(2)求异面直线AM与所成角的余弦值;(3)求平

5、面AMC与平面的夹角的余弦值18. 已知椭圆过点,且离心率为(1)求椭圆E标准方程;(2)若直线l与椭圆E相切,过点作直线l垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:为定值.19. 已知数列是等差数列,数列是等比数列,且满足,(1)求数列和的通项公式;(2)记为的前n项和,求证:;(3)记,数列的前项和为,求证:20. 已知函数,(1)若,求函数的最小值及取得最小值时的值;(2)求证:;(3)若函数对恒成立,求实数a的取值范围天津市河西区2023届高三二模数学试题一选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 设集合S=x|x2,T=x|x2+3x40,则(RS)T=()A. (2,

6、1B. (,4C. (,1D. 1,+)【答案】C【解析】【详解】集合S=x|x2,RS=x|x2由x2+3x40得:T=x|4x1,故(RS)T=x|x1故选C2. 设命题:,则为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.【详解】因为命题为,所以命题为,.故选:B.3. 函数在的图像大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由的近似值即可得出结果【详解】设,则,所以是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C又排除选项D;,排除选项A,故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性,

7、缩小考察范围,通过计算特殊函数值,最后做出选择本题较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查4. 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C【解析】【详解】试题分析:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为02

8、4,016,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为036,所以第三组的人数:18人,第三组中没有疗效的有6人,第三组中有疗效的有12人考点:频率分布直方图5. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形,再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.【详解】依题意,显然函数在上单调递增,而,即,又在R上单调递增,于是得,即,所以有.故选:D6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析:由渐近线是y=x得,抛物线y2=24x的准线为,方程为

9、考点:双曲线标准方程及性质点评:双曲线抛物线几何性质的综合考查7. 在三棱锥中,平面,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】三棱锥补成长方体,计算出长方体的体对角线长,即为三棱锥的外接球直径长,再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中,平面,将三棱锥补成长方体,如下图所示,所以,三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长,设三棱锥的外接球直径为,则,则,因此,三棱锥外接球的表面积为.故选:C.8. 已知函数,则下列结论中正确个数为( )函数为偶函数函数的最小正周期为函数在区间上的最大值为1函数的单调递增区间为A. 1个B. 2个C. 3个D.

10、4个【答案】C【解析】【分析】化简得到,根据三角函数的奇偶性,单调性和值域得到正确,确定得到错误,得到答案.【详解】,对:,为偶函数,正确;对:,故是的周期,错误;对:,则,函数的最大值为,正确;对:取,解得,故函数的单调递增区间为,正确.故选:C9. ,若有且只有两个零点,则实数m的取值范围是( )A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】当时,求导得到单调区间,根据平移和翻折得到函数图像,变换得到,根据函数图像得到或,解得答案.【详解】当时,当时,函数单调递增;当,函数单调递减,当时, ,其图像可以由向左平移一个单位,再向下平移个单位,再把轴上方的图像翻折到下方得到,画出函

11、数图像,如图所示:,当时,无零点;当时,即,函数有两个零点,即函数图像有两个交点,根据图像知:或,解得或.故选:D.【点睛】关键点睛:本题考查了利用导数解决函数的零点问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中画出函数图像,将零点问题转化为函数图像的交点问题是解题的关键,数形结合的思想需要熟练掌握.第卷注意事项:1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上2本卷共11小题,共105分二填空题;本大题共6小题,每小题5分,共30分试题中包含两个空的,答对一个给的3分,全部答对的给5分10. 若复数满足,则的虚部为_.【答案】.【解析】【分析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即

12、可.【详解】由题.故虚部为.故答案为:【点睛】本题主要考查了复数除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.11. 若的展开式中的系数为7,则实数_.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式,根据系数,即可求得参数值.【详解】的通项公式,令,解得.故可得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值,属简单题.12. 写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程_.【答案】(只需填其中的一个即可)【解析】【分析】将圆方程化为标准方程,求出圆心、半径.根据弦长,得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足,然后设出斜率,得出直线方程,表示出圆心到直

13、线的距离,得出方程,即可解出的值.【详解】圆的方程可化为,圆心为,半径,由弦长为可得,圆心到直线的距离.当直线斜率不存在时,直线方程为,此时圆心在直线上,弦长为,不满足题意,所以直线的斜率存在.设直线的斜率为,则直线的方程为,即,此时圆心到直线的距离,解得.所以,直线的方程为或.故答案为:.13. 已知,则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】首先分析题目由已知x0,y0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值,猜想到基本不等式的用法,利用a+b2 代入已知条件,转化为解不等式求最值【详解】2xyx(2y)2,8x2y2xyx2y2,即(x2y)24(x2y)320.x0,y0,x2y4,当

14、且仅当x2,y1时取等号,即x2y的最小值是4.【点睛】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式a+b2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛,需要同学们多加注意14. 设甲乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,则随机变量的数学期望为_;设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,则事件发生的概率为_.【答案】 . 2 . 【解析】【分析】由题设知,根据二项分布的期望公式求期望,应用独立事件乘法公式及互斥事

15、件的加法公式求为事件的概率.【详解】由题意知:,且服从,.甲同学在7:30之前到校天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2的基本事件有甲3天乙1天,甲2天乙0天,又,.故答案为:2,.【点睛】关键点点睛:由题设确定服从的二项分布,进而求期望,求各可能值的概率,结合独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率.15. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图l是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2,正八边形ABCDEFGH中,若,则的值为_;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则的取值范围是_【

16、答案】 . . 【解析】【分析】以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,由,列出方程组,求得,从而得到;设,则,由线性规划可求得的取值范围.【详解】,以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,正八边形内角和为,则,所以,,因为,则,所以,解得,所以;设,则,则,令,即,由线性规划知平行移动直线,当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值,所以, 取值范围 .故答案为:,.【点睛】方法点睛:在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题,以及在求有关最大、最小值问题时,常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较

17、难寻找的情况下,运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时,可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法.三解答题:本大题共5小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(1)求角A的值;(2)若,()求值;()求的值【答案】(1) (2);【解析】【分析】(1)由正弦定理化简已知式可得,由余弦定理即可求出;(2)()由正弦定理可求出的值;()由同角三角函数的基本关系可求出,再由二倍角的正弦和余弦公式

18、求出,最后由两角差的余弦公式求出的值【小问1详解】由正弦定理得:,化简得:,由余弦定理得:,又,所以.【小问2详解】()由(1)知,又,由正弦定理可得:;()因为,所以,所以,所以.17. 如图,在直三棱柱中,M为棱的中点,(1)求证:平面AMC;(2)求异面直线AM与所成角的余弦值;(3)求平面AMC与平面的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,得到各点坐标,确定,得到证明.(2)确定,根据向量的夹角公式计算得到答案.(3)确定平面的法向量和平面的法向量,根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示:以为轴建立空间直角坐标系,

19、则,则,则,;,.,平面,故平面.【小问2详解】,则.故异面直线AM与所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为,则,取得到;设平面的法向量为,则,取得到;平面AMC与平面的夹角的余弦值为.18. 已知椭圆过点,且离心率为(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l与椭圆E相切,过点作直线l的垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:为定值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用椭圆过点,得到,再由椭圆的离心率为,求出的值,从而求到椭圆的标准方程;(2)对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论,从而求出,得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点,所以,又,所以,得到,所以椭

20、圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在且不为0时,设直线的方程为,联立直线和椭圆的方程得,消去并整理,得,因为直线与椭圆有且只有一个公共点,所以方程有两个相等的根,化简整理得因为直线与垂直,所以直线的方程为,联立得,解得, ,所以把代入上式得,所以,为定值;当直线斜率为0时,直线,过点作直线的垂线,则垂线方程为,此时或,为定值;当直线斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线,则垂线方程为,此时或,为定值;综上所述,为定值.19. 已知数列是等差数列,数列是等比数列,且满足,(1)求数列和的通项公式;(2)记为的前n项和,求证:;(3)记,数列的前项和为,求证:【答案】(1),; (2)见解析

21、 (3)见解析【解析】【分析】(1)题意可得出,解方程求出,再由等差和等比数列的通项公式求解即可;(2)由(1)可得:,证明即可;(3)求出,设的前项和,奇数项和为,偶数项和为,由裂项相消法求出,可证得,对放缩可得,再由错位相减法可证得,即可证明.【小问1详解】设数列的公差为,数列的公比为,由,可得:,解得:或(舍去),则,所以,;【小问2详解】由(1)可得:,即;【小问3详解】由(1)知,所以,设的前项和,奇数项和为,偶数项和为,当为奇数时,当为偶数时,设,所以,所以.20. 已知函数,(1)若,求函数的最小值及取得最小值时的值;(2)求证:;(3)若函数对恒成立,求实数a的取值范围【答案】

22、(1)时,; (2)证明见解析; (3)【解析】【分析】(1)根据导数研究函数单调性求解函数最值即可;(2)结合(1)将问题转化为证明,进而构造函数证明即可;(3)由题知对恒成立,进而构造函数,结合函数性质,分当,时三种情况讨论求解即可.【小问1详解】解:当时,定义域为,所以,令得,所以,当时,单调递减;当时,单调递增,所以,函数在处取得最小值,.【小问2详解】解:由(1)知,当时,即,所以,要证成立,只需证,令,则,所以,当时,恒成立,所以,函数为单调递增函数,所以,即,所以,所以成立【小问3详解】解:因为函数对恒成立所以对恒成立,令,则,当时,在上单调递增, 所以,由可得,即满足对恒成立;当时,则,在上单调递增, 因为当趋近于时,趋近于负无穷,不成立,故不满足题意;当时,令得令,恒成立,故在上单调递增,因为当趋近于正无穷时,趋近于正无穷,当趋近于时,趋近于负无穷,所以,使得,所以,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,只需即可;所以,因为,所以,所以,解得,所以,综上,实数a的取值范围为【点睛】关键点点睛:本题第三问解题的关键在于讨论当时,结合函数的性质得,使得,进而转化为解.